Fala, pessoal! Show Neste artigo, vou ensinar uma maneira muito prática para calcular uma excelente aproximação para a raiz n-ésima de um número p qualquer. O método que mostrarei a seguir é um caso particular do Método de Newton-Raphson. Vamos começar com a raiz quadrada para que você possa entender o método. Adaptando o método de Newton-Raphson, obtemos que a raiz quadrada de p pode ser aproximada por: Na fórmula acima, x é uma aproximação qualquer para a raiz quadrada de p. Exemplo 1: Calcular uma aproximação para √405,4. Ora, sabemos que √400=20. Assim, podemos usar 20 como uma aproximação inicial para √405,4, ou seja, x = 20. Ficamos com: Na calculadora, observamos que o valor exato é 20,13454742… . Obtivemos uma excelente aproximação!!! Exemplo 2: Calcular uma aproximação para √193. Ora, sabemos que 142 = 196. Logo, podemos usar x = 14 como aproximação inicial. Mais uma excelente aproximação!!! Na calculadora, tem-se que √193 = 13,89244399… . Vamos agora generalizar. Utilizando o método de Newton-Raphson, fiz uma adaptação para obtermos excelentes aproximações para raízes de qualquer índice. A fórmula é a seguinte: Na fórmula acima, x é uma primeira aproximação para a raiz procurada. Vamos fazer alguns exemplos para praticar. Exemplo 3: Calcular uma aproximação para Ora, sabemos que 63 = 216. Logo, podemos utilizar x = 6 para calcular a aproximação. Temos ainda que n = 3 e p = 237. Ficamos com: Na calculadora, obtém-se o valor exato de 6,18846…, ou seja, o nosso erro foi de apenas 0,09%. Exemplo 4: Calcular uma aproximação para Sabemos que 27 = 128. Logo, podemos utilizar x = 2 para calcular a aproximação. Na calculadora, obtém-se o valor exato de 2,0278…, ou seja, o nosso erro foi de apenas 0,05%. Veja que o caso anterior da raiz quadrada é apenas um caso particular dessa fórmula geral em que n = 2. Espero que tenham gostado! Um forte abraço, Guilherme Neves Você está em Ajuda > Dúvidas frequentes O melhor método para calcular a raiz quadrada é decompor o número em seus fatores primos. Por exemplo: RAIZ de 64. Decompomos o 64 seus fatores primos: 64 | 2 32 | 2 16 | 2 8 | 2 4 | 2 2 | 2 1 Logo 64 é igual a 26. Dividimos o expoente 6 pelo expoente da raiz quadrada (que é 2), e retiramos o número da raiz. Portanto, raiz de 64 é igual a 8. Saiba mais sobre decomposição em fatores primos. << Voltar para Dúvidas Frequentes Como referenciar: "Como se calcula raiz quadrada "na mão"?" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2022. Consultado em 23/05/2022 às 05:27. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/faq/raiz.php A raiz quadrada é uma operação básica e importante da Matemática. Se trata da operação inversa da potenciação. Assim, calcular a raiz quadrada de um número n é descobrir qual número elevado ao quadrado resulta em n. Por exemplo, a raiz quadrada de 9 é igual a 3, pois, 3² é 9. Uma raiz quadrada pode ser exata, gerando um número chamado de quadrado perfeito, ou pode ser não exata. Leia também: Expressões numéricas — o conjunto de operações fundamentais a serem calculadas Resumo sobre raiz quadrada
Videoaula sobre raiz quadradaA radiciação é uma das operações básicas da Matemática, sendo a operação inversa da potência. Existem vários tipos de raiz, como a raiz cúbica e a raiz quarta, mas a mais utilizada é a raiz quadrada. Quando calculamos, por exemplo, a raiz quadrada de um número a, o resultado dessa operação será o número que, ao elevarmos ao quadrado, resultará em a. Os outros casos de radiciação seguem o mesmo raciocínio. A raiz cúbica de um número x é o número cujo cubo é igual a x. Dizemos, por exemplo, que a raiz cúbica de 27 é 3, pois 3³ = 27. De forma semelhante, dizemos que a raiz quadrada de 81 é 9, pois 9² = 81. O que é raiz quadrada?A raiz quadrada é um caso particular da radiciação, sendo o mais comum deles. Conhecemos como raiz quadrada a radiciação com índice igual a 2. A raiz quadrada é a operação inversa da potência com o expoente 2, pois quando calculamos a raiz quadrada de um número a, estamos procurando qual número ao quadrado é igual a a. Quando o radical não apresenta número no índice, calcula-se a raiz quadrada do radicando. Exemplos: √4 = 2, pois 2² = 4 √9 = 3, pois 3² = 9 √16 = 4, pois 4² = 16 √25 = 5, pois 5² = 25 Como calcular a raiz quadrada?Para calcular a raiz quadrada de um número, geralmente recorremos à tabuada. Entretanto, quando o número é maior que 100, é possível utilizar o processo de fatoração para calcular a raiz quadrada exata. Ao realizar uma fatoração, agrupamos os fatores de dois em dois, já que é a raiz quadrada exata que estamos buscando. Já quando estamos calculando uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações. Saiba também: Propriedades dos radicais — simplificam e resolvem raízes de qualquer índice A raiz quadrada exata ocorre quando o resultado da operação é um número racional. Os exemplos supracitados são casos de raiz quadrada exata. Por exemplo, a √16 é exata porque o seu resultado é 4, que é um número racional. Quando há no radicando um número com raiz quadrada desconhecida, utilizamos fatoração para calcular uma raiz exata. Exemplo: Calcule o valor da √324. Resolução: Para encontrar a √324, inicialmente fatoraremos esse número: Dessa forma, calcula-se: √0 = 0 √1 = 1 √4 = 2 √9 = 3 √16 = 4 √25 = 5 √36 = 6 √49 = 7 √64 = 8 √81 = 9 √100 = 10 Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos. Em muitos casos, o número pode não possuir uma raiz quadrada exata, ou seja, a solução da raiz quadrada é um número irracional. Para calcular uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações, ou seja, números que quando elevamos ao quadrado chegam bem próximo do resultado desejado. Exemplo: Calcule o valor da √60. Resolução: Sabemos que essa raiz não é exata, então, primeiramente, identificaremos qual é o número anterior a 60 que possui raiz exata, que é 49, e também o número posterior a 60 que possui raiz exata, que é 64. √49 < √60 < √64 Calculando as raízes de 49 e 64: 7 < √60 < 8 Note que 60 está próximo de 64, então a √60 estará próxima de 8. Calcularemos, assim, o quadrado dos números próximos a 8. 7,9² = 62,41 7,8² = 60,84 7,7² = 59,29 Descobrimos que a √60 está entre 7,7 e 7,8. Portanto, dizemos que a √60 = 7,7 por falta ou que a √60 = 7,8 por excesso. Exercícios resolvidos sobre raiz quadradaQuestão 1 (Ethos concursos) A raiz quadrada de um número é uma importante operação matemática, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Somente alguns números possuem raiz quadrada, aqueles considerados quadrados perfeitos. Sendo assim, calcule a raiz quadrada de 625 e assinale a alternativa CORRETA. A) 35 B) 24 C) 25 D) 17 E) 49 Resolução: Alternativa C Inicialmente, realizaremos a fatoração do número: Dessa forma, temos: √625 = √54 √625 = 5² √625 = 25 Questão 2 Sobre a raiz quadrada, julgue as afirmativas a seguir: I → É possível calcular a raiz quadrada de número negativo. II → Os números 0, 1, 4, 9 e 16 são todos quadrados perfeitos menores que 20. III → A raiz quadrada de 6 é igual a 3. As afirmativas são, respectivamente: A) V, V e V. B) F, F e F. C) F, F e V. D) F, V e F. E) V, F e V. Resolução: Alternativa D I → Falsa A potência de dois possui resultado somente positivo, logo, não é possível calcular a raiz quadrada de um número negativo. II → Verdadeira Os números listados são os únicos que possuem raiz exata menores que 30. III → Falsa 3² = 9, logo, a raiz quadrada de 9 é 3, e não a de 6. |