Relação entre perímetro e área de um triângulo

O triânguloequilátero é uma figura geométrica plana que possui como principal característica os três lados congruentes, ou seja, a medida desses três lados é a mesma.

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Propriedades dos triângulos equiláteros
Perímetro do triângulo equilátero
Área do triângulo equilátero
Exercícios resolvidos
Qual a relação entre a área e o perímetro?
Como calcular o perímetro de um triângulo a partir da área?
Como calcular o perímetro a partir da área?
Como calcular o perímetro e área de um triângulo retângulo?

Esse fato gera uma consequência imediata, os três ângulos internos desse triângulo também são iguais entre si. Além disso, esse triângulo possui importantes propriedades geométricas que facilitam a resolução de determinadas situações-problemas.

Leia também: Qual é a condição de existência de um triângulo?

Propriedades dos triângulos equiláteros

O triângulo equilátero possui algumas propriedades que facilitam a resolução de algumas situações-problemas.

Propriedade 1 – Todos os ângulos internos de um triângulo equilátero medem 60°.

Propriedade 2 – A altura (segmento perpendicular a um dos lados), a mediana (segmento que divide um lado ao meio) e a bissetriz (segmento que divide um ângulo ao meio) coincidem-se.

Perímetro do triângulo equilátero

Sabemos que o perímetro de um polígono qualquer é dado pela soma das medidas de todos os lados, e no triângulo equilátero, a ideia não é diferente. Pelo fato do triângulo equilátero possuir todos os lados iguais, podemos determinar uma fórmula que facilite o cálculo do perímetro.

Considere um triângulo equilátero de lado l:

Como o perímetro é dado pela soma de todos os lados, então:

2P = l + l + l

2P = 3 · l

Lembre-se: a notação para perímetro é 2P. Utilizamos a letra P para representar o semiperímetro. A fórmula afirma que para calcular o perímetro de um triângulo equilátero basta multiplicar a medida do lado por 3.

Exemplo

Determine o perímetro do triângulo equilátero cujo lado é de 4 cm.

Substituindo o valor do lado na fórmula deduzida, temos:

2P = 3 · l

2P = 3 · 4

2P = 12 cm

Portanto, o perímetro é de 12 centímetros.

Leia também: Semelhança de triângulos: quais são os casos?

Área do triângulo equilátero

Para calcular a área de um triângulo equilátero, inicialmente traçamos a altura relativa a um dos lados. Pelas propriedades sabemos que a altura coincide com a mediana, ou seja, ao traçar a altura, divide-se o lado pela metade.

Sabemos que a área de qualquer triângulo é dada pela multiplicação da base com a altura, e isso dividido por 2.

Observe que o valor da base é conhecido no caso l, entretanto o valor da altura é desconhecido. Desse modo, para determinar a área do triângulo equilátero, é necessário, antes, encontrar a altura dele. Para isso, utilizaremos o teorema de Pitágoras:

Como agora conhecemos a medida da altura, podemos substituir na fórmula da área de um triângulo.

Exemplo

Determine a área do triângulo equilátero cujo lado mede 4 cm.

Para calcular a área de um triângulo equilátero, basta substituir a medida do lado na fórmula, sabendo que, nela, l representa essa medida. Assim temos:

O triângulo equilátero é constituído de lados e ângulos todos iguais.

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Um fazendeiro precisou construir um cercado para que sua criação de galinhas não fugisse. Ao fazer o projeto, notou que o cercado ficaria em forma de um triângulo equilátero com 3 metros de comprimento de lado. Quantos metros de cerca esse fazendeiro terá que comprar? Sabendo que cada metro custa 4 reais e 50 centavos, quanto ele gastará?

Resolução

O terreno do fazendeiro pode ser representado por:

O perímetro é dado por:

2P = 3 · 3

2P = 9 m

Como cada metro custa 4,50 reais, o fazendeiro gastará 9 vezes esse valor:

gasto = 4,5 · 9

gasto = 40,5

Portanto, o fazendeiro gastará 40 reais e 50 centavos.

Questão 2 – Uma empresa de azulejos precisa cobrir o fundo de uma piscina com azulejos de 1 m2. A piscina tem o formato de um triângulo equilátero de lado de 6 metros. Determine a quantidade de azulejos a ser utilizada.

(Dado: Use √3 = 1,7)

Resolução

Inicialmente determinamos a área da piscina.

Como cada azulejo tem 1 m2, então terão que ser comprados 16 azulejos, uma vez que não se vende 0,3 azulejo.

Qual a relação entre a área e o perímetro?

Área: equivale a medida da superfície de uma figura geométrica. Perímetro: soma das medidas de todos lados de uma figura. Geralmente, para encontrar a área de uma figura basta multiplicar a base (b) pela altura (h). Já o perímetro é a soma dos segmentos de retas que formam a figura, chamados de lados (l).

Como calcular o perímetro de um triângulo a partir da área?

Para calcular o perímetro do triângulo escaleno, basta realizar a soma de todos os lados do triângulo. A medida da área de um triângulo pode ser calculada pela fórmula da área de um triângulo qualquer, que nada mais é que o produto entre a base e a altura dividido por dois.

Como calcular o perímetro a partir da área?

Para isso é preciso ter o valor da área do quadrado. Assim sendo, é necessário primeiro encontrar a raiz quadrada do valor da área (que vai corresponder ao valor do lado do quadrado) para, em seguida, multiplicar este número por quatro, localizando o perímetro do quadrado. Neste caso a fórmula é P = 4 x √A. P = 20.

Como calcular o perímetro e área de um triângulo retângulo?

Para encontrar a área de um triângulo retângulo, basta dividir por 2 o resultado da multiplicação da base (b) pela altura (h). A área é sempre calculada em centímetro quadrado (cm²), metro quadrado (m²) ou quilômetro quadrado (Km²). O perímetro é calculado em centímetro (cm), metro (m) ou quilômetro (km).