Como fazer a soma de todos os termos?

A demonstração da fórmula da soma dos termos de uma PA baseia-se na soma dos números de 1 a 100 feita por Gauss ainda quando criança.

A fórmula para soma dos termos de uma Progressão Aritmética (PA) é bastante conhecida e apenas multiplica metade do número de termos de uma PA pela soma de seus termos inicial e final. A demonstração dessa fórmula envolve justamente algumas somas de termos, partindo de um princípio matemático percebido primeiro por Gauss.

Soma de Gauss

Quando criança, Gaus e sua turma na escola foram castigados por um professor: deveriam somar todos os números de 1 a 100. Como bom matemático que já era aos dez anos de idade, Gauss levou poucos minutos para encontrar o resultado 5050 e foi o único a acertar.

Gauss conseguiu esse feito por perceber que a soma dos extremos 1 e 100 é igual a 101, a soma do segundo com o penúltimo termo também é 101 e a do terceiro com o antepenúltimo também. Gauss simplesmente supôs que todas as somas dariam 101 e multiplicou esse resultado por metade do número de elementos da sequência, pois, como estava somando dois a dois, obteria 50 resultados iguais a 101.

Com isso, foi possível criar a seguinte regra:

Em uma PA, a soma dos termos equidistantes das extremidades tem o mesmo resultado que a soma das extremidades.

Demonstração da soma dos termos da PA

Tendo em vista que, somando termos equidistantes das extremidades, o resultado será o mesmo, podemos tomar uma PA de n termos e somar cada termo com sua extremidade. Assim, dada a PA (x1, x2, … ,xn-1, xn), a soma de seus termos é:

Sn = x1 + x2 +… +xn-1 + xn

Agora, a partir da mesma soma, mas com os termos invertidos:

Sn = x1 + x2 +… +xn-1 + xn

Sn = xn + xn – 1 +… +x2 + x1

Observe que os termos opostos já estão um abaixo do outro, mas nós duplicaremos o número de termos ao somarmos essas duas expressões. Portanto, diferentemente de Gauss, obteremos o dobro de uma soma:

Sn = x1 + x2 +… +xn-1 + xn

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+ Sn = xn + xn – 1 +… +x2 + x1

2Sn = (x1 + xn) + (x2 + xn-1) +… + (xn-1 + x2) + (xn + x1)

O dobro da soma de Gauss é exatamente o número de termos da PA. Como todas as somas acima são iguais à soma dos extremos, faremos essa substituição e reescreveremos a soma como uma multiplicação:

2Sn = (x1 + xn) + (x2 + xn-1) +… + (xn-1 + x2) + (xn + x1)

2Sn = (x1 + xn) + (x1 + xn) +… + (x1 + xn) + (x1 + xn)

2Sn = n(x1 + xn)

Encontramos o dobro da soma pretendida. Dividindo a equação por 2, teremos:

2Sn = n(x1 + xn)

Sn = n(x1 + xn)
      2

Essa é a fórmula usada para a soma dos termos de uma PA.

Exemplo:

Dada a P.A. (12, 24, …), calcule a soma dos seus 72 primeiros termos.

A fórmula para o cálculo da soma dos termos de uma PA depende do número de termos da PA (72), do primeiro termo (12) e do último, que não sabemos. Para encontrá-lo, utilize a fórmula do termo geral de uma PA.

an = a1 + (n – 1)r

a72 = 12 + (72 – 1)12

a72 = 12 + (71)12

a72 = 12 + 852

a72 = 864

Agora, usando a fórmula para soma dos termos de uma PA:

Sn = n(x1 + xn)
       2

S72 = 72(12 + 864)
         2

S72 = 72(876)
        2

S72 = 63072
        2

S72 = 31536

Exemplo 2

Calcule a soma dos 100 primeiros termos da PA (1, 2, 3, 4, …).

Já sabemos que o 100º termo da PA é 100. Usando a fórmula par calcular a soma dos termos de uma PA, teremos:

Sn = n(x1 + xn)
        2

S100 = 100(1 + 100)
           2

S100 = 100(101)
           2

S100 = 10100
           2

S100 = 5050

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Considere a PA finita:

(5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19).

Note que:

• 5 e 19 são extremos;
• 7 e 17 são termos equidistantes dos extremos;
• 9 e 15 são termos equidistantes dos extremos;
• 11 e 13 são termos equidistantes dos extremos.

Observe:

5 + 19 = 24 → soma dos extremos

7 + 17 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos

9 + 15 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos

11 + 13 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos

Baseada nessa ideia, existe a seguinte propriedade:

Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.

Através dessa propriedade, podemos descobrir a fórmula para a soma dos n termos de uma PA:

 Vamos considerar a PA finita

. Podemos representar por

a soma dos termos dessa PA.

Como a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos, a soma da PA é dada pela soma dos extremos vezes a metade do número de termos

, pois em cada soma estão envolvidos dois termos.

Assim, temos a fórmula da soma dos n termos de uma PA:

Observação: Através dessa fórmula, podemos calcular a soma dos n primeiros termos de uma PA qualquer, basta determinarmos o número de termos que queremos somar.

Exemplo 1

Qual a soma dos 10 primeiros termos da PA  (1, 4, 7, ...) ?

Resolução
Primeiramente, temos de descobrir qual é o 10º termo dessa PA:

Conhecendo o valor do 10º termo, podemos calcular a soma dos 10 primeiros termos dessa PA:

Portanto, a soma dos 10 primeiros termos da PA (1, 4, 7, ...) é 145.

Exemplo 2

A soma dos n primeiros números pares positivos de uma PA é 132. Encontre o valor de n.

Resolução

Primeiramente, vamos descobrir qual é o enésimo termo

:

Substituindo na fórmula da soma dos termos:

Portanto, a soma dos 11 primeiros números pares positivos é 132.

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