Quantos lados tem um polígono regular, sabendo que o ângulo interno é o triplo do ângulo externo

Questão 3

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Quantos lados tem o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo do externo?
Quantos lados tem o polígono regular onde o ângulo externo é o dobro do interno?
Como calcular o ângulo interno é externo de um polígono regular?
Qual é o polígono regular cujo o ângulo interno é igual ao ângulo externo?

Das alternativas a seguir, marque aquela que é incorreta.

A) A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º.

B) Todo polígono convexo possui diagonal.

C) Um polígono é conhecido como regular quando ele possui todos os lados e ângulos congruentes.

D) Um polígono é convexo quando todos os seus ângulos internos são menores que 180º.

E) O pentágono possui 5 diagonais.

Questão 11

Sobre o conceito de polígono convexo e não convexo, marque a alternativa correta.

A) Um polígono é convexo quando todos os seus lados e também os seus ângulos são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.

B) Um polígono é convexo quando possui diagonais.

C) Um polígono é convexo quando, dados quaisquer dois pontos (A e B) pertencentes ao polígono, o segmento de reta AB também pertence ao polígono.

D) Um polígono é convexo quando a quantidade de diagonais é igual à quantidade de lados.

Respostas

Resposta Questão 1

Alternativa B.

Utilizando a fórmula da diagonal, temos que d = n.

O polígono que possui 5 lados é o pentágono.

Resposta Questão 2

Alternativa E.

Sabemos que os divisores de 70 são:

D(70) = 1, 2, 5, 7,10,14, 35, 70.

Dos valores possíveis, o único que faz com que a equação seja verdadeira é n = 10, pois:

10 · (10 – 3 ) = 10 · 7 = 70

Resposta Questão 3

Alternativa B. O único polígono que não possui diagonal é o triângulo, o que torna a alternativa B a única incorreta.

Resposta Questão 4

Alternativa E. Esse polígono possui oito lados. Para calcular o valor de cada um dos ângulos, vamos utilizar a fórmula da soma dos ângulos internos.

Si = (n – 2) · 180

Si = ( 8 – 2) · 180

Si = 6 · 180

Si = 1080

Como o polígono é regular, todos os ângulos são congruentes, então a medida de cada um é igual a:

1.080 : 8 = 135º

Resposta Questão 5

Alternativa B.

Utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos, temos que:

Si = ( n – 2 ) 180

720 = ( n – 2) 180

720 / 180 = n – 2

4 = n – 2

n = 4+2

n = 6

Resposta Questão 6

Alternativa D. A soma dos ângulos externos de um polígono é sempre igual a 360º, então, para descobrir o número de lados, faremos 360 : 20 = 18.

Como esse polígono possui 18 lados, então basta substituir na fórmula das diagonais.

Resposta Questão 7

Alternativa B.

Sabendo que a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180º, sejam a, b e c os ângulos internos do triângulo, então:

a + b + c = 180

Por proporção, temos que:

a = 3k

b = 5k

c = 7k

Assim sendo, podemos escrever que:

3k + 5k + 7k = 180

15k = 180

k = 180/ 15

k =12

O maior ângulo é 7k → 7 ·12 = 84.

Resposta Questão 8

Alternativa B.

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º.

3x – 45 + 2x + 10 + 2x + 15 + x + 20 = 360

8x – 10 = 360

8x = 360

x = 360 : 8

x = 45

O menor ângulo é 45 + 20 = 65º.

Resposta Questão 9

Alternativa C.

Analisando a figura, é possível perceber que ela possui 6 lados. Então, utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos, temos que:

Si = ( n – 2 ) 180º

Si = (6 – 2 ) 180º

Si = 4 · 180º

Si = 720º

A medida de um ângulo é, portanto, 720 : 6 = 120º.

Resposta Questão 10

Alternativa D.

35 – 20 = 15

Resposta Questão 11

Alternativa C.

Resposta Questão 12

Alternativa E. Para ser regular, os ângulos e os lados têm que ser congruentes. Dos polígonos listados, o único que é regular é o quadrado, que possui lados e ângulos congruentes.

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diagonais dos três polígonos é igual a 28, determine o polígono com maior número de diagonais.
			R: 7
07) Determine o número de lados de um polígono convexo regular cujo ângulo interno é o quíntuplo do externo.
			R: 12
08) O ângulo interno de um polígono regular vale 1,5 vezes o seu ângulo externo. Determine o número de lados do polígono.
			R: 5
09) Determine o polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é igual ao número de diagonais multiplicado por 180o.
			R: quadrilátero 
10) Num polígono regular, o ângulo interno mede o triplo do ângulo externo. Quantos lados tem esse polígono?
			R: octógono (8) 
11) Um polígono convexo tem 5 lados mais que o outro. Sabendo que o número total de diagonais vale 68, determine o nú-
 mero de diagonais de cada polígono.
			R: 14 e 54
TRIÂNGULOS
DEFINICÃO: É o polígono que possui três lados.
CLASSIFICAÇÃO: Podemos classificar os triângulos quanto aos lados e aos ângulos.
				Eqüilátero: os três lados são congruentes.
	Quanto aos lados	Isósceles: somente dois lados congruentes.
				Escaleno: as medidas dos três lados são diferentes.
				Acutângulo: os três ângulos são agudos ( menor que 90o )
	Quanto aos ângulos	Retângulo: tem um ângulo reto ( 90o )
				Obtusângulo: tem um ângulo obtuso ( maior que 90o ) dois agudos.
	A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o.
Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
	 As três medianas de um triângulo cruzam-se num ponto G , denominado baricentro do triângulo.
Altura: É o segmento que parte de um vértice e é perpendicular ao lado oposto.
	As três alturas de um triângulo cruzam-se num mesmo ponto, denominado ortocentro do triângulo.
Bissetriz: É o segmento que parte do vértice e divide este ângulo em duas partes congruentes.
	 As três bissetrizes de um triângulo cruzam-se num mesmo ponto I, denominado incentro do triângulo.
	 O ponto I é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA DE UM TRIÂNGULO 
	“ A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina sobre o lado oposto segmentos proporcionais aos lados
pertencentes aos do ângulo considerado”.						
		 
		 A
				
							
 AD é bissetriz do ângulo Â
	 
 B	 D		 C
EXERCÍCIOS DE SALA
01) Seja AD uma bissetriz interna do triângulo ABC. Sendo AB = x + 8 , AC = 2x , BD = 10 e CD = 12 , determine x.
							R: 12
02) Na figura abaixo, CD é a bissetriz do ângulo C. Determine a medida x.
	 C
	 12		 20				R: 10
	 6 		 X
 A 	 D		 B 
03) Num triângulo ABC , AD é bissetriz interna do ângulo Â. Sabendo-se que BD = 18 , DC = 27 , AB = (5x - 1) e 
 AC = (7x + 1). Calcule o perímetro do triângulo ABC.
							R: 105
04) Calcule x e y no triângulo, sabendo-se que AD é bissetriz interna do ângulo Â. ( Dado x + y = 45)
	 A
 X		 Y 				R: 18 e 27
	 12		18
 B		 D		 C
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA
01) Na figura, BD é a bissetriz, AD = 12 cm , CD = 16 cm . Sendo AB = 2x + 6 e BC = 3x, determine o valor de x.
 	 B
 2X + 6 	 3X
							R: 24 
	 12	 16
 A	 D		 C
02) O perímetro de um triângulo ABC é igual a 45 cm. A bissetriz do ângulo A divide o lado oposto em dois segmentos, 
 respectivamente iguais a 10 cm e 8 cm. Calcule os lados do triângulo.
							R: 18 cm ; 15 cm e 12 cm
03) Os lados de um triângulo, medem 10 ; 15 e 20 m. Calcule a medida do menor dos segmentos em que a bissetriz inter
 na divide o lado maior.
							R: 8 cm
04) Determinar os valores de x e y na figura, sabendo que AD é bissetriz interna do triângulo ABC.
		 A
 2,5 cm		 5 cm			R: 2 cm e 4 cm
 B	 X	 D Y		 C
 		 6 cm
05) Na figura, AD é bissetriz do triângulo ABC. Sabendo-se que AB = 6 cm , AC = 4 cm e BC = 5 cm , determine as
 medidas dos segmentos BD e DC .
			 A
	 6 cm
			 4 cm			R: 3 cm e 2 cm
 B		 D		 C
		 5 cm
06) Um triângulo RST tem os lados medindo RS = 9 cm , ST = 6 cm e TR = 4 cm . Determine as medidas dos segmen-
 tos determinados no lado maior, pela bissetriz do ângulo oposto.
R: 3,6 cm e 5,4 cm	
TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA DE UM TRIÂNGULO 
	“A bissetriz do ângulo externo de um triângulo determina, sobre o lado oposto, dois segmentos subtrativos proporcio
nais aos outros dois lados”.
				A
 c	 b		 			
 	
			 
 B a		C	 n		 D		AD é bissetriz do ângulo A.
 			 m
EXERCÍCIOS DE SALA 
01) Nos triângulos ABC , AC é bissetriz externa. Determine em cada caso do valor de x.
				 A
											C
		 20					
			 10						 X	 10
 B	 15		 C	 X	 D 			 30		 20
								 D 	 	 B			 A
			R: 15								R: 6
02) UCG - Na figura a seguir, AB = 30 cm, AC = 20 cm, BC = 40 cm, AD é bissetriz interna do ângulo BÂC , AE é 
 bissetriz externa do ângulo Â . Pode-se então afirmar que DE = 96 cm
								 A
		 
		R: Verdadeira
	 
					 B		 D		C		 E
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
	“Dois triângulos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados corresponden- 
 tes são proporcionais”.
Caso AA ( “Se dois triângulos possuem dois ângulos congruentes, então esses triângulos são semelhantes”.
Caso LAL ( “Se dois triângulos possuem dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos correspondentes congrue-
	 tes, então os triângulos são semelhantes”.
Caso LLL ( “Se dois triângulos possuem os três lados correspondentes proporcionais, então esses triângulos são seme-
	 lhantes”.
		 A
	 c		b				A’		
							 c’	 b’
	 B				 C		B’		 C’
			 a					 a’
		
		2p = perímetro do triângulo 											k = razão de semelhança dos triângulos 
EXERCÍCIOS DE SALA
01) Os lados de um triângulo medem 8,4 cm , 15,6 cm e 18 cm. Esse triângulo é semelhante a um triângulo, cujo períme-
 tro mede 35 cm. Calcular o maior lado do segundo triângulo.
			R: 15 cm
02) Determine o valor de x:
 a)					 b)	r1 = 3
						r2 = 5
		 2				
						Calcule x.
	 4 X
	 									 O2
			 3				 O1
								 
		 3				 A	 X	 B		 C
		R: 3/2							R: 3
�
02) Determine x e y na figura, sendo MN // BC
	 B	 X	 C
	 M	 12	 N
	 Y		 45			R: x = 36 e y = 27
	 9 15
	 A
EXERCÍCIOS DE CASA
01) O raio da circunferência de centro O mede 5 cm e o do centro O’ mede 3 cm . Qual a medida de O’P?
		 A		 B			 P

Quantos lados tem o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo do externo?

O polígono regular cujo ângulo interno mede o triplo do ângulo externo é o octógono, polígono regular de 8 lados.

Quantos lados tem o polígono regular onde o ângulo externo é o dobro do interno?

Num polígono regular, um ângulo interno é o dobro do ângulo externo. Quantos lados tem esse polígono? Logo, o polígono é um hexágono.

Como calcular o ângulo interno é externo de um polígono regular?

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono é 360°. Para calcular a medida de cada ângulo externo de um polígono regular, basta dividir 360° pelo número de lados desse polígono.