C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 1 Trigonometria e Álgebra Módulos 33 – Inequações trigonométricas 39 – Resolução de triângulos 34 – Inequações trigonométricas 40 – Sequências e progressão aritmética 35 – Adição e subtração de arcos 41 – Termo geral de uma progressão aritmética 36 – Arco duplo 42 – Termo geral de uma progressão aritmética 37 – Lei dos senos 43 – Propriedade de três termos consecutivos de uma P.A. 38 – Lei dos cossenos 44 – Termos equidistantes dos extremos Palavras-chave: 33 e 34 Inequações trigonométricas • Seno • Cosseno • Tangente Resumo teórico 1. Função seno a) f : → tal que f(x) = sen x = ON b) o conjunto imagem é [– 1; 1] e o período é 2π 2. Função cosseno a) f : → tal que f(x) = cos x = OM b) o conjunto imagem é [– 1; 1] e o período é 2π 3. Função tangente π a) f : {x ∈ x ≠ –– + n π} → tal que f(x) = tg x = AT 2 b) o conjunto imagem é e o período é π 4. Para 30°, 150°, 210° e 330° temos: 1 sen 30° = sen 150° = ––– ; 2 1 sen 210° = sen 330° = – ––– 2 MATEMÁTICA 1 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 2 3 cos 30° = cos 330° = –––– ; 2 3 cos 150° = cos 210° = – –––– 2 3 tg 30° = tg 210° = –––– ; 3 3 tg 150° = tg 330° = – –––– 3 6. Para 60°, 120°, 240° e 300° temos: 3 sen 60° = sen 120° = –––– ; 2 3 sen 240° = sen 300° = – –––– 2 1 cos 60° = cos 300° = –– ; 2 5. Para 45°, 135°, 225° e 315° temos: 2 sen 45° = sen 135° = –––– ; 2 1 cos 120° = cos 240° = – –– 2 tg 60° = tg 240° = 3 ; tg 120° = tg 300° = – 3 2 sen 225° = sen 315° = – –––– 2 2 cos 45° = cos 315° = –––– ; 2 2 cos 135° = cos 225° = – –––– 2 tg 45° = tg 225° = 1; tg 135° = tg 315° = – 1 2 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 3 Exercício Resolvido – Módulos 33 e 34 Resolva a inequação 2 cos x + 3 0, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π Resolução Resposta: V = 2 cos x + 3 0 ⇔ 2 cos x – 3 ⇔ cos x – 3 –––– ⇔ 2 π x ∈ 0 + n . π x –––4 + n . π, n ∈ Resolver a inequação 2 . sen x – a) x ∈ [0; 2π] Resolução b) x ∈ 5π 7π 3 ⇔ – 1 ≤ cos x – –––– ⇔ –––– x –––– 6 6 2 Resposta: V = 5π 7π x ∈ –––– x –––– 6 6 Resolver a inequação 2 cos x + 3 0, supondo que: 2 sen x – 30⇔ 3 ⇔ sen x –––– ⇔ 2 3 ⇔ –––– sen x 1, pois 2 3 0, em . – 1 sen x 1 Resolução 3 De acordo com a resolução anterior, temos – 1 cos x – –––– 2 a) π 2π 3 Se x ∈ [0; 2π] e –––– sen x 1 então –– x –––– 3 3 2 3 Se – 1 cos x – –––– e x ∈ , então 2 b) 3 Se x ∈ e –––– sen x 1 então 2 V= x∈ 5π 7π ––– + n . 2π x ––– + n . 2π, n ∈ 6 6 π 2π ––– + n . 2π x ––– + n . 2π; n ∈ 3 3 Respostas: a) V = Resolver, em , – 1 tg x – 1 0 Resolução b) V = – 1 tg x – 1 0 ⇔ 0 tg x 1 x ∈ 2π π ––– x ––– 3 3 π 2π x ∈ –– + n . 2π x ––– + n.2π; n ∈ 3 3 Exercícios Propostos – Módulo 33 Resolver as inequações e , supondo 0 x 2π 2 cos x 1 RESOLUÇÃO: 1 cos x –– 2 V= 5π x ∈ ––3π x –––– 3 MATEMÁTICA 3 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 4 tg x 1 RESOLUÇÃO: 3tg x + 3 < 0 RESOLUÇÃO: 3 tg x < – –––– 3 V= x ∈ ––4 x < ––2 ou –––4 x < –––2 π π 5π 3π V = {x ∈ | 90° < x < 150° ou 270° < x < 330°} Resolver as inequações , e supondo 0° x 360°. RESOLUÇÃO: 2 sen x – 1 0 1 cos x –– 2 RESOLUÇÃO: 1 sen x –– 2 V = {x ∈ | 30° x 150°} V = {x ∈ | 0° x 60° ou 300° x 360°} Exercícios Propostos – Módulo 34 Resolva, em , as inequações de a : | V = {x ∈ 30° + n . 360° x 150° + n . 360°, n ∈ } 2 sen x – 1 0 RESOLUÇÃO: 1 sen x –– 2 4 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 5 2 cos x – 2 0 2 cos x –––– 2 | V = {x ∈ 45° + n . 360° x 315° + n . 360°, n ∈ } tg x – 3 2 cos x – 1 > 0 RESOLUÇÃO: 1 cos x > –– 2 RESOLUÇÃO: | V = {x ∈ – 60° + n . 360° < x < 60° + n . 360°, n ∈ } 2 sen (3x) – 1 0 >0 RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: tg x > 3 1 sen(3x) –– 2 | V = {x ∈ 60° + n . 180° < x < 90° + n . 180°, n ∈ } 30° + n . 360° 3x 150° + n . 360° ⇔ 10° + n . 120° x 50° + n . 120° | V = {x ∈ 10° + n . 120° x 50° + n . 120°, n ∈ } MATEMÁTICA 5 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 6 Palavras-chave: 35 Adição e subtração de arcos 3. Demonstra-se que: 1. tg a + tg b tg(a + b) = –––––––––––––– 1 – tg a . tg b sen(a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a sen(a – b) = sen a.cos b – sen b.cos a tg a – tg b tg(a – b) = –––––––––––––– 1 + tg a . tg b ∀a, b ∈ 2. • Arcos notáveis • Soma de arcos • Diferença de arcos cos(a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b (supondo que a, b, a + b e a – b sejam, todos, cos(a – b) = cos a.cos b + sen a.sen b π diferentes de ––– + nπ, com n ∈ ) 2 ∀a, b ∈ Exercícios Resolvidos Calcular sen 15° Resolução sen 15° = sen(45° – 30°) = = sen 45° . cos 30° – sen 30° . cos 45° = 6 – 2 2 1 = –––– . –––– – –– . –––– = –––––––––– 2 2 2 2 4 2 3 6 – 2 Resposta: –––––––––– 4 Calcular tg 105° Resolução tg 105° = tg (60° + 45°) = 3 + 1 tg 60° + tg 45° = –––––––––––––––––– = –––––––––– = 1 – tg 60° . tg 45° 1 – 3.1 (3 + 1) (1 +3 ) 4 + 23 = ––––––––––––––––– = –––––––– = – 2 – 3 (1 – 3 ) (1 +3 ) –2 Resposta: – 2 – 3 Resolução De acordo com o enunciado temos a seguinte figura: 3 + 3 3 3 + = –––––––– . –––––––– = 3 + 3 3 – 3 3 12 + 6 3) 6 . (2 + 3 = ––––––––– = ––––––––––––– = 2 + 6 6 Resposta: 2 + 3 (MODELO ENEM) – Em uma região plana de um parque estadual, um guarda florestal trabalha no alto de uma torre cilíndrica de madeira de 10 m de altura. Em um dado momento, o guarda, em pé no centro de seu posto de observação, vê um foco de incêndio próximo à torre, no plano do chão, sob um ângulo de 15° em relação à horizontal. Se a altura do guarda é 1,70 m e sabendo que tg a – tg b tg (a – b) = ––––––––––––––– , no cálculo da 1 + tg a . tg b 3 = 1,7 antes de racionalizar), tg 15° (usar calcular aproximadamente a distância do foco ao centro da base da torre, em metros. Calcular tg 75° Sendo F o foco do incêndio e d a distância do foco ao centro da base da torre, e admitindo que 1,70 m é a distância dos olhos do guarda aos pés, concluímos que 10 + 1,70 11,70 tg 15° = ––––––––– ⇔ tg(60° – 45°) = –––––– ⇔ d d 11,70 tg 60°– tg 45° ⇔ –––––––––––––––––– = –––––– ⇔ d 1 + tg 60° . tg 45° 3 – 1 11,70 ⇔ ––––––––– = ––––––– ⇔ d 3 + 1 Resolução tg 45° + tg 30° tg 75° = tg (45° + 30°) = –––––––––––––––– = 1 – tg 45° . tg 30° 3 1 + –––– 3 3 + 3 = –––––––––––––– = –––––––– = 3 – 3 3 1 – 1 . –––– 3 6 11,7 1,7 – 1 ⇔ ––––––––– = –––––– ⇔ d 1,7 + 1 3 = 1,7 antes de racionalizar Obs: use a) 31 b) 33 c) 35 d) 37 e) 43 2,7 . 11,7 ⇔ d = –––––––––––– 43 m 0,7 Resposta: E MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 7 Exercícios Propostos Calcular, (UERJ – MODELO ENEM) – Um holofote está situado no ponto A, a 30 metros de altura, no alto de uma torre a) sen 75° perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma parte desse chão, do ponto C ao ponto D, RESOLUÇÃO: alinhados a base B, conforme demonstra a figura abaixo: sen 75° = sen(45° + 30°) = sen 45°cos 30° + sen 30° . cos 45° = 2 A 3 6 2 2 6 + 2 1 = ––– . ––– + –– . ––– = ––– + ––– = ––––––––– 2 2 4 4 2 4 2 B D C Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a medida do ângulo CAD corresponde a: a) 75° b) 60° c) 45° d) 30° e) 15° b) Calcular cos 105°. RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: cos 105° = cos (60° + 45°) = cos 60° . cos 45° – sen 60° . sen 45° = 1 2 3 2 2 – 6 = ––– . –––– – –––– . –––– = ––––––––– 2 2 2 4 2 A x y 30 m 2 – 6 Resposta: ––––––––– 4 B 20 m C D 150 m No triângulo ABC, temos: 20 tg x = –––– 30 2 tg x = ––– 3 No triângulo ABD, temos: c) tg 15° 150 tg (x + y) = –––– 30 RESOLUÇÃO: Desenvolvendo, temos: tg x + tg y –––––––––––––– = 5 1 – tg x . tg y tg 60° – tg 45° 3 –1 = tg 15° = tg(60° – 45°) = ––––––––––––––––– = ––––––––– 1 + tg 60° . tg 45° 1 + 3.1 3 –1 3 1 – 3 – 3 – 1 + 3 2 3–4 = –––––––– . –––––––– = –––––––––––––––– = ––––––––– = 1 – 3 1–3 –2 1 + 3 = – 3 + 2 = 2 – 3 tg (x + y) = 5 2 10 ––– + tg y = 5 – ––– tg y 3 3 2 + 3 tg y = 15 – 10 tg y 13 tg y = 13 13 tg y = ––– 13 tg y = 1 Resolvendo, temos: y = 45° Resposta: C MATEMÁTICA 7 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 8 o valor de sen 23° pode ser aproximado por π cos –– + x 2 (UFOP) – A expressão –––––––––––– é equivalente a π sen –– – x 2 a) tg x b) cotg x c) – tg x d) – cotg x (MODELO ENEM) – Sabendo-se que o seno de 53° é aproximadamente 0,8 e usando-se a expressão para sen(α – β), 2 – 0,1 a) 0,2 3 – 0,3 b) 0,4 2 – 0,2 c) 0,5 RESOLUÇÃO: π π π cos –– + x cos –– cos x – sen –– sen x – sen x 2 2 2 –––––––––––– = –––––––––––––––––––––––––––– = –––––––– = – tg x cos x π π π sen –– cos x – sen x cos –– sen –– – x 2 2 2 3 – 0,3 d) 0,6 2 – 0,1 e) 0,8 RESOLUÇÃO: 1) cos 53° = Resposta: C 1 – sen2 53 = 1 – 0,82 = 1 – 0,64 = 0,36 = 0,6 2) sen 23° = sen(53° – 30°) = sen 53° . cos 30° – sen 30° . cos 53° = 1 3 = 0,8 . –––– – –– . 0,6 = 0,4 3 – 0,3 2 2 Resposta: B 8 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 9 Palavras-chave: Arco duplo 36 • Dobro de um arco • Metade de um arco • Bissetriz Assim: 1. Cálculo de sen (2a) cos (2a) = cos 2a – sen 2a Substituindo b por a na fórmula sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a temos: sen (a + a) = sen (2a) = = sen a . cos a + sen a . cos a = 2 . sen a . cos a 3. Cálculo de tg (2a) Substituindo b por a na fórmula Assim: tg a + tg b tg (a + b) = ––––––––––––– temos: 1 – tg a . tg b sen (2a) = 2 . sen a . cos a 2 . tg a tg a + tg a tg (a + a) = tg (2a) = ––––––––––––– = –––––––––– 1 – tg2a 1 – tg a . tg a 2. Cálculo de cos (2a) Substituindo b por a na fórmula Assim: cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b temos: 2 . tg a tg (2a) = –––––––––– 1 – tg 2a cos (a + a) = cos (2a) = = cos a . cos a – sen a . sen a = cos2a – sen2a Exercícios Resolvidos 2 5 Sendo sen a = ––– e cos a = –––– , obter 3 3 ENEM) – A figura ilustra recomendações dos 65 30 e) ––– ≤ v ≤ –––– k 2k sen (2a) e cos (2a) especialistas em visão para o posicionamento Resolução Resolução correto de um indivíduo diante da tela do com- a) sen (2a) = 2 . sen a . cos a (F. MED. TRIÂNGULO MINEIRO – MODELO putador. 2 5 4 5 sen (2a) = 2 . ––– . –––– = –––– 3 3 9 b) 1) 2) cos (2a) = cos2 a – sen2 a = 2 2 – ––32 = ––91 5 = –––– 3 4 5 1 Resposta: sen (2a) = –––– e cos (2a) = ––– 9 9 Calcular tg (2x) sabendo que tg x = 3 Resolução 3) 4) Seguindo-se tais recomentações e admitindo-se cos 10° = k, todos os comprimentos possíveis da linha de visada (v), em cm, estão no intervalo 2 . tg x 2.3 3 tg (2x) = –––––––––– = –––––– = – ––– 2 4 1 – tg x 1–9 65 60 a) ––– ≤ v ≤ ––––––– k 2k2 – 1 65 60 b) ––– ≤ v ≤ –––––– k 2 – k2 3 Resposta: tg (2x) = – ––– 4 65 60 c) ––– ≤ v ≤ ––– 2k k 65 60 d) ––– ≤ v ≤ –––– k k2 MATEMÁTICA 5) cos 10° = k cos 20° = cos2 10° – sen210° = = 2 cos2 10° – 1 = 2k2 – 1 cos 10° > cos 20° d d cos α = ––– ⇔ V = ––––––– cos α V O valor de V é máximo para d = 65 e cos α = cos 20° = 2k2 – 1. 65 Logo: Vmáximo = ––––––– 2k2 – 1 6) O valor de V é mínimo para d = 60 e cos α = cos 10° = k. 60 Logo: Vmínimo = –––– k Resposta: A 9 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 10 Exercícios Resolvidos 1 π Sendo 0 < x < ––– e sen x = ––– , calcular sen(2x) 3 2 RESOLUÇÃO: 1) sen2x + cos2x = 1 1 –– + cos2x = 1 9 8 cos2x = –– 9 2 , pois 0 < x < π 2 cos x = ––––– –– 2 3 2) sen(2x) = 2 . sen x . cos x 1 2 = 4 2 sen(2x) = 2 . –– . 2 –––– ––––– 3 3 9 O valor de 3 . sen 10° . (tg 5° + cotg 5°) é igual a 3 a) ––– 2 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 RESOLUÇÃO: 3 sen 10° . (tg 5° + cotg 5°) = = 3 . 2 sen 5° . cos 5° . 1 Sabendo-se que sen a + cos a = ––– , calcular sen (2a) 2 RESOLUÇÃO: (sen a + cos a)2 = + ––––––– = ––––––– cos 5° sen 5° sen 5° cos 5° sen25° + cos25° = 6 . sen 5° . cos 5° . ––––––––––––––––– = 6 sen 5° . cos 5° Resposta: E 1 ––2 2 1 sen2a + 2 sen a . cos a + cos2a = –– 14243 4 sen(2a) 1 1 sen(2a) = –– – 1 4 –3 sen(2a) = –––– 4 10 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 11 (FUVEST) – O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro dessa circunferência. (MODELO ENEM) – Na figura abaixo, o segmento BC representa uma torre metálica vertical com 10 metros de altura, sobre a qual está fixada uma antena transmissora de sinais de uma estação de rádio FM, também vertical, com x metros de comprimento. Sendo x e y as medidas dos ângulos indicados na figura, a área da região cinza, em função de x e y, é: a) π + sen(2x) + sen(2y) c) π – cos(2x) – cos(2y) b) π – sen(2x) – sen(2y) cos(2x) + cos(2y) d) π – –––––––––––––––– 2 sen(2x) + sen(2y) e) π – ––––––––––––––––– 2 A reta r é uma das retas do plano do chão, que passa pela base B da torre. Sabe-se que o ângulo CÂD, no qual A é um ponto de r, distante 30 m de B, tem medida α. Qual será o tamanho da antena CD, se o ângulo CÂB também tiver a medida α? a) 20 m. b) 18 m. c) 17,5 m. d) 14 m. e) 12,5 m. RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura: — 1) Como DB é diâmetro, temos que ΔABD e o ΔDCB são retân- — gulos de hipotenusa DB. 2) No ΔABD, temos: AD = 2 sen x e AB = 2 cos x AB.AD Logo, sua área é ––––––– = 2 sen x cos x = sen(2x). 2 3) No ΔDCB, temos CB = 2 sen y e CD = 2 cos y. CD.CB Logo, sua área é ––––––– = 2 sen y cos y = sen (2y). 2 4) Assim, a área pedida é π . 12 – sen (2x) – sen (2y) = π – sen (2x) – sen (2y). Resposta: B BC 10 1 I) No Δ ABC, temos: tgα = –––– = ––– = –– . AB 30 3 BD x + 10 II) No Δ ABD, temos: tg (2α) = –––– = –––––– AB 30 2 . tgα Como tg (2α) = ––––––––– , resulta: 1 – tg2α 1 2. –– x + 10 3 x + 10 3 –––––– = –––––––––– ⇔ –––––– = –– ⇔ x + 10 = 22,5 ⇔ x = 12,5 m 30 30 4 1 2 1– –– 3 Resposta: E MATEMÁTICA 11 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 12 Palavras-chave: 37 Leis dos senos • Triângulo • Circunferência circunscrita A razão entre a medida de um lado de um triângulo e o seno do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo. a b c ––––––– = ––––––– = ––––––– = 2R ^ ^ ^ sen B sen C sen A Seja BD = 2R (diâmetro da circunferência) e o triân^ gulo retângulo BCD, com C = 90°. a BC Por definição: sen α = –––– ou sen α = –––––– . 2.R BD ^ ^ Se A é agudo, tem-se A = α (ambos têm por medida a metade do ângulo central correspondente – figura I). ^ ^ Se A é obtuso, tem-se A = 180° – α (todo quadrilátero inscritível tem os ângulos opostos suplementares – figura II). ^ Nos dois casos, sen α = sen A e, portanto, a a ^ sen A = –––––– ⇔ 2R = –––––– ^ 2.R sen A Considerando-se os diâmetros que passam por C e por A, de modo análogo, obtém-se Demonstração Seja o triângulo ABC, inscrito na circunferência de raio R. b –––––– = 2R e ^ sen B c –––––– = 2R ^ sen C Consequentemente, a b c ––––––– = ––––––– = ––––––– = 2 . R ^ ^ ^ sen B sen C sen A Exercícios Resolvidos Obter o raio da circunferência, circunscrita ao triângulo ABC, ^ dados A = 30° e BC = 7 cm. Resolução BC Pela Lei dos Senos, temos –––––– = 2 . R e, portanto, sen A 7 7 –––––––– = 2 . R ⇔ –––– = 2R ⇔ R = 7 1 sen 30° –– 2 Resposta: 7 cm 12 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 13 ^ ^ Num triângulo ABC, são dados: A = 75°; B = 45° e AB = 6. 6 Seja o triângulo ABC da figura. Determinar a medida do lado AB, sabendo que AC = 15 2 cm. Calcular a medida do lado AC. a) 2 b) Resolução c) 1/2 d) 4 e) 1/4 Resolução Pela lei dos senos, temos ^ ^ ^ Sendo A = 75° e B = 45°, resulta C = 60°. Pela lei dos senos, temos AC AB AC AC 6 6 ––––––– = ––––––– ⇔ ––––––– = ––––––– ⇔ ––––– = ––––– ⇔ sen 45° sen 60° sen 45° sen 60° 2 3 –––– –––– 2 2 ⇔ AC = 2 15 2 AB AC AB ––––––– = ––––––– ⇔ –––– = –––––– ⇔ AB = 15 sen 30° sen 45° 1 2 –– –––– 2 2 Resposta: 15 cm Resposta: A Exercícios Propostos Determinar a medida do lado AB do triângulo ABC ^ ^ 2 cm, A = 30° e C = 45°. sabendo que BC = 10 RESOLUÇÃO: Calcular o raio da circunferência circunscrita a um triângulo do qual se conhecem um lado a = 20 m e o ângulo oposto ^ A = 60°. RESOLUÇÃO: x x 2 10 10 2 ––––––– = –––––––– ⇔ ––––– = ––––––– ⇔ sen 45° sen 30° 1 2 ––– ––– 2 2 1 ⇔ –– x = 10 . 2 2. 2 –––– ⇔ x = 20 cm 2 20 3 ––––––– = 2 R ⇔ 2R . –––– = 20 ⇔ sen 60° 2 3 20 3 20 ⇔ R = –––– . –––– ⇔ R = ––––––– m 3 3 3 MATEMÁTICA 13 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 14 (UNESP-MODELO ENEM) – Uma pessoa se encontra no (UNIRIO – MODELO ENEM) ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ^ ^ ^ ângulos B AC e BCD valem 30°, e o ângulo ACB vale 105°, como mostra a figura. — Um barco está preso por uma corda ( AC) ao cais, através de um — mastro ( AB) de comprimento 3 m, como mostra a figura. A — distância, em metros, da proa do barco até o cais ( BC) é igual a: 3 2 + 6 a) –––––––––– 2 3 2 + 6 b) –––––––––– 4 2 + 6 d) –––––––––– 4 6 e) 2 + 6 c) –––––––––– 2 A altura h do mastro da bandeira, em metros, é a) 12,5. 2. b) 12,5 2. d) 25,0 e) 35,0. c) 25,0. RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: I) ^ ^ A = 75° ⇒ C = 60° ^ ^ A + C = 135° II) sen 75° = sen (45° + 30°) = = sen 45° . cos 30° + sen 30° . cos 45° = 1 2 3 2 6 + 2 = ––––– . ––––– + ––– . ––––– = ––––––––– 2 2 2 2 4 Aplicando a lei dos senos no triângulo ABC, temos: BC 50 BC 50 ––––––– = ––––––– ⇒ ––––––– = ––––––– ⇒ BC = 252 m 1 sen 30° sen 45° 2 ––– ––– 2 2 III)Pela lei dos senos, tem-se: AB BC ^ ^ ––––––– = ––––––– ⇔ BC . sen C = AB . sen A ⇒ ^ ^ sen C sen A ⇒ BC . sen 60° = 3 . sen 75° Assim, no triângulo retângulo BDC, temos: 3 6 + 2 ⇔ BC . –––– = 3 . ––––––––– ⇔ 2 4 h 1 h sen 30° = –––– ⇒ –– = ––––– ⇒ h = 12,52 m BC 2 252 3 . ( 3 . ( 6 + 2) 6 + 2) . 3 ⇔ BC = –––––––––––––– = –––––––––––––––––– = 2 . 3 2 . 3 . 3 Resposta: B 18 + 6 2 + 6 3 = –––––––––––– = –––––––––––– 2 2 Resposta: A 14 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 15 Palavras-chave: 38 Leis dos cossenos • Cosseno O quadrado da medida de um lado de um triângulo, é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo compreendido entre eles. ^ a2 = b2 + c2 – 2bc . cos A ^ b2 = a2 + c2 – 2ac . cos B ^ c2 = a2 + b2 – 2ab . cos C Exercícios Resolvidos (MODELO ENEM) – Leia com atenção o problema proposto a Calvin na tira seguinte. a) 5 3 ––––– 3 d) 5 3 8 3 b) ––––– 3 10 3 c) –––––– 3 e) 10 3 Resolução A partir do enunciado, o triângulo ABC tem as dimensões indicadas na figura a seguir: 10 3 Portanto, AC = –––––––– 3 Resposta: C Determinar a medida do lado BC, no triângulo da figura. Resolução Pela lei dos cossenos, temos Jornal O Estado de S. Paulo, 28/04/2007 Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo cujo ângulo do vértice A mede 60°, então a resposta correta que Calvin deveria encontrar para o problema é, em centímetros, MATEMÁTICA Pela Lei dos Cossenos, temos a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos A 52 = (2x) 2 + x 2 – 2 . (2x) . x . cos 60° ⇔ Então: BC2 = 32 + 42 – 2 . 3 . 4 . cos 60° ⇔ 1 ⇔ 25 = 4x 2 + x 2 – 4x 2 . ––– ⇔ 2 ⇔ BC2 = 9 + 16 – 24 . –– ⇔ BC2 = 13 e, 25 3 5 ⇔ 25 = 3x 2 ⇔ x 2 = ––– ⇔ x = –––––– 3 3 ^ 1 2 portanto, BC = 13 Resposta: 13 15 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 16 Exercícios Propostos Um triângulo tem dois lados com medidas 6 cm e 3 cm, formando um ângulo de 60°. Calcular a medida do lado oposto ao ângulo de 60°. RESOLUÇÃO: x2 = 32 + 62 – 2 . 3 . 6 . cos 60° 1 x2 = 9 + 36 – 36 . –– 2 x2 = 9 + 36 – 18 x2 = 27 3 cm x = 3 (FUVEST) – Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. O cosseno do maior ângulo de T é 5 a) –– 6 4 b) –– 5 3 c) –– 4 2 d) –– 3 1 e) –– 8 RESOLUÇÃO: 62 = 42 + 52 – 2 . 5 . 4 . cos x 36 = 16 + 25 – 40 cos x 40 cos x = 5 1 cos x = –– 8 Resposta: E 16 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 17 (UNESP-MODELO ENEM) – Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80 km e 160 km. Um dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa. Sendo d a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, de acordo com a lei dos cossenos, temos: d2 = 802 + 1602 – 2 . 80 . 160 . cos (60° + 90°) d2 = 802 + 4 . 802 – 2 . 2 . 802 . 3 – –––– 2 d2 = 802 . (5 + 2 3) d = 80 . 5 + 2 . 3, pois d > 0 Resposta: B Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de: a) 80 . 2 + 5 . 3 b) 80 . 5 + 2 . 3 c) 80 . 6 d) 80 . 5 + 3 . 2 e) 80 . 7 . 3 RESOLUÇÃO: MATEMÁTICA 17 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 18 (INSPER-MODELO ENEM) – Partindo de um ponto A, um avião deslocava-se, em linha reta, com velocidade v km/h. Após duas horas, quando se encontrava no ponto B, o avião desviou α graus de sua rota original, conforme indica a figura, devido às condições climáticas. Mantendo uma trajetória reta, o avião voou mais uma hora com a mesma velocidade v km/h, até atingir o ponto C. Dados: C sen a = ___ 7 4 cos a = __ 3 4 a B A A distância entre os pontos A e C, em quilômetros, é igual a a) 2v 5 b) v 7 d) v e) 2v 2 c) v 6 RESOLUÇÃO: No trecho de A até B, o avião deslocou-se por 2 horas a uma velocidade de v km/h, portanto, AB = 2v. No trecho de B até C, o avião deslocou-se por 1 hora com a mesma velocidade, portanto, BC = v. No triângulo ABC, temos: C v 180º - a a B 2v A AC2 = AB2 + BC2 – 2 . AB . BC . cos (180 ° – α ) ⇔ ⇔ AC2 = (2v)2 + v2 + 2 . 2v . v . cos α ⇔ 3 ⇔ AC2 = 4v2 + v2 + 4v2 . ––– ⇔ 4 ⇔ AC2 = 8v2 ⇔ AC = 2v2 Resposta: E 18 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 19 Palavras-chave: Resolução de triângulos 39 • Lei dos senos • Lei dos cossenos Resumo Lei dos senos a b c ––––––– = ––––––– = ––––––– = 2R ^ ^ ^ sen B sen C sen A Lei dos cossenos ^ a2 = b2 + c2 – 2bc . cos A ^ b2 = a2 + c2 – 2ac . cos B ^ c2 = a2 + b2 – 2ab . cos C Exercícios Propostos (MODELO ENEM) – A figura mostra o trecho de um rio onde se deseja construir uma ponte AB. De um ponto P, a 100 ^ m de B, mediu-se o ângulo APB = 45° e do ponto A, mediu-se ^ o ângulo PAB = 30°. Calcular o comprimento da ponte. RESOLUÇÃO: A 30° x a) 100 2m 2m b) 50 B 45° c) 100 m P 100 d) 110 m O comprimento x da ponte AB, em metros, é tal que: 3m e) 100 100 x x 100 2 ––––––– = ––––––– ⇔ ––––– = –––––– ⇔ x = 100 sen 45° sen 30° 1 2 ––– ––– 2 2 Resposta: A MATEMÁTICA 19 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 20 (UNICAMP-MODELO ENEM) – Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito. AB 15 3 ⇔ ––––– = ––––– ⇔ AB = 5 3 1 ––– ––– 2 2 b) Aplicando-se a lei dos cossenos no triângulo BCD, temos: ^ (BD)2 = (BC)2 + (CD)2 – 2.(BC).(CD).cos BCD ⇒ π ⇒ (BD)2 = 152 + 102 – 2 . 15 . 10 . cos ––– ⇔ 3 1 ⇔ (BD)2 = 225 + 100 – 2 . 15 . 10 . ––– ⇔ 2 ⇔ BD = 175 ⇔ BD = 5 7 Respostas: a) 5 3m Visada Ângulo ^ ACB π/6 ^ BCD π/3 ^ π/6 ABC b) 5 7m a) Calcule a distância entre A e B. b) Calcule a distância entre B e D. RESOLUÇÃO: a) π ^ ^ No triângulo ABC, temos: ABC = ACB = ––– 6 π π 2π ^ e, portanto, CAB = π – ––– – ––– = ––– 6 6 3 Aplicando-se a lei dos senos no triângulo ABC, temos: BC AB 15 AB ––––––––– = ––––––––– ⇒ ––––––––– = ––––––––– ⇔ ^ ^ π 2π sen CAB sen ACB sen ––– sen –––– 6 3 20 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 21 (UNICAMP-MODELO ENEM) – Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras abaixo ilustram a rampa que terá que ser vencida e a bicicleta de Laura. 2 3 + 1 ⇒ b = 11 Respostas: a) 31,5 m b) 11 2 3 + 1 cm a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação α, tal que cos(α) = 0,99. Suponha, também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a altura h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100 pedaladas. b) O quadro da bicicleta de Laura está destacado a seguir. Com base nos dados da figura e sabendo que a mede 22 cm, calcule o comprimento b da barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais. RESOLUÇÃO: a) Após 100 pedaladas, Laura subiu 3,15 . 100 = 315 metros da rampa, atingindo a altura, em metros, de: h = 315 . sen α = 315 . = 315 . 1 – cos2 α = )2 = 315 . 1 – ( 0,99 0,01 = 31,5 b) A figura seguinte esquematiza o quadro da bicicleta de Laura. 26º 75º a 24º 79º 77º 30º Sendo sen 75° = sen (45° + 30°) = 6 + 2– = sen 45° . cos 30° + sen 30° . cos 45° = –––––––– , 4 temos, pela lei dos senos e em centímetros: b 22 a b ––––––– = –––––– ⇒ ––––––––––– = ––––– ⇒ 1 sen 30° sen 75° 6 + 2 –– –––––––– 2 4 MATEMÁTICA 21 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 22 (FGV – MODELO ENEM) – A polícia já havia comprovado que o único supermercado da cidade fora arrombado entre 7h e 7h15min da manhã. A quantia de R$ 1 895,00 havia sido roubada do caixa. Os únicos suspeitos eram dois seguranças do próprio supermercado: Luís e Pedro. Foram tomados seus depoimentos e um croqui foi feito: supermercado y 12 Logo, ––––– = ––––– ⇒ y = 18 0,9 0,6 De (I) e (II), concluímos que Luís fez o percurso até o supermercado em 1 hora, pois 18 = 18 . t (t em horas) ⇔ t = 1, chegando ao supermercado às 7h20min, ocasião em que o assalto já havia ocorrido. Por outro lado, Pedro fez o percurso até o supermercado em 45 minutos, pois 18 = 24 . t (t em horas) ⇔ t = h = 45 minutos, chegando ao supermercado às 6h45min, ocasião em que o assalto ainda não havia ocorrido. Assim, ele não pode ter visto a porta arrombada. Com base nos depoimentos e no croqui, o provável culpado é Pedro. Resposta: O provável culpadol é Pedro. supermercado 72° 68° 12km casa de Luís casa de Pedro 1.o suspeito: Luís “Saí da minha casa para trabalhar às 6h20min. Fui de bicicleta, em linha reta, direto da minha casa ao supermercado. Vou, como todos os dias, a uma velocidade média de 18 km/h. Quando cheguei, vi a porta arrombada e muitos curiosos observando.” 2.o suspeito: Pedro “Fui direto da minha casa ao supermercado, em linha reta, de bicicleta a uma velocidade média de 24 km/h. Saí da minha casa exatamente às 6h. Quando cheguei, vi a porta arrombada e o carro da polícia estacionado em frente.” Com base nos depoimentos e no croqui, descubra o provável culpado. Use as aproximações que julgar convenientes: sen 40° = 0,6 sen 68° = 0,9 sen 72° = 0,9 cos 40° = 0,8 cos 68° = 0,4 cos 72° = 0,3 tg 40° = 0,8 tg 68° = 2,5 tg 72° = 3,1 RESOLUÇÃO: I) Sendo x em km a distância percorrida por Luís da sua casa ao supermercado, então: x 12 –––––––– = –––––––– sen 68° sen 40° x 12 Logo, ––––– = ––––– ⇒ x = 18 0,9 0,6 II) Sendo y, em km, a distância percorrida por Pedro da sua casa ao supermercado, então: y 12 –––––––– = –––––––– sen 72° sen 40° 22 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 23 Palavras-chave: Sequências e progressão aritmética 40 1. Definição de sequência Chama-se sequência de números reais ou, simplesmente, sequência real a qualquer função f de * em . • Anterior • Razão • Posterior Observe que, na progressão aritmética, cada termo, a partir do segundo é obtido, adicionando-se r ao termo anterior. O número real r é chamado razão da P.A. Segue da definição que r = an + 1 – an, ∀n ∈ * Por exemplo, na P.A. (2; 5; 8; 11; 14; ...), temos r = 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = ... = 3 Exemplos 1. A sequência (3, 5, 7, 9, ...) é uma P.A. estritamente crescente onde a1 = 3 e r = 2. 2. A sequência (100, 90, 80, 70, ...) é uma P.A. estritamente decrescente onde a1 = 100 e r = – 10. 2. Notação por: A sequência f : * → tal que f(n) = an será indicada 4. A sequência 2, f = (an) = (a1 ; a2 ; a3 ; ...; an ; ...) Os números a1, a2, a3, ..., an, ... são chamados termos da sequência. 3. Definição de progressão aritmética a 3, 7 –– , 2 ... é uma P.A. estri- tamente crescente onde o primeiro termo a1 = 2 e a razão é igual a 5 –– 2 –2=3– 5 –– 2 = 7 –– 2 –3= 1 –– . 2 r = 3 – 2. 4. Classificação Se (an) é uma P.A., então: a) (an) é estritamente crescente ⇔ r > 0. a1 = a n+1 5 –– , 2 5. Se ( 2, 3, …) é uma P.A. então a razão r é tal que Sejam a e r dois números reais. Chama-se progressão aritmética (P.A.) à sequência (an) tal que 3. A sequência (5, 5, 5, 5, ...) é uma P.A. constante onde a1 = 5 e r = 0. = an + r; ∀n ∈ * b) (an) é estritamente decrescente ⇔ r < 0. c) (an) é constante ⇔ r = 0. Exercícios Resolvidos Na sequência f = (an) tal que an = n2 + 1, obtenha os quatro primeiros termos. Resolução A lei de formação an = n2 +1 fornece cada termo em função da sua posição. Assim, para a) n = 1 temos a1 = 12 + 1 = 2 b) n = 2 temos a2 = 22 + 1 = 5 c) n = 3 temos a3 = 32 + 1 = 10 d) n = 4 temos a4 = 42 + 1 = 17 MATEMÁTICA Portanto, a sequência em questão é: (2, 5, 10, 17, ...) Na sequência f = (an) tal que a1 = 5 e an + 1 = an + 3 para todo n ∈ *, obtenha os quatro primeiros termos. Resolução A lei de formação a1 = 5 e an + 1 = an + 3 fornece o 1o. termo e ainda fornece cada termo em função do termo anterior. Tal lei de formação chamaremos de lei de recorrência. Assim, fazendo a) n = 1 temos a1 + 1 = a1 + 3 = 5 + 3 ⇒ a2 = 8 b) n = 2 temos a2 + 1 = a2 + 3 = 8 + 3 ⇒ a3 = 11 c) n = 3 temos a3 + 1 = a3 + 3 = 11 + 3 ⇒ a4 = 14 Portanto, a sequência (5, 8, 11, 14, ...) em questão é: 23 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 24 Achar uma fórmula que forneça o termo geral da sequência 1 2 3 4 –––; –––; –––; –––; ... 2 3 4 5 . Resolução Observando-se que 1 1 2 2 a1 = —- = ———, a2 = ––– = ––––––, 2 1+1 3 2+1 Resolução a1 = 1 3 3 a3 = ––– = ––––––, 4 3+1 a2 = 2 . 1 + 1 = 2 . a1 + 1 n conclui-se que an = –––––– n+1 a3 = 2 . 3 + 1 = 2 . a2 + 1 a5 = 2 . 15 + 1 = 2 . a4 + 1 a4 = 2 . 7 + 1 = 2 . a3 + 1 Obter uma lei de recorrência que forneça os termos da seguinte sequência (1; 3; 7; 15; 31; 63; ...) Logo: a1 = 1 an + 1 = 2 . an + 1 Exercícios Propostos (UNESP – MODELO ENEM) – Os coelhos se reproduzem mais rapidamente que a maioria dos mamíferos. Considere uma colônia de coelhos que se inicia com um único casal de coelhos adultos e denote por an o número de casais adultos desta colônia ao final de n meses. Se a1 = 1, a2 = 1 e, para n 2, an + 1 = an + an – 1, o número de casais de coelhos adultos na colônia ao final do quinto mês será a) 13 b) 8 c) 6 d) 5 e) 4 RESOLUÇÃO: De acordo com o enunciado, temos a1 = 1 a2 = 1 a 3 = a2 + a 1 = 1 + 1 = 2 a4 = a3 + a 2 = 2 + 1 = 3 a5 = a4 + a 3 = 3 + 2 = 5 Portanto o número de casais de coelhos adultos na colônia ao final do quinto mês será 5. Resposta: D Escreva os 4 primeiros termos da sequência (an) tal que a1 = 3 an + 1 = an + 5, ∀n ∈ * RESOLUÇÃO: a1 = 3 n = 1 ⇒ a1 + 1 = a1 + 5 ⇒ a2 = 3 + 5 = 8 n = 2 ⇒ a2 + 1 = a2 + 5 ⇒ a3 = 8 + 5 = 13 n = 3 ⇒ a3 + 1 = a3 + 5 ⇒ a4 = 13 + 5 = 18 Obs.: A sequência obtida (3; 8; 13; 18; …) é uma P.A. crescente de razão igual a 5. Verifique, em cada caso a seguir, se a sequência é uma P.A. Em caso afirmativo, determine a razão e classifique a P.A. a) (3, 7, 11, 14, ...) b) (5, 2, – 1, – 4, ...) c) (2, 6, 18, 54, ...) d) (7, 7, 7, 7, ...) Obtenha o 1o. termo, o 6o. termo, o 10o. termo e o 20o. termo da sequência (an) onde an = n2 – 3, ∀n ∈ *. RESOLUÇÃO: n = 1 ⇒ a1 = 12 – 3 = – 2 n = 6 ⇒ a6 = 62 – 3 = 33 n = 10 ⇒ a10 = 102 – 3 = 97 n = 20 ⇒ a20 = 202 – 3 = 397 24 e) 3, –––2 , 4, –––2 , … 7 9 RESOLUÇÃO: a) Não é uma P.A. b) É uma P.A. estritamente decrescente de razão r = – 3. c) Não é uma P.A. d) É uma P.A. constante de razão r = 0. 1 e) É uma P.A. estritamente crescente de razão r = ––– 2 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 25 Palavras-chave: Termo geral de uma 41 e 42 progressão aritmética a) Seja (an) uma P.A. com primeiro termo a1 e razão r. Da definição de P.A., temos: a2 = a1 + r • Diferença de posições b) Se an e am são dois termos quaisquer de uma P.A., da fórmula do termo geral, temos – a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r • Termos quaisquer a an = a1 + (n – 1) . r m = a1 + (m – 1) . r ––––––––––––––––––––– an – am = n . r – r – m . r + r ⇔ an – am = n . r – m . r e, portanto, an = am + (n – m) . r a6 = a5 + r = a1 + 4r + r = a1 + 5r • • • e assim por diante. Estas igualdades sugerem que, numa progressão aritmética, o termo de ordem n é igual à soma do primeiro termo com o produto de (n – 1) pela razão, ou seja, an = a1 + (n – 1) . r , ∀n ∈ * Na P.A. (1, 3, 5, 7, …) podemos calcular a10, por exemplo, de várias maneiras. Veja: a) a10 = a1 + (10 – 1) . r ⇒ a10 = 1 + 9 . 2 ⇒ a10 = 19 b) a10 = a3 + (10 – 3) . r ⇒ a10 = 5 + 7 . 2 ⇒ a10 = 19 c) a10 = a4 + (10 – 4) . r ⇒ a10 = 7 + 6 . 2 ⇒ a10 = 19 etc. Exercícios Resolvidos – Módulos 41 e 42 Calcule o 31o. termo e o 100o. termo da P.A. (3, 5, 7, ...). Resolução Na P.A. (3, 5, 7, ...) temos que a1 = 3 e r = 5 – 3 = 7 – 5 = 2. Assim, para obter o 31o. termo a31, basta substituir n por 31 na fórmula an = a1 + (n – 1) r. Daí, a31 = a1 + (31 – 1) . r ⇔ a31 = 3 + 30 . 2 ⇔ a31 = 63. Para o centésimo termo a100, basta substituir n por 100. an = a1 + (n – 1) . r ⇒ a100 = a1 + (100 – 1) . r ⇔ ⇔ a100 = 3 + 99 . 2 ⇔ a100 = 201. Calcule o 20o. termo da P.A. em que o 5o. termo vale 40 e a razão Em uma progressão aritmética, sabe-se que a4 = 12 e a9 = 27. Calcular a5. Resolução Utilizando a fórmula an = am + (n – m) . r, que relaciona dois termos quaisquer de uma P.A., temos a4 = 12 a9 = 27 a9 = a4 + (9 – 4) . r ⇒ 27 = 12 + 5 . r ⇔ 5r = 15 ⇔ r = 3 Assim sendo, já que a5 = a4 + r, temos a5 = 12 + 3 = 15 Resposta: a5 = 15 – 3. Resolução Observe que temos a5 = 40 e r = – 3 e queremos calcular a20. Assim, na fórmula an = am + (n – m) r, basta substituir n por 20 e m por 5, obtendo a20 = a5 + (20 – 5) . r, ou seja, a20 = 40 + 15 . (– 3) ⇒ ⇒ a20 = – 5 Sabendo que, numa P.A., an = 44, a1 = 4 e r = 5, determinar n. Resolução an = 44; a1 = 4; r = 5 Calcular o vigésimo termo da progressão aritmética (5; 9; 13; ...). an = a1 + (n – 1) . r ⇒ 44 = 4 + (n – 1) . 5 ⇔ Resolução ⇔ 40 = (n – 1) . 5 ⇔ n – 1 = 8 ⇔ n = 9 Utilizando a fórmula do termo geral, an = a1 + (n – 1) . r, temos a1 = 5 r=4 ⇒ a20 = 5 + 19 . 4 ⇔ a20 = 5 + 76 ⇔ a20 = 81 a20 = a1 + 19 . r Resposta: n = 9 Resposta: a20 = 81 MATEMÁTICA 25 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 26 Calcular os ângulos internos de um triângulo retângulo, sabendo que estão em progressão aritmética. Resolução Representando os ângulos por x – r, x, x + r, com r > 0, e lembrando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, temos x + r = 90° (x – r) + x + (x + r) = 180° ⇔ x + r = 90° ⇔ r = 30° x = 60° x = 60° Logo, os ângulos são: 30°, 60° e 90°. Resposta: 30°, 60° e 90° Exercícios Propostos – Módulo 41 Determine a posição que o número 74 ocupa numa P.A. em que o 3o. termo é igual a 2 e a razão é igual a 6. RESOLUÇÃO: Na P.A., a3 = 2 e r = 6. Se o número 74 é um dos termos dessa P.A., devemos ter an = 74 com n ∈ *. an = a3 + (n – 3) . r ⇔ 74 = 2 + (n – 3) . 6 ⇔ ⇔ 72 = (n – 3) . 6 ⇔ 12 = n – 3 ⇔ n = 15 Assim, a15 = 74, isto é, 74 é o 15o. termo da P.A. Um viveiro clandestino com quase trezentos pássaros foi encontrado por autoridades ambientais. Pretende-se soltar esses pássaros seguindo um cronograma, de acordo com uma progressão aritmética, de modo que no primeiro dia sejam soltos cinco pássaros, no segundo dia sete pássaros, no terceiro nove, e assim por diante. Quantos pássaros serão soltos no décimo quinto dia? a) 55. b) 43. c) 33. d) 32. e) 30. RESOLUÇÃO: O décimo quinto termo da progressão aritmética (5, 7, 9, …) é a15 = 5 + 14 . 2 = 33 Resposta: C (PUC) – Considere as sequências (1, 4, 7, 10, …, 67) e (8,12,16,20, …,104). O número de termos comuns a essas duas progressões é a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 RESOLUÇÃO: A sequência (1; 4; 7; 10; …; 67) é uma P.A. de razão r = 3. A sequência (8; 12; 16; 20; …; 104) é uma P.A. de razão r = 4. Os termos comuns às duas P.A. formarão uma nova P.A. de razão r = 12 e primeiro termo a1 = 16, isto é: (16; 28; 40; 52; 64). O número de termos comuns é, portanto, igual a 5. Resposta: A O ciclo de atividade magnética do Sol tem um período de 11 anos. O início do primeiro ciclo registrado se deu no começo de 1755 e se estendeu até o final de 1765. Desde então, todos os ciclos de atividade magnética do Sol têm sido registrados. Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 27 fev. 2013. No ano de 2101, o Sol estará no ciclo de atividade magnética de número a) 32. b) 34. c) 33. d) 35. e) 31. RESOLUÇÃO: Os anos de início dos ciclos de atividade magnética do Sol formam uma progressão aritmética de primeiro termo 1755 e razão igual a 11. Notando que o 32.o ciclo se inicia no ano de 2096, pois 2096 = 1755 + 31 . 11, e se estende até o final de 2107, em 2101 o Sol estará no ciclo de atividade magnética 32. Resposta: A 26 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 27 Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir. Figura I Figura II O valor de C varia conforme uma P.A. de 1.o termo 4 e razão igual a 3. Para uma quantidade Q de quadrados, o valor de C será: an = a1 + (n – 1) . R C = 4 + (Q – 1) . 3 C = 4 + 3Q – 3 C = 3Q + 1 Resposta: B Figura III Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura? a) C = 4Q b) C = 3Q + 1 d) C = Q + 3 e) C = 4Q – 2 c) C = 4Q – 1 RESOLUÇÃO: A partir das informações do enunciado, podemos montar uma tabela. C Q 4 1 Figura II 7 2 Figura III 10 3 Figura I Exercícios Propostos – Módulo 42 Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os números 10 e 98, nesta ordem, obtém-se uma P.A. cujo quinto termo vale a) 45. b) 52. d) 55. e) 57. c) 54. RESOLUÇÃO: 10, __, __, __, __, __, __, __, 98 ↓ ↓ a1 a9 I) a9 = a1 + 8r 98 = 10 + 8r 88 = 8r r = 11 Resposta: C II) a5 = a1 + 4r a5 = 10 + 4 . 11 a5 = 54 O número mensal de pasagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes, podemos afirmar que no mês de julho o número de passagens vendidas será: a) 38 000 b) 40 500 d) 42 000 e) 48 000 c) 41 000 RESOLUÇÃO: As quantidades de passagens formam uma P.A. na qual a1 = 33000 (janeiro) e R = 1500. Assim, em julho (n = 7), temos: a7 = a1 + 6R a7 = 33000 + 6 . 1500 a7 = 33000 + 9000 a7 = 42000 Resposta: D MATEMÁTICA 27 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 28 (VUNESP – MODELO ENEM) – Num laboratório, foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. Ao final de um minuto do início das observações, existia 1 elemento na população; ao final de dois minutos, existiam 5, e assim por diante. A seguinte sequência de figuras apresenta as populações do vírus (representado por um círculo) ao final de cada um dos quatro primeiros minutos. Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, o número de vírus no final de 1 hora era de a) 241. b) 238. c) 237. d) 233. e) 232. RESOLUÇÃO: Ao final de cada minuto o número de vírus existentes na população é termo da sequência (1; 5; 9; 13; …), que é uma progressão aritmética de razão 4. Ao final de 1 hora, o número de vírus existentes era de a60 = a1 + (60 – 1) . r = 1 + 59 . 4 = 237 Resposta: C (FGV) – As prestações de um financiamento imobiliário constituem uma progressão aritmética na ordem em que são pagas. Sabendo que a 15a. prestação é R$ 3 690,00 e a 81a. prestação é R$ 2 700,00, o valor da 1a. prestação é a) R$ 3 800,00 b) R$ 3 850,00 c) R$ 3 900,00 d) R$ 3 950,00 e) R$ 4 000,00 RESOLUÇÃO: Sendo r a razão, em reais, da progressão aritmética sugerida, em reais, temos: (UFRN – MODELO ENEM) – Um atleta iniciou seu treinamento correndo 3 km e pretende aumentar essa distância diariamente, em progressão aritmética, de modo que, no 15o. dia, ele esteja correndo 10 km. Para atingir seu objetivo, o atleta deverá correr a mais, por dia: a) 500 m b) 600 m c) 200 m a15 = a1 + 14r = 3690 ⇔ 66r = – 990 ⇔ r = – 15 a81 = a1 + 80r = 2700 Desta forma, a1 + 14 . (– 15) = 3690 ⇔ a1 = 3900 Resposta: C d) 400 m RESOLUÇÃO: Tem-se uma P.A., com valores em quilômetros, tal que a1 = 3 e a15 = 10, assim: 1 I) a15 = a1 + 14 . r ⇒ 10 = 3 + 14 . r ⇔ 7 = 14 . r ⇔ r = –– 2 1 II) –– km = 0,5 km = 500 m 2 Resposta: A 28 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 29 43 Propriedade de três termos consecutivos de uma P.A. Numa progressão aritmética (a1, a2, a3, ..., ap – 1, ap, ap + 1, ...), cada termo, a partir do segundo, é a média aritmética entre o termo anterior e o posterior. Palavras-chave: • Média aritmética • Termo central Demonstração: ap – ap – 1 = ap + 1 – ap ⇔ ⇔ 2ap = ap – 1 + ap + 1 ⇔ Simbolicamente: ap – 1 + ap + 1 ap = ––––––––––––– 2 ap – 1 + ap + 1 ⇔ ap = ––––––––––––– 2 Exercícios Resolvidos Calcule x para que a sequência (...; x – 2; 5; 2x+1; ...) seja uma P.A. Resolução (...; x – 2; 5; 2x + 1; ...) é P.A. ⇔ 11 x – 2 + 2x + 1 ⇔ 5 = –––––––––––––– ⇔ 3x = 11 ⇔ x = ––– 3 2 Determinar x tal que 2x – 3; 2x + 1; 3x + 1 sejam três números em P.A. nesta ordem. Resolução Como os três números em P.A. são termos consecutivos, o termo do meio é média aritmética dos outros dois. Assim: (2x – 3) + (3x + 1) 2x + 1 = —–––———————- ⇔ 4x + 2 = 5x – 2 ⇔ x = 4 2 Resposta: x = 4 11 Resposta: x = ––– 3 Exercícios Propostos Calcule o décimo termo da progressão aritmética (4; x; 10; ...). RESOLUÇÃO: 4 + 10 I) x = ––––––– 2 x=7⇒r=3 MATEMÁTICA II) a10 = a1 + 9r a10 = 4 + 9. 3 a10 = 31 Sabendo que a sequência (x + 2; 4x – 2; 4x; ...) é uma progressão aritmética, calcular o quinto termo da P.A. (2x – 3; x + 7; ...). RESOLUÇÃO: I) (x + 2; 4x – 2; 4x; …) é uma P.A., então: x + 2 + 4x 4x – 2 = ––––––––––– 2 8x – 4 = 5x + 2 3x = 6 ⇒ x = 2 II) Na P.A.(2x – 3; x + 7; …) = (1; 9; …), temos: a5 = a1 + 4r a5 = 1 + 4 . 8 a5 = 33 29 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 30 Calcule os lados de um triângulo retângulo, sabendo que estão em P.A. de razão 3. RESOLUÇÃO: (PUC-MODELO ENEM) – O fio de um rolo de arame tem X metros de comprimento. Sabe-se que, usando todo o fio desse rolo, pode-se construir uma sucessão de 21 circunferências tais que, a partir da segunda, a medida do raio de cada uma tem 2,5 cm a mais do que a medida do raio da circunferência anterior. Se a área da região limitada pela terceira circunferência da sucessão é igual a 192 cm2, então, considerando a aproximação π = 3, é correto afirmar que a) X < 25 b) 25 ≤ X < 30 c) 30 ≤ X < 35 d) 35 ≤ X < 40 e) X ≥ 40 Teorema de Pitágoras RESOLUÇÃO: (x – 3)2 + x2 = (x + 3)2 Se r, em centímetros, é o raio da primeira circunferência e π = 3, então: x2 – 6x + 9 + x2 = x2 + 6x + 9 I) Os comprimentos das circunferências são termos da P.A. (6 . r; x2 – 12x = 0 6 . (r + 2,5); 6 . (r + 5); …), ou seja, (6r; 6r + 15; 6r + 30; …) x = 0 (não convém) II) O círculo de raio r + 5 tem área igual a 192 cm2 e, portanto: 3 . (r + 5)2 = 192 ⇔ (r + 5)2 = 64 ⇔ r + 5 = 8 ⇔ r = 3 x(x – 12) = 0 x = 12 III)A P.A. é (18; 33; 48; …) e o vigésimo primeiro termo é 18 + 20 . 15 = 318 Os lados do triângulo são 9, 12 e 15. IV) Admitindo-se que os X metros de arame permita construir exatamente 21 circunferências (sem sobras) temos que a soma dos 21 primeiros termos é: 18 + 318 X = –––––––– . 21 = 168 . 21 = 3 528 2 (MODELO ENEM) – Os irmãos Antônio, Bene e Carlos possuem, respectivamente, 15, 4 e 17 mil reais cada um. Bene, querendo comprar um carro, resolveu pedir emprestado a cada um dos irmãos uma mesma quantia. Ao fazer isso, notou que as quantias com que os três ficaram formavam, na ordem Antônio, Bene e Carlos, uma progressão aritmética. Para, daqui a um ano, devolver a quantia emprestada, com 20% de juros, Bene deverá desembolsar a) R$ 3 600,00 b) R$ 4 800,00 c) R$ 6 000,00 d) R$ 8 400,00 V) X = 3 528 cm = 35,28 m Resposta: D e) R$ 9 600,00 RESOLUÇÃO: I) Se x for o valor que cada um emprestou a Bene então as novas quantias de Antônio, Bene e Carlos, nessa ordem são 15 – x; 4 + 2x; 17 – x II) Já que, nessa ordem, elas formam uma P.A. temos (15 – x) + (17 – x) 4 + 2x = –––––––––––––––––– ⇔ x = 4 2 III) Bene deve 2 . R$ 4 000,00 = R$ 8 000,00 IV) Ao pagar, daqui a um ano, esta dívida com 20% de juros, Bene deverá desembolsar 1,2 . R$ 8 000,00 = R$ 9 600,00 Resposta: E 30 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 31 Palavras-chave: Termos equidistantes dos extremos 44 1. Definição Dois termos são chamados equidistantes dos extremos se o número de termos que procede um deles é igual ao número de termos que sucede o outro. Na progressão aritmética (a1, a2,…, ap, …, ak,…,an, …) 14243 123 (p – 1) termos • Primeiro termo • Último termo (a1, a2, …, ap, …, ak, …, an, ...), se ap e ak equidistam de a1 e an então ap + ak = a1 + an ou seja, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. (n – k) termos os termos ap e ak equidistam de a1 e an se, e somente se aa p–1=n–k⇔p+k=n+1 n p 2. Propriedade = ak + (n – k) . r ⇒ = a1 + (p – 1) . r aa n p – ak = (n – k) . r – a1 = (p – 1) . r ⇒ ⇒ an – ak = ap – a1 pois n – k = p – 1. Assim: an + a1 = ap + ak Na progressão aritmética Exercícios Resolvidos Na progressão (a1, a2, a3, …, a9, …) temos a) a4 e a6 equidistam de a1 e a9 pois c) a3 e a15 equidistam de a1 e a17 pois 4+6=1+9 b) a2 e a8 equidistam de a1 e a9 pois Sabendo-se que a soma do terceiro e do décimo nono termo de uma P.A. é igual a 100, determinar o décimo primeiro termo. 2+8=1+9 3 + 15 = 1 + 17 Resolução Do enunciado, temos a3 + a19 = 100. Por outro lado, da propriedade dos termos equidistantes dos extremos de uma P.A., vem: a1 + a21 = a2 + a20 = a3 + a19 = ... = a11 + a11 Logo, a11 + a11 = 100 ⇔ 2a11 = 100 ⇔ a11 = 50 Exercícios Propostos Na progressão aritmética (a1, a2, a3, ...) em que a3 = 1 e a9 = 21, calcular: a) a1 + a11 b) a6 RESOLUÇÃO: a3 = 1 a9 = 21 a) a1 + a11 = a3 + a9 = 1 + 21 = 22 b) a6 + a6 = a1 + a11 2a6 = a1 + a11 2a6 = 22 a6 = 11 MATEMÁTICA 31 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 32 Calcular o primeiro termo e a razão da progressão aritmética em que a1 – a7 = 19 e a3 + a5 = 20. RESOLUÇÃO: I) a1 – a7 = 19 ⇒ a3 + a5 = 20 Calcular a soma dos 9 primeiros termos da progressão aritmética (a1, a2, a3, a4, 7, a6, ...). RESOLUÇÃO: a1 – a7 = 19 + a1 + a7 = 20 –––––––––––– 2a1 = 39 39 a1 = ––– 2 II) a1 – a7 = 19 a1 + a9 = a5 + a5 = 7 + 7 = 14 a2 + a8 = a5 + a5 = 14 a3 + a7 = a5 + a5 = 14 a4 + a6 = a5 + a5 = 14 Logo: a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + … + a9 = = (a1 + a9) + (a2 + a8) + (a3 + a7) + (a4 + a6) + a5 = a1 – a1 – 6r = 19 = 14 + 14 + 14 + 14 + 7 = 63 19 r = – ––– 6 Calcular a razão de uma progressão aritmética crescente em que a1 + a9 = 8 e a3 . a7 = 7. RESOLUÇÃO: I) a1 + a9 = a3 + a7 = 8 II) aa 1 3 + a9 = 8 ⇔ . a7 = 7 aa 3 3 + a7 = 8 ⇔ . a7 = 7 ⇔ (a3 = 1 e a7 = 7) ou (a3 = 7 e a7 = 1) III) Como a P.A. é crescente temos a3 = 1 e a7 = 7. IV) a7 = a3 + (7 – 3) . r ⇒ 7 = 1 + 4 . r ⇔ 4r = 6 ⇔ r = 1,5 (MODELO ENEM) – Os filhos de Francisca têm idades que formam uma progressão aritmética. Se a soma das idades dos cinco filhos é 100 anos e a diferença de idade entre o mais velho e o mais novo é de 12 anos, a idade do segundo filho, em anos, é a) 19. b) 23. d) 26. e) 28. c) 24. RESOLUÇÃO: I) Se a for a idade do filho do meio e r for a razão, podemos representar essas idades por a – 2r; a – r; a; a + r; a + 2r II) Pelo enunciado: + (a – r) + a + (a + r) + (a + 2r) = 100 a = 20 ⇔ (a(a –+ 2r) 2r) – (a – 2r) = 12 r=3 III) As idades são: 14; 17; 20; 23; 26. IV) A idade do 2o. filho é 23. Resposta: B 32 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 33 Álgebra Módulos 33 – Função exponencial 34 – Equações e inequações exponenciais 35 – Logaritmos 40 – Inequações logarítmicas 36 – Propriedades dos logaritmos 41 – Logaritmos decimais 37 – Mudança de base 42 – Logaritmos e exponenciais (complemento) 38 – Função logarítmica 43 – Logaritmos e exponenciais (complemento) 39 – Equações logarítmicas 44 – Logaritmos e exponenciais (complemento) Palavras-chave: 33 Função exponencial • Expoente • Potência 1. Definição x Chama-se função exponencial de base a, com a > 0 e a ≠ 1, a função f de em *+ definida por • Base –3 f(x) = a x –2 2. Como obter o gráfico –1 Exemplo 1 Construir o gráfico da função exponencial f: → +* definida por f(x) = 2x. y = 2x (x;y) 1 y = 2–3 = –– 8 1 y = 2–2 = –– 4 1 y = 2–1 = –– 2 – 3; ––8 1 1 – 2; ––4 1 – 1; ––2 0 y = 20 = 1 (0; 1) 1 y = 21 = 2 (1; 2) 2 y = 22 = 4 (2; 4) 3 y = 23 = 8 (3; 8) Resolução Construímos uma tabela atribuindo alguns valores a x e calculando as imagens correspondentes. MATEMÁTICA 33 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 34 Em seguida, localizamos os pontos obtidos num sistema de coordenadas cartesianas. 1. Observando o gráfico da função exponencial, notase que Valores diferentes de x têm imagens diferentes. Esta constatação sugere a seguinte propriedade: A função exponencial f: → *+, definida por f(x) = ax, com 1 ≠ a > 0, é injetora e, portanto, x1 a x2 =a ⇔ x1 = x2. 2. Observando o gráfico da função exponencial f, definida por f(x) = 2x, nota-se que Aumentando a abscissa x, a ordenada y também aumenta Exemplo 2 Construir o gráfico da função exponencial f: → +* x 1 definida por f(x) = –– . 2 Resolução Construímos uma tabela atribuindo alguns valores a x e calculando as imagens correspondentes. x –3 –3 1 y = –– 2 –2 1 y = –– 2 –1 1 y = –– 2 1 y = –– 2 0 0 1 1 y = –– 2 2 1 y = –– 2 3 34 x 1 y = –– 2 (x; y) =8 (– 3; 8) =4 (– 2; 4) –2 =2 (– 1; 2) =1 (0; 1) 1 1 = –– 2 1; ––2 2 1 = –– 4 2; ––4 3 1 = –– 8 1 3; –– 8 1 y = –– 2 3. Observando o gráfico da função exponencial f, defix 1 nida por f(x) = –– , nota-se que 2 –1 Esta observação sugere a seguinte propriedade: A função exponencial f: → +*, definida por f(x) = ax, com a > 1, é estritamente crescente, e portanto, ax1 > ax2 ⇔ x1 > x2. Aumentando a abscissa x, a ordenada y diminui 1 1 Este fato sugere a seguinte propriedade: A função exponencial f: → +*, definida por f(x) = ax, com 0 < a < 1, é estritamente decrescente e, portanto, ax1 > ax2 ⇔ x1 < x2. MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 35 Em seguida, localizamos os pontos obtidos num sistema de coordenadas cartesianas. Demonstra-se que: a) O gráfico da função exponencial de base a, com → a > 0 e a ≠ 1, está sempre “acima do eixo Ox”, pois ax > 0, ∀x ∈ . b) O gráfico da função exponencial sempre intercepta o eixo Oy no ponto (0; 1), pois a0 = 1, ∀a ∈ *+ – {1}. c) Se a > 1, a função exponencial é estritamente crescente e seu gráfico é do tipo do exemplo 1. d) Se 0 < a < 1, a função exponencial é estritamente decrescente e seu gráfico é do tipo do exemplo 2. e) A função exponencial é sobrejetora, pois o contradomínio e o conjunto imagem são, ambos, iguais a *+. f) A função exponencial é injetora, pois qualquer reta horizontal intercepta seu gráfico no máximo uma vez. g) A função exponencial é, pois, bijetora. Exercícios Resolvidos Esboçar o gráfico da função f de → , definida por f(x) = 2x+2. Resolução x f(x) –4 1 –– 4 –3 1 –– 2 –2 1 –1 2 0 4 Esboçar o gráfico da função g de → , definida por g(x) = 2x+2 – 4. Resolução Observando a questão anterior, temos g(x) = f(x) – 4 Logo, (UNICAMP – MODELO ENEM) – O decaimento radioativo do estrôncio 90 é descrito pela função P(t) = P0 . 2– bt, na qual t é um instante de tempo, medido em anos, b é uma constante real e P0 é a concentração inicial de estrôncio 90, ou seja, a concentração no instante t = 0. Se a concentração de estrôncio 90 cai pela metade em 29 anos, isto é, se a meia-vida do estrôncio 90 é de 29 anos, determine o valor da constante b. Resolução Se a meia vida do estrôncio 90 é 29 anos, de acordo com a função dada, resulta 1 1 2 29 P0 . 2 – b . 29 = ––– P0 ⇔ 2 – 29b = 2 –1 ⇔ b = ––– 1 Respostas: b = –––– 29 (UNICAMP – MODELO ENEM) – O sistema de ar-condicionado de um ônibus quebrou durante uma viagem. A função que descreve a temperatura (em graus Celsius) no interior do ônibus em função de t, o tempo transcorrido, em horas, desde a quebra do ar-condicionado, é T(t) = (T0 – Text).10–t/4 + Text, onde T0 é a temperatura interna do ônibus enquanto a refrigeração funcionava, e Text é a temperatura externa (que supomos constante durante toda a viagem). Sabendo que T0 = 21°C e Text = 30°C, calcule a temperatura no interior do ônibus transcorridas 4 horas desde a quebra do sistema de arcondicionado. Em seguida, esboçe abaixo o gráfico de T(t). MATEMÁTICA 35 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 36 Resolução De acordo com o enunciado, temos, para a temperatura T em °C: t – –– 4 T(t) = (T0 – Text) . 10 O gráfico de T em função de t é o seguinte: + Text ⇔ t – –– 4 ⇔ T(t) = (21 – 30) . 10 t – –– 4 + 30 ⇔ T(t) = 30 – 9 . 10 Assim, para t = 4, tem-se: t – –– 4 T(4) = 30 – 9 . 10 ⇔ T(4) = 30 – 9 . 10–1 ⇔ ⇔ T(4) = 30 – 0,9 ⇔ T(4) = 29,1 Resposta: 29,1°C Exercícios Propostos (UNIFOA – MODELO ENEM) – Quando uma população inicia a colonização de um ambiente propício ao seu desenvolvimento, verifica-se que o crescimento inicial é lento, pois há pequeno número de indivíduos e, consequentemente, a taxa de reprodução é pequena. À medida que aumenta o número de organismos, a taxa de reprodução também aumenta. Considerando que inexistem fatores de resistência do meio, o crescimento de certa população será de acordo com a fórmula f(x) = (2 )x. O gráfico que melhor representa essa função é RESOLUÇÃO: 1) 2 = 1,414… > 1 2) f(x) = ( 2 )x é uma exponencial de base maior que 1 e, portanto, o gráfico é o da alternativa E. 36 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 37 (UNESP) – A figura descreve o gráfico de uma função exponencial do tipo y = a x, de em . b) log52 c) 5 d) log25 O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirido novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria. Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t, para t ⭓ 1? Nessa função, o valor de y para x = – 0,5 é igual a a) log 5 e) 2,5 a) P(t) = 0,5 . t –1 + 8 000 b) P(t) = 50 . t –1 + 8 000 RESOLUÇÃO: O ponto (1; 0,2) pertence à exponencial de equação y = 1 portanto, 0,2 = a1 ⇔ a = 0,2 ⇔ a = ––– 5 ax e, c) P(t) = 4 000 . t –1 + 8 000 d) P(t) = 8 000 . (0,5)t –1 e) P(t) = 8 000 . (1,5)t –1 2) A sentença que define a função exponencial e y= 1 ––– 5 x temos: y = e, portanto, para x = – 0,5 Resposta: C 1 ––– 5 – 0,5 = 50,5 = 5 RESOLUÇÃO: O número de unidades produzidas P, em função de t, corresponde, em cada ano, aos termos de uma progressão geométrica de primeiro termo a1 = 8 000 unidades e razão q = 1,5. Logo, a expressão p = 8 000 . que determina esse número de unidades é (1,5)t – 1 . Resposta: E MATEMÁTICA 37 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 38 Lembrando que: Texto para a questão O gráfico da função exponencial y = ax é do tipo: a>1 0 a ⇔ x1 > x2 , pois a função exponencial é estritamente crescente. ax1 > ax2 ⇔ x1 < x2 , pois a c) Se 0 < a < 1 então função exponencial é estritamente decrescente. Exercícios Resolvidos Resolver em a equação 4x = 32. Resolução 4x = 32 ⇔ (22)x Resposta: V = ⇔ 25 = 22x = 5 ⇔ 2x = 5 ⇔ x = ––– 2 25 5 ––– 2 ⇔ x 2 5 __ 3 =2 Resolver, em , a equação Resolução 1 __ 3 1 __ 3 x = 27. –1x = 27 ⇔ (3 3 ) = 3 ⇔ 3– x = 33 ⇔ – x = 3 ⇔ x = – 3 3 __ 4 ⇔ ___ 20 9 Resolver, em , a inequação 3x > 81. ( 3 Resolver em a equação 2 4 x ) 4 = 8 Como 4 = 2 =2 2 2 __ 3 4 4 MATEMÁTICA 4 e 8 = 2 =2 2 x __ 3 (2 4 ) = 8 ⇔ 2 . 2 = 2 x Resolver, em , a inequação 1 ––– 4 x 1 > –––– 256 Resolução 3 3 3x > 81 ⇔ 3x > 34 ⇔ x > 4, pois a base é maior que 1. Resposta: V = {x ∈ x > 4} Resolução 3 =2 Resolução x Resposta: V = {– 3} 5x ––– 3 ⇔2 5x 3 9 ⇔ ___ = __ ⇔ x = ___ 3 4 20 Resposta: V = 3 __ 4 3 __ 4 3 3 __ 4 , temos: 1 ––– 4 x 1 > –––– ⇔ 256 x 1 ––– 4 > 1 ––– 4 4 ⇔ x < 4, pois a base está entre pois a base está entre zero e 1. ⇔ Resposta: V = {x ∈ x < 4} 39 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 40 Exercícios Propostos 1 Resolva, em , a equação 3x – ––– = 0 27 Resolva, em , as inequações e : (5)x + 12 < 25. RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: 3 1 1 1 3x – ––– = 0 ⇔ 3x = ––– ⇔ 3x = –– 3 27 27 ⇔ (5)x + 12 < 25 (5)x + 12 < (5)2 (base > 1) ⇔ 3x = 3– 3 ⇔ x = – 3 x + 12 < 2 V = {– 3} x < –10 Resolva, em , as equações: a) 16x – 32 = 0 b) 9x – 12 . 3x + 27 = 0 RESOLUÇÃO: a) 16x – 32 = 0 ⇔ 16x = 32 ⇔ 24x = 25 ⇔ 5 5 ⇔ 4x = 5 ⇔ x = –– ⇔ V = –– 4 4 2x – 6 1 –– 5 1 – –––– 0. 625 b) 9x – 12 . 3x + 27 = 0 ⇔ (3x)2 – 12 . (3x) + 27 = 0 Fazendo 3x = y, resulta a equação: y2 RESOLUÇÃO: – 12y + 27 = 0 ⇔ y = 3 ou y = 9 y=3⇒ 3x =3⇔x=1 y = 9 ⇒ 3x = 9 ⇔ 3x = 32 ⇔ x = 2 O conjunto verdade da equação é V = {1; 2}. Respostas: a) V = ––4 5 ––5 1 2x – 6 1 – –––– 0 625 ––5 1 2x – 6 1 –––– 625 ––5 2x – 6 1 b) V = {1; 2} ––5 1 4 (0 < base < 1) 2x – 6 4 2x 10 x5 | V = {x ∈ x 5} f(x) = (MACKENZIE – MODELO ENEM) – Dadas as funções 2 2x – 4 e g(x) = 4x 2 – 2x, se x satisfaz f(x) = g(x), então 2x é 1 a) ––– . 4 b) 1. d) 4. 1 e) ––– . 2 c) 8. RESOLUÇÃO: 2 2 2–4 2 I) f(x) = g(x) ⇒ 2x – 4 = 4x – 2x ⇔ 2x = 22x – 4x ⇔ ⇔ x2 – 4 = 2x2 – 4x ⇔ x2 – 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2 II) Para x = 2, tem-se 2x = 22 = 4 Resposta: D 40 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 41 Palavras-chave: Logaritmos 35 • Expoente 1. Definição de logaritmo Exemplos Chama-se logaritmo de um número N > 0 numa base a, com a > 0 e a ≠ 1, o expoente α a que se deve elevar a base para que a potência obtida seja igual a N. Simbolicamente: 2) log10100 = 2, pois 102 = 100 3) log264 = 6, pois 26 = 64 1) log28 = 3, pois 23 = 8 4) log381 = 4, pois 34 = 81 logaN = α ⇔ aα = N 5) Calcular o log84 哭 Resolução: Se log 4 = α então 8α = 4 ⇔ (23)α = 22 ⇔ 23α = 22 ⇔ O número N é chamado logaritmando ou antilogaritmo (N = antilogaα = aα), a é a base e α é o logaritmo. 8 2 ⇔ 3α = 2 ⇔ α = –– 3 2. Condições de existência 2 Resposta: log84 = –– 3 De acordo com a definição, o logaritmo a existe se, e somente se N>0 a>0 a≠1 3. Consequências da definição Se N > 0, a > 0, a ≠ 1 e α ∈ , então: a) loga1 = 0, pois a0 = 1 Cologaritmo Embora desnecessário, e por isso pouco usado, define-se, ainda, o cologaritmo de N na base a como sendo o oposto do logaritmo de N na base a. b) logaa = 1, pois a1 = a Simbolicamente: c) loga(aα) = α, pois aα = aα d) alogaN = N, pois logaN = logaN ⇔ 哭 cologaN = – logaN • colog381 = – log381 = – 4 alogaN =N • colog28 = – log28 = – 3 Exercícios Resolvidos 25 ⇔ (24/3)α = (25)1/2 ⇔ ⇔ (2 . 21/3)α = Calcule log432. 4α ___ 3 Resolução ⇔2 log432 = α ⇔ 4α = 32 ⇔ (22)α = 25 ⇔ 5 __ 2 4α = __ 5 ⇔ α = ___ 15 = 2 ⇔ ___ 3 2 8 ⇔ 22α = 25 ⇔ 2α = 5 ⇔ α =5/2 15 Resposta: log .3 32 = ___ 2 2 8 Resposta: log432 = 5/2 Determinar o logaritmo de 32 na base 3 3 log .3 32 = α ⇔ (2 2)α = 32 ⇔ 2 2 MATEMÁTICA 10 –4 10 ⇔ a = ––– ⇔ a = 5 2 log5 0,0016 = – 4. Determinar a base do sistema em que o logaritmo de 0,0016 é – 4. Resolução 16 ⇔ a– 4 = ––––––– ⇔ a– 4 = 10000 –––2 Resposta: A base do sistema é 5, ou seja loga 0,0016 = – 4 ⇔ a– 4 = 0,0016 ⇔ 2. 2 Resolução ⇔ a– 4 = Calcular 23 + log27 Resolução 4 ⇔ ––– 10 2 23 + log27 = 23 . 2log27 = 8 . 7 = 56 Resposta: 23 + log27 = 56 41 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 42 Exercícios Propostos Calcule: a) log525 = RESOLUÇÃO: log525 = α ⇔ 5α = 25 ⇔ 5α = 52 ⇔ α = 2 1 na base 27. Calcular o logaritmo de –– 9 RESOLUÇÃO: 1 =x log27 –– 9 1 27x = –– 9 x 1 (33) = –– 3 2 33x = 3–2 b) log216 = RESOLUÇÃO: log216 = α ⇔ 2α = 16 ⇔ 2α = 24 ⇔ α = 4 3x = – 2 2 x = – –– 3 c) log3243 = RESOLUÇÃO: log3243 = α ⇔ 3α = 243 ⇔ 3α = 35 ⇔ α = 5 Calcular o número cujo logaritmo na base 27 é igual a 1 –– . 3 RESOLUÇÃO: 1 log27x = –– 3 1 –– d) log21 = RESOLUÇÃO: log21 = α ⇔ 2α = 1 ⇔ 2α = 20 ⇔ α = 0 x = 27 3 1 –– x = (33) 3 x=3 e) log22 = RESOLUÇÃO: log22 = α ⇔ 2α = 2 ⇔ α = 1 42 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 43 O valor de log48 . 2 é 3 5 b) ––– 2 10 a) –––– 3 3 c) ––– 4 5 d) ––– 3 1 e) – ––– 2 A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada com Mw), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos RESOLUÇÃO: terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida log48 . 2 pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar 3 =x 3 4x = 8 . 2 x (22) 1 –– =2 .23 3 as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. Mw e M0 se relacionam pela fórmula: 10 –– 22x = 2 3 2 Mw = –10,7 + ––– 3 log10 (M0) 10 2x = ––– 3 5 x = –– 3 Resposta: D Onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é dina.cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude Mw = 7,3. U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado). U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado). Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0 do terremoto de Kobe (em dina.cm)? a) 10– 6,10 b) 10– 0,73 d) 1021,65 e) 1027,00 c) 1012,00 RESOLUÇÃO: 2 Se MW = – 10,7 + ––– . log10(M0) e MW = 7,3, então: 3 2 7,3 = – 10,7 + ––– . log10(M0) ⇔ log10(M0) = 27 ⇔ M0 = 1027 3 Resposta: E MATEMÁTICA 43 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 44 Palavras-chave: Propriedades dos logaritmos 36 • Produto • Quociente • Potência Sejam M, N e a números reais tais que M > 0, N > 0, a > 0 e a ≠ 1. 1. Logaritmo do produto O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos de cada fator. Simbolicamente, loga(M . N) = logaM + logaN 2. Logaritmo do quociente O logaritmo de um quociente é igual à diferença entre o logaritmo do numerador e o do denominador. Simbolicamente, M loga ––– N = logaM – logaN 3. Logaritmo da potência O logaritmo de uma potência é igual ao expoente multiplicado pelo logaritmo da base da potência. Simbolicamente, loga(N m) = m . logaN (∀m ∈ ) DEMONSTRAÇÕES 1. Logaritmo do produto Se logaM = x, logaN = y e loga(MN) = z, então, x 2. Logaritmo do quociente = z, então, M Se logaM = x, logaN = y e loga ––– N ax = M ay = N M az = –––– N O logaritmo de uma raiz é igual ao inverso do índice da raiz multiplicado pelo logaritmo do radicando. Simbolicamente, N m loga 44 ax ⇔ az = ax – y ⇔ ⇒ az = ––– y a M ⇔ z = x – y e, portanto, loga ––– = logaM – logaN N 3. Logaritmo da potência Se logaN = x e loga(Nm) = y, então, ax = N 4. Logaritmo de uma raiz a =M z x y y ⇒ a = a . a ⇔ az = ax+y ⇔ a =N z a = MN ⇔ z = x + y e, portanto, loga(MN) = logaM + logaN ay = Nm ⇒a y = (ax)m ⇔ ay = amx ⇔ y = m x m e, portanto, loga(N ) = m . log N a 4. Logaritmo da raiz m 1 ––– m N = N , temos: Lembrando que 1 = ––– . logaN m (∀m ∈ *) m N ) = loga(N loga( 1 ––– m M ) = ––– . logaN N MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 45 Exercícios Resolvidos Sendo logab = 2 e logac = 3, calcule os logaritmos de a . loga(ab) = logaa + logab = 1 + 2 = 3 b –– c Resolução b = log b – log c = 2 – 3 = – 1 loga –– a a c log106 Resolução log106 = log10(2 . 3) = log102 + log103 = a 2 . b4 loga ––––––– = loga(a2 . b4) – logac = c loga(ab) loga a2 . b4 loga ––––––– c Resolução Resolução = 0,30 + 0,47 = 0,77 = logaa2 + logab4 – logac = = 2 . logaa + 4 . logab – loga c = Resolução =2.1+4.2–3=2+8–3=7 10 log1015 = log10(3 . 5) = log10 3 . ––– 2 = log10(3 . 10) – log102 = Sabe-se que log102 = 0,30 e log103 = 0,47, = log103 + log1010 – log102 = calcule os logaritmos log1015 e . = = 0,47 + 1 – 0,30 = 1,17 Exercícios Propostos Sendo logab = 2 e logac = 3, calcule os logaritmos de e . calcular log10 loga(a . b . c) = RESOLUÇÃO: loga(a.b.c) = logaa + logab + logac = 1 + 2 + 3 = 6 Sabendo que log102 = 0,30, log103 = 0,48 e log107 = 0,84, 8 7 . ––––– 3 RESOLUÇÃO: 8 7 log10 ––––– 3 = log 10(2 3 . 7) – log103 = 1 = 3 . log102 + ––– . log107 – log103 = 2 1 = 3 . 0,30 + ––– . 0,84 – 0,48 = 0,90 + 0,42 – 0,48 = 0,84 2 = b loga ––– c RESOLUÇÃO: = log b – log c = 2 – 3 = – 1 b loga ––– c MATEMÁTICA a a 45 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 46 (UNESP-MODELO ENEM) – O altímetro dos aviões é um instrumento que mede a pressão atmosférica e transforma esse resultado em altitude. Suponha que a altitude h acima do nível do mar, em quilômetros, detectada pelo altímetro de um avião seja dada, em função da pressão atmosférica p, em atm, por h(p) = 20 . log 10 . ––– p . 1 b) 8. c) 9. (UNIFESP-MODELO ENEM) – Pesquisa feita por biólogos de uma reserva florestal mostrou que a população de uma certa espécie de animal está diminuindo a cada ano. A partir do ano em que se iniciou a pesquisa, o número de exemplares desses animais é dado aproximadamente pela função f(t) = 750 × 2– (0,05)t, com t em anos, t ≥ 0. a) Determine, com base na função, em quantos anos a po- Num determinado instante, a pressão atmosférica medida pelo altímetro era 0,4 atm. Considerando a aproximação log10 2 = 0,3, a altitude h do avião nesse instante, em quilômetros, era de a) 5. d) 11. e) 12. pulação de animais estará reduzida à metade da população inicial. b) Considerando log23 = 1,6 e log25 = 2,3, e supondo que nada seja feito para conter o decrescimento da população, determine em quantos anos, de acordo com a função, haverá apenas 40 exemplares dessa espécie de animal na reserva RESOLUÇÃO: florestal. 1 Para p = 0,4 atm e sendo h(p) = 20 . log10 ––– p a altitude do avião, acima do nível do mar, em quilômetros em função da pressão atmosférica p, temos: h(0,4) = 20 . log10 = 20 . log10 1 –––– 0,4 10 10 = 20(1 – 2 . 0,3) = 8 Resposta: B Assim, a população estará reduzida à metade da população = 20 . log = 20[log –––– 4 10 RESOLUÇÃO: a) A população inicial era f(0) = 750 . 2 – 0,05 . 0 = 750 1 ––––– 4 ––– 10 10 – 2 log10 2] = = inicial quando 1 f(t) = 375 = 750 . 2 – 0,05 . t ⇔ 2 – 0,05 . t = ––– ⇔ 2 ⇔ 2 – 0,05 . t = 2–1 ⇔ t = 20 b) Haverá apenas 40 exemplares quando 4 f(t) = 40 ⇒ 750 . 2– 0,05 . t = 40 ⇒ 2 – 0,05 . t = –––– ⇒ 75 22 ⇒ log (2– 0,05 . t) = log ––––––– ⇒ 2 2 3 . 52 ⇒ – 0,05t . log 2 = 2 . log 2 – log 3 – 2 . log 5 ⇒ 2 2 2 2 ⇒ – 0,05 . t = 2 – 1,6 – 2 . 2,3 ⇒ t = 84 Respostas: a) 20 anos b) 84 anos 46 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 47 Palavras-chave: 37 Mudança de base 1. Propriedade O logaritmo de um número N numa base a, com N > 0, a > 0 e a ≠ 1, é igual ao quociente entre o logaritmo de N e o logaritmo de a, ambos na base b, qualquer que seja b > 0 e b ≠ 1. Simbolicamente, • Base do logaritmo ax = N by = N ⇒ bz = a ax = by ⇒ (bz)x = by ⇔ bxz = by ⇔ bz = a logbN y ⇔ xz = y ⇔ x = ––– e, portanto, logaN = –––––– z logba Exemplos logbN logaN = ––––––– logba log28 3 1. log48 = –––––– = ––– 2 log24 2. Demonstração da propriedade Se logaN = x, logbN = y e logba = z, então: 2 log24 2. log324 = –––––– = ––– 5 log232 Exercícios Resolvidos Calcular o log32 sabendo que log102 = 0,301 e log103 = 0,477. Resolução log102 0,301 log32 = –––––––– = ––––––– = 0,631 log103 0,477 Resposta: log32 = 0,631 Calcular o valor da expressão log78 . log57 . log25 Resolução log28 log27 = –––––– . –––––– . log25 = log28 = 3 log27 log25 Resposta: log78 . log57 . log25 = 3 O número de habitantes de uma cidade será N = 40 000 . (1,02)t daqui a t anos. Assim sendo, o número de habitantes hoje é (FGV-SP – MODELO ENEM) – Daqui a t anos, o número de habitantes de uma cidade será N = 40 000 (1,02)t. O valor de t para que a população dobre em relação à de hoje é log 2 a) –––––––– . log 1,02 b) 50. log 2 d) 2 . –––––––– . log 1,02 log78 . log57 . log25 = Resolução c) (log 2)(log 1,02). e) 2(log 2)(log 1,02). 40 000 . (1,02) 0 = 40 000 . 1 = 40 000. Se T for o número de anos necessários para que a população dobre, em relação à de hoje, então: 40 000 . (1,02)T = 80 000 ⇔ (1,02)T = 2 ⇔ log 2 ⇔ T = log1,02 2 ⇔ T = –––––––– log 1,02 Resposta: A Exercícios Propostos Sabendo-se que log102 = 0,30, log103 = 0,48 e log107 = 0,84, calcular a) log32. b) log27. log1010 1 10 c) log210 = –––––––– = –––––– = –––– 0,30 3 log102 c) log210. RESOLUÇÃO: log102 5 0,30 30 a) log32 = ––––––– = –––––– = –––– = ––– = 0,625 0,48 48 8 log103 log107 0,84 84 14 b) log27 = ––––––– = –––––– = –––– = ––– = 2,8 0,30 30 5 log102 MATEMÁTICA 47 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 48 Calcular o valor de log 1 –– a b2 sabendo que logab = m. O valor de log32 . log25 . log57 . log79 é RESOLUÇÃO: a) 1. 3 b) ––– . 2 logab2 2 logab 2m log b2 = ––––––– = ––––––––– = ––––– = – 2m 1 1 –1 –– logaa –1 loga–– a a 5 d) ––– . 2 e) 3. c) 2. RESOLUÇÃO: log32 . log25 . log57 . log79 = log35 log37 log39 = log32 . –––––– . –––––– . –––––– = log39 = 2 log32 log35 log37 Resposta: C (FUVEST) – Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão: (UNICID) – Se log102 = m e log103 = n, podemos afirmar que o log56 é: 1 1 1 S = ––––––––––– + ––––––––––– + ––––––––––– 10 . log 2016 5 . log 2 . log22016 72016 3 2mn a) –––––– 1–m m+n b) ––––––– 1+m O valor de S é m+n d) ––––––– 1–m 3mn e) ––––––– 1+m 1 a) –– 2 1 b) –– 3 1 c) –– 5 1 d) –– 7 1 e) ––– 10 RESOLUÇÃO: 1 1 1 S = ––– . log20162 + ––– . log20163 + ––– . log20167 = 2 5 10 5 m+n c) ––––––– mn RESOLUÇÃO: log102 + log103 log10 (2 . 3) m+n log106 = ––––––––––––– = –––––––––––––––– = –––––––– log56 = –––––––– 1–m log105 10 log1010 – log102 log ––– 2 10 Resposta: D 10 = log2016 2 + log2016 3 + log2016 7= 5 = log2016 2 . 3 . 7= 10 10 = log2016 32 . 9 . 7 = log2016 32 . 9 . 7 = 10 10 10 1 1 1 = ––– . log20162016 = ––– . 1 = ––– 10 10 10 Resposta: E 48 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 49 Palavras-chave: Função logarítmica 38 • Domínio da função • Expoente Exemplo 2 1. Definição Chama-se função logarítmica de base a, com * → definida por a > 0 e a ≠ 1, a função f : + f(x) = logax 1/2 Resolução Construímos uma tabela atribuindo alguns valores a x e calculando as imagens correspondentes. 2. Como obter o gráfico Exemplo 1 * → definida por Construir o gráfico da função f : + f(x) = log x. 2 Resolução Construímos uma tabela atribuindo alguns valores a x e calculando as imagens correspondentes. x y = log2x (x; y) 1 ––– 8 1 y = log2 –– = – 3 8 – 3 ––; 8 1 ––– 4 1 y = log2 –– = – 2 4 – 2 ––; 4 1 ––– 2 1 y = log2 –– = – 1 2 – 1 ––; 2 1 y = log21 = 0 (1; 0) 2 y = log22 = 1 (2; 1) 4 y = log24 = 2 (4; 2) 8 y = log28 = 3 (8; 3) * → definida por Construir o gráfico da função f : + f(x) = log x. x y = log1/2x 1 ––– 8 1 y = log1/2 –– = 3 8 1 ––– 4 1 y = log1/2 –– = 2 4 1 ––– 2 (x; y) 3 ––; 8 2 ––; 4 1 y = log1/2 –– = 1 2 1 ––; 2 1 y = log1/21 = 0 (1; 0) 2 y = log1/2 2 = – 1 (2; – 1) 4 y = log1/2 4 = – 2 (4; – 2) 8 y = log1/2 8 = – 3 (8; – 3) 1 1 1 1 1 1 Em seguida, localizamos os pontos obtidos num sistema de coordenadas cartesianas. Em seguida, localizamos os pontos obtidos num sistema de coordenadas cartesianas. MATEMÁTICA 49 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 50 outra, pois f(x) = ax ⇒ y = ax ⇒ x = ay ⇒ Demonstra-se que: ⇒ y = logax ⇒ f–1(x) = logax . a) O gráfico da função logarítmica está sempre → *. “à direita do eixo Oy”, pois seu domínio é + Seus gráficos são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, que é a reta da equação y = x, conforme as figuras 1 e 2. b) O gráfico da função logarítmica sempre inter→ cepta o eixo Ox no ponto (1; 0), pois loga1 = 0; * – {1}. ∀a ∈ + c) Se a > 1, a função logarítmica é estritamente crescente e seu gráfico é do tipo do exemplo 1. d) Se 0 < a < 1, a função logarítmica é estritamente decrescente e seu gráfico é do tipo do exemplo 2. e) A função logarítmica é sobrejetora, pois o contradomínio e o conjunto imagem são, ambos, iguais a . f) A função logarítmica é injetora, pois qualquer reta horizontal intercepta seu gráfico no máximo uma vez. a) A função logarítmica é bijetora. * , e a função b) A função exponencial de em + logarítmica, de +* em , são inversas uma da Exercícios Resolvidos (MACKENZIE) – A figura mostra o esbo- III) O retângulo da figura tem base medindo ço do gráfico da função y = loga (x + b). A área do retângulo assinalado é 3 –– a 2 1 –– = –––– = –– e altura 1, assim, sua 3 3 2 Resolução O domínio de f, é D(f) = (x ∈ | x2 – x – 6 > 0 e x – 1 > 0 e x – 1 ≠ 1} Assim sendo: a) x2 – x – 6 > 0 ⇔ x < – 2 ou x > 3, pois o 1 1 área é –– . 1 = –– 2 2 gráfico de g(x) = x2 – x – 6 é do tipo Resposta: B (MACKENZIE) – Os pontos (1,2) e (5,10) pertencem ao gráfico de f(x) = a.b log2x . O valor de a + b é a) 3. a) 1 1 b) ––– 2 3 c) ––– 4 d) 2 4 e) ––– 3 Resolução I) Na função y = loga(x + b), para x = 0 tem-se y = 0, assim: 0 = loga(0 + b) ⇔ a0 = b ⇔ b = 1 a II) Na função y = loga(x + 1), para x = ––– 3 tem-se y = 1, assim: a a 1 = loga –– + 1 ⇔ a1 = –– + 1 ⇔ 3 3 3 ⇔ 3a = a + 3 ⇔ 2a = 3 ⇔ a = –– 2 50 b) 4. c) 6. d) 8. e) 5. Resolução (1; 2) ∈ f ⇒ f(1) = a . b log 1 2 (5; 10) ∈ f ⇒ f(5) = a . b ⇒ a . b0 = 2 log 5 a.b 2 = 10 ⇔ =2 log 5 2 = 10 a=2 b log 5 2 =5 ⇒ ⇔ b) x – 1 > 0 ⇔ x > 1 a=2 c) x – 1 ≠ 1 ⇔ x ≠ 2 d) De (a) 傽 (b) 傽 (c), temos: b= 2 ⇒a+b=4 Resposta: B Determinar o domínio da função definida por f(x) = log(x – 1)(x2 – x – 6). Resposta: D(f) = {x ∈ x > 3} MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 51 Exercícios Propostos g(x) = log2x, no mesmo sistema de coordenadas cartesianas Completar a tabela abaixo e, em seguida, construir o gráfico da função logarítmica g: *+ → , definida por g(x) = log 1 x, no mesmo sistema de coordenadas cartesianas onde já está representada a função exponencial f: → *+, onde já está representada a função exponencial f: → *+, Completar a tabela abaixo e, em seguida, construir o gráfico da função logarítmica g: *+ → , definida por definida por f(x) = 2x. x x y = g(x) = log2x 1 ––– 8 1 y = log2 –– = – 3 8 1 ––– 4 1 y = log2 –– = – 2 4 1 ––– 2 1 2 4 8 MATEMÁTICA –– 2 (x; y) definida por f(x) = ––12 . 1 – 3 ––; 8 x y = g(x) = log 1 x 1 – 2 ––; 4 1 ––– 8 1 y = log1 –– = 3 –– 8 2 1 y = log2 –– = – 1 2 1 – 1 ––; 2 1 ––– 4 1 y = log1 –– = 2 –– 4 2 y = log21 = 0 (1; 0) 1 ––– 2 (2; 1) y = g(2) = log22 = 1 y = log24 = 2 (4; 2) y = log28 = 3 (8; 3) –– 2 (x; y) 1 3 ––; 8 1 2 ––; 4 1 y = log1 –– = 1 –– 2 2 1 1 ––; 2 1 y = log1 1 = 0 (1; 0) 2 y = log1 2 = – 1 (4; – 1) 4 y = log1 4 = – 2 (4; – 2) 8 y = log1 8 = – 3 (8; – 3) –– 2 –– 2 –– 2 –– 2 51 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 52 Determinar o domínio da função definida por f(x) = log(x – 1) (x2 Atualmente existem diversas locadoras de veículos permitindo uma concorrência saudável para o mercado fazendo com que os preços se tornem acessíveis. – x – 6). RESOLUÇÃO: O domínio de f, é D(f) = (x ∈ x2 – x – 6 > 0 e x – 1 > 0 e x – 1 ≠ 1} Nas locadoras P e Q, o valor da diária de seus carros depende da distância percorrida, conforme o gráfico. Assim sendo: a) x2 – x – 6 > 0 ⇔ x < – 2 ou x > 3, pois o gráfico de g(x) = x2 – x – 6 é do tipo y 3 -2 b) c) d) x x–1>0⇔x>1 x–1≠1⇔x≠2 De (a) 傽 (b) 傽 (c), temos: a) -2 b) c) (a) Ç (b) Ç (c) Resposta: D(f) = {x ∈ | x > 3} 1 2 3 Disponível em: www.sempretops.com. Acesso em: 7 ago. 2010 O valor pago na locadora Q é menor ou igual àquele pago na locadora P para distâncias, em quilômetros, presentes em qual(is) intervalo(s)? a) De 20 a 100. b) De 80 a 130. c) De 100 a 160. d) De 0 a 20 e de 100 a 160. e) De 40 a 80 e de 130 a 160. RESOLUÇÃO: O valor pago na locadora Q é menor que o pago na locadora P quando o gráfico de Q ficar abaixo de P e igual na intersecção. Assim, temos de 0 a 20 e de 100 a 160. Resposta: D 52 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 53 Palavras-chave: 39 Funções logarítmicas • Função injetora • Logaritmando • Condição de existência Função logarítmica a) A função logarítmica de base a, a ∈ +* – {1}, é a função de *+ → definida por com f(x) = logax b) O gráfico da função logarítmica, representado ao → lado, está sempre “à direita do eixo Oy”, pois seu domínio é *+. c) O gráfico da função logarítmica sempre intercepta → o eixo Ox no ponto (1; 0), pois loga1 = 0; ∀a ∈ *+ – {1}. Logo: d) A função logarítmica é injetora pois qualquer reta logax1 = logax2 ⇔ x1 = x2 > 0 horizontal intercepta seu gráfico no máximo uma vez. Exercícios Resolvidos Resolva a equação log3(3x – 1) = log38. Resolução log3(3x – 1) = log38 ⇔ ⇔ 3x – 1 = 8 3x – 1 > 0 log5(x – 1) + log5(x – 3) = log53 ⇔ ⇔ log5 (x – 1) (x – 3) = log53 ⇔ Como os dois valores satisfazem as condições ⇔ (x – 1) (x – 3) = 3 ⇔ x2 – 4x + 3 = 3 ⇔ de existência, então V = { –2, 8} ⇔ x(x – 4) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 4 ⇒ x = 4, pois Resposta: V = {– 2; 8} ⇔ x2 – 6x – 16 = 0 ⇔ x = + 8 ou x = – 2 0 não verifica as condições de existência dos x=3 1 ⇔ V = {3} x > –– 3 logaritmos. Resposta: V = {4} Resolução Resolver a equação: log2(x2 – 6x) = 4. Resolver a equação log5(x – 1) + log5(x – 3) = log53. Resolução Resolução log2(x2 – 6x) = 4 ⇔ x2 – 6x = 24 ⇔ Resolver a equação log9log3log5 x = 0. log9 log3log5 x = 0 ⇔ log3 log5x = 90 = 1 ⇔ ⇔ log5 x = 31 = 3 ⇔ x = 53 ⇔ x = 125 Exercícios Propostos Resolva, em , as equações de e . log2(x2 + 6x – 6) = log2x RESOLUÇÃO: x2 + 5x – 6 = 0 ⇔ x>0 V = {1} log3(x + 1) + log3x = log36 RESOLUÇÃO: log3(x + 1) + log3x = log36 ⇔ log2(x2 + 6x – 6) = log2x ⇔ ⇔ x2 + 6x – 6 = x ⇔ x>0 x = – 6 ou x = 1 ⇔x=1 x>0 ⇔ (xx >+01) . x = 6 ⇔ xx => –0 3 ou x = 2 ⇔ log3[(x + 1) . x] = log36 ⇔ x+1>0 x>0 xx >+0x – 6 = 0 2 ⇔ ⇔x=2 V = {2} MATEMÁTICA 53 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 54 (UNEMAT) – A solução da equação logarítmica 2 log5x = log5x + log58 é: a) {0} b) {8} c) {0, 8} RESOLUÇÃO: 2 log5x = log5x + log58 ⇔ ⇔ x2 – 8x = 0 ⇔ x>0 d) {–8} log5x2 = log5(x . 8) x>0 x = o ou x = 8 ⇔ e) {0, –8} x2 = 8x x>0 ⇔ ⇔x=8 x>0 Resposta: B (UNESP) – O número de bactérias de uma população no instante t é dado por M(t) = M(0) . 10k . t, em que k é a taxa média de crescimento da população e M(0), o número de bactérias encontrado no instante t = 0 segundo. Sabe-se que no instante (FGV-SP) – Uma aplicação financeira rende juros de 10% ao ano, compostos anualmente. Utilizando para os cálculos as aproximações fornecidas na tabela, pode-se estimar que uma aplicação de R$ 1.000,00 seria resgatada no montante de R$ 1.000.000,00 após a) mais de 1 século. 4 c) ––– de século. 5 x log x 2 0,30 5 0,70 11 1,04 b) 1 século. t = 3 segundos a população é de 400 bactérias e no instante t = 10 segundos é de 600 bactérias. Nessas condições, qual será o valor da taxa média de crescimento da população de bactérias? Use: log 1,5 = 0,176 RESOLUÇÃO: 1) Sendo M(t) = M(0) . 10k.t, para M(3) = 400 e M(10) = 600, temos: M(10) = M(0) . 10 M(3) = M(0) . 10k.3 = 400 ⇔ k.10 = 600 400 M(0) = ––––– 103k 600 M(0) = –––––– 1010k 2 400 600 Assim, –––––– = –––––– ⇔ 107k = 1,5 ⇔ 103k 1010k 3 ⇔ log107k = log1,5 ⇔ 7k = 0,176 ⇔ k = 0,0251 d) ––– de século. Resposta: 0,0251 3 e) ––– de século. 4 RESOLUÇÃO: O montante resultante de uma aplicação de R$ 1.000,00 a juros de 10% ao ano, compostos anualmente, durante t anos, é dado por M = 1.000 . (1 + 10%) t Desta forma, 1.000 . (1 + 0,10)t = 1.000.000 ⇔ 1,10 t = 1.000 ⇔ 11 ⇔ log 1,10 t = log 1.000 ⇔ t . log ––– = 3 ⇔ 10 ⇔ t . (log 11 – log 10) = 3 ⇔ t . (1,04 – 1) = 3 ⇔ ⇔t= 3 ––––– 0,04 3 3 = –– . 100 anos, portanto, t = –– de século. 4 4 Resposta: E 54 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 55 Palavras-chave: 40 Inequações logarítmicas • Função estritamente crescente • Função estritamente decrescente Função logarítmica (Resumo) a) A função logarítmica de base a, com a ∈ +* – {1}, é a função f de +* → definida por f(x) = logax → b) O gráfico da função logarítmica, representado ao lado, está sempre “à direita do eixo Oy” pois seu domínio é → +* ; sempre intercepta o eixo Ox no ponto (1; 0). c) Se a > 1 a função é estritamente crescente e, portanto, logax1 > logax2 ⇔ x1 > x2 > 0 d) Se 0 < a < 1 a função é estritamente decrescente e, portanto, logax1 > logax2 ⇔ 0 < x1 < x2 Exercícios Resolvidos Resolva a inequação log4 (2x – 3) > log4 7. Sendo a > 1 temos: loga log Resolução log4(2x – 3) > log47 ⇔ ⇔ Resolução 2x – 3 > 0 2x – 3 > 7 ⇔ x>5 3 ⇔ V = {x ∈ x > 5} x > –– 2 ⇔ log 1 (x –– a 1 (x –– a – 3) > 0 ⇔ 1 – 3) > 1 ⇔ 0 < x – 3 < –– ⇔ a 3a + 1 1 ⇔ 3 < x < –– + 3 ⇔ 3 < x < ––––––– a a Resposta: B Resolver, em , a inequação log1/3 (x2 – 4x + 3) < – 1. Resolução log1/3(x2 – 4x + 3) < – 1 ⇔ x2 – 4x + 3 > ––3 1 –1 ⇔ ⇔ x2 – 4x + 3 > 3 ⇔ x2 – 4x > 0 ⇔ ⇔ x < 0 ou x > 4, pois o gráfico de f(x) = x2 – 4x é do tipo (UNIP) – O conjunto solução da inequação loga log 1 (x –– a – 3) > 0, com a ∈ e a > 1, é Resolver, em , a inequação log(2x–1 – 1)5 < log(2x–1 – 1)2. a) {x ∈ a < x < 3}. b) x ∈ 3 < x < ––––––– . a 3a + 1 Resolução Como 5 > 2 e log(2x – 1 – 1) 5 < log(2x – 1 – 1) 2, então c) {x ∈ 3 < x < 3a + 1}. 0 < 2x –1 – 1 < 1 ⇔ 1 < 2x – 1 < 2 ⇔ d) {x ∈ 3 < x < a + 3}. ⇔ 0 < x – 1 < 1 ⇔ 1 < x < 2. e) {x ∈ 3 < x < a + 1}. Resposta: V = {x ∈ 1 < x < 2} MATEMÁTICA Resposta: V = {x ∈ x < 0 ou x > 4} 55 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 56 Exercícios Propostos Resolva, em , as inequações de a . log2(5x – 3) > log27 RESOLUÇÃO: log3(2x + 5) 2 ⇔ RESOLUÇÃO: log2(5x – 3) > log27 ⇔ 5x – 3 > 0 5x – 3 > 7 ⇔ +53 2x 2x + 5 > 0 2 ⇔ 5 ⇔ 0 < 2x + 5 9 ⇔ – 5 < 2x 4 ⇔ – ––– < x 2 2 5 V = x ∈ – ––– < x 2 2 ⇔ 5x – 3 > 7 ⇔ 5x > 10 ⇔ x > 2 V = {x ∈ log3(2x + 5) 2 | x > 2} log0,1(2x – 2) > log0,110 RESOLUÇÃO: log0,1(2x – 2) > log0,110 ⇔ 2x – 2 > 0 2x – 2 < 10 ⇔ ⇔ 0 < 2x – 2 < 10 ⇔ 2 < 2x < 12 ⇔ 1 < x < 6 V = {x ∈ (FGV) – Os valores de x para os quais log10x + log10(x + 3) < 1 são: | 1 < x < 6} a) x > – 5 b) x > 2 c) 0 < x < 2 d) x < – 5 ou x > 2 e) – 5 < x < 2 RESOLUÇÃO: log10x + log10(x + 3) < 1⇔ log3(x + 1) + log3x ≤ log36 RESOLUÇÃO: ⇔ log3(x + 1) + log3x ≤ log36 ⇔ x+1>0 e x>0 (x + 1) . x ≤ 6 x>0 ⇔ V = {x ∈ | 0 < x ≤ 2} ⇔ 56 log3[(x + 1) . x] ≤ log36 x>0 x2 + x – 6 ≤ 0 x>0 ⇔ x (x + 3) < 10 x>0 ⇔ x > –3 log10(x . (x + 3)) < 1 ⇔ x>0 x+3>0 x2 + 3x – 10 < 0 ⇔0 1 é igual ao número de algarismos de sua parte inteira, diminuído de uma unidade. Exemplos Note que: e 2,718 e2 7,388 Função logarítmica de base N 10 O gráfico da função f: *+ → definida por f(x) = log x é número de algarismos da característica parte inteira log N 3 1 0 log 3 = 0 + 0, … = 0, … 4,9 1 0 log 4,9 = 0 + 0,… = 0, … 13 2 1 log 13 = 1 + 0,… = 1, … 139 3 2 log 139 = 2 + 0,… = 2, … 721,4 3 2 log 721,4 = 2 + 0,… = 2, … 15124 5 4 log 15124 = 4 + 0,… = 4; … b) A característica do logaritmo decimal de um número N, com 0 < N < 1, é igual ao oposto do número de zeros que precedem o primeiro algarismo significativo de N. MATEMÁTICA 57 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 58 Exemplos N números característica de zeros log N 0,31 1 –1 – log 0,31 = – 1 + 0, … = 1, … 0,0103 2 –2 – log 0,0103 = – 2 + 0,… = 2, … 0,004 3 –3 – log 0,004 = – 3 + 0,… = 3, … 0,00003 5 –5 – log 0,00003 = – 5 + 0,… = 5, … Se log N = c + m, onde c é a característica e m é a mantissa, então log (N . 10k) = log N + log 10k ⇒ ⇒ log (N .10k) = c + m + k ⇔ log (N . 10k) = (c + k) + m Assim sendo: característica mantissa logaritmo c m c+m c+k m (c + k) + m N Observação – 5,31 por exemplo, é a representação simbólica de – 5 + 0,31 e o resultado dessa subtração é – 4,69. N .10k 5. Tábua de logaritmos – Logo: 5,31 = – 4,69 . Na folha seguinte apresentamos uma TABELA que fornece as MANTISSAS dos logaritmos decimais dos números inteiros de 100 a 999, impropriamente denominada TÁBUA DE LOGARITMOS, visto que não fornece os logaritmos, mas tão somente as mantissas. Para calcular a característica de logaN, ∀a, N > 0 e a ≠ 1, é suficiente colocar N entre duas potências inteiras e consecutivas de base a. Nessa tabela para determinar, por exemplo, a mantissa do logaritmo decimal do número 496, devemos procurar a intersecção da linha 49 com a coluna 6. Encontramos então 6955, o que significa que a mantissa procurada é 0,6955. Exemplos 1. Calcular a característica do logaritmo de 73 na base 2. Resolução 64 < 73 < 128 ⇔ 26 < 73 < 27 ⇔ ⇔ log226 < log273 < log227 ⇔ ⇔ 6 < log273 < 7 ⇔ log273 = 6,... Resposta: A característica do log273 é 6. 2. Calcular a característica do logaritmo de 73 na base 10. Resolução 10 < 73 < 100 ⇔ 101 < 73 < 102 ⇔ ⇔ log 101 < log 73 < log 102 ⇔ ⇔ 1 < log 73 < 2 ⇔ log 73 = 1,... Resposta: A característica do log 73 é 1. 4. Como obter a mantissa a) Por não existir nenhum processo simples para ser obtida, ou a mantissa é dada diretamente ou deve ser procurada numa tabela chamada Tábua de Logaritmos. b) Propriedade Os números N e N . 10k, com N > 0 e k ∈ , possuem a mesma mantissa, ou seja, números que “diferem” apenas pela posição da vírgula possuem a mesma mantissa. 58 Note que a tabela fornece diretamente as mantissas de todos os números inteiros de 100 a 999, bem como de qualquer número decimal positivo cuja representação difere dos anteriores apenas pela posição da vírgula. Assim, pelo exemplo anterior, podemos dizer que 0,6955 é a mantissa do logaritmo decimal não só do número 496, como também dos números: 4960; 49600; 49,6; 4,96; 0,496 etc. Observação – log(0,021) = 2,322 = – 2 + 0,322 = – 1,678 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 59 TÁBUA DE LOGARITMOS N 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 0 0000 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2788 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 4472 4624 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911 6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 6902 6990 7076 7160 7243 7324 1 0043 0453 0828 1173 1492 1790 2068 2330 2577 2810 3032 3243 3444 3636 3820 3997 4166 4330 4487 4639 4786 4928 5065 5198 5328 5453 5575 5694 5809 5922 6031 6138 6243 6345 6444 6542 6637 6730 6821 6911 6998 7084 7168 7251 7332 2 0086 0492 0864 1206 1523 1818 2095 2355 2601 2833 3054 3263 3464 3655 3838 4014 4183 4346 4502 4654 4800 4942 5079 5211 5340 5465 5587 5705 5821 5933 6042 6149 6253 6355 6454 6551 6646 6739 6830 6920 7007 7093 7177 7259 7340 3 0128 0531 0899 1239 1553 1847 2122 2380 2625 2856 3075 3284 3483 3674 3856 4031 4200 4362 4518 4669 4814 4955 5092 5224 5353 5478 5599 5717 5832 5944 6053 6160 6263 6365 6464 6561 6656 6749 6839 6928 7016 7101 7185 7267 7348 4 0170 0569 0934 1271 1584 1875 2148 2405 2648 2878 3096 3304 3502 3692 3874 4048 4216 4378 4533 4683 4829 4969 5105 5237 5366 5490 5611 5729 5843 5955 6064 6170 6274 6375 6474 6571 6665 6758 6848 6937 7024 7110 7193 7275 7356 5 0212 0607 0969 1303 1614 1903 2175 2430 2672 2900 3118 3324 3522 3711 3892 4065 4232 4393 4548 4698 4843 4983 5119 5250 5378 5502 5623 5740 5855 5966 6075 6180 6284 6385 6484 6580 6675 6767 6857 6946 7033 7118 7202 7284 7364 6 0253 0645 1004 1335 1644 1931 2201 2455 2695 2923 3139 3345 3541 3729 3909 4082 4249 4409 4564 4713 4857 4997 5132 5263 5391 5514 5635 5752 5866 5977 6085 6191 6294 6395 6493 6590 6684 6776 6866 6955 7042 7126 7210 7292 7372 7 0294 0682 1038 1367 1673 1959 2227 2480 2718 2945 3160 3365 3560 3747 3927 4099 4265 4425 4579 4728 4871 5011 5145 5276 5403 5527 5647 5763 5877 5988 6096 6201 6304 6405 6503 6599 6693 6785 6875 6964 7050 7135 7218 7300 7380 8 0334 0719 1072 1399 1703 1987 2253 2504 2742 2967 3181 3385 3579 3766 3945 4116 4281 4440 4594 4742 4886 5024 5159 5289 5416 5539 5658 5775 5888 5999 6107 6212 6314 6415 6513 6609 6702 6794 6884 6972 7059 7143 7226 7308 7388 9 0374 0755 1106 1430 1732 2014 2279 2529 2765 2989 3201 3404 3598 3784 3962 4133 4298 4456 4609 4757 4900 5038 5172 5302 5428 5551 5670 5786 5899 6010 6117 6222 6325 6425 6522 6618 6712 6803 6893 6981 7067 7152 7235 7316 7396 N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 MATEMÁTICA 59 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 60 60 N 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 0 7404 7482 7559 7634 7709 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388 8451 8513 8573 8633 8692 8751 8808 8865 8921 8976 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494 9542 9590 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956 1 7412 7490 7566 7642 7716 7789 7860 7931 8000 8069 8136 8202 8267 8331 8395 8457 8519 8579 8639 8698 8756 8814 8871 8927 8982 9036 9090 9143 9196 9248 9299 9350 9400 9450 9499 9547 9595 9643 9689 9736 9782 9827 9872 9917 9961 2 7419 7497 7574 7649 7723 7796 7868 7938 8007 8075 8142 8209 8274 8338 8401 8463 8525 8585 8645 8704 8762 8820 8876 8932 8987 9042 9096 9149 9201 9253 9304 9355 9405 9455 9504 9552 9600 9647 9694 9741 9786 9832 9877 9921 9965 3 7427 7505 7582 7657 7731 7803 7875 7945 8014 8082 8149 8215 8280 8344 8407 8470 8531 8591 8651 8710 8768 8825 8882 8938 8993 9047 9101 9154 9206 9258 9309 9360 9410 9460 9509 9557 9605 9652 9699 9745 9791 9836 9881 9926 9969 4 7435 7513 7589 7664 7738 7810 7882 7952 8021 8089 8156 8222 8287 8351 8414 8476 8537 8597 8657 8716 8774 8831 8887 8943 8998 9053 9106 9159 9212 9263 9315 9365 9415 9465 9513 9562 9609 9657 9703 9750 9795 9841 9886 9930 9974 5 7443 7520 7597 7672 7745 7818 7889 7959 8028 8096 8162 8228 8293 8357 8420 8482 8543 8603 8663 8722 8779 8837 8893 8949 9004 9058 9112 9165 9217 9269 9320 9370 9420 9469 9518 9566 9614 9661 9708 9754 9800 9845 9890 9934 9978 6 7451 7528 7604 7679 7752 7825 7896 7966 8035 8102 8169 8235 8299 8363 8426 8488 8549 8609 8669 8727 8785 8842 8899 8954 9009 9063 9117 9170 9222 9274 9325 9375 9425 9474 9523 9571 9619 9666 9713 9759 9805 9850 9894 9939 9983 7 7459 7536 7612 7686 7760 7832 7903 7973 8041 8109 8176 8241 8306 8370 8432 8494 8555 8615 8675 8733 8791 8848 8904 8960 9015 9069 9122 9175 9227 9279 9330 9380 9430 9479 9528 9576 9624 9671 9717 9763 9809 9854 9899 9943 9987 8 7466 7543 7619 7694 7767 7839 7910 7980 8048 8116 8182 8248 8312 8376 8439 8500 8561 8621 8681 8739 8797 8854 8910 8965 9020 9074 9128 9180 9232 9284 9335 9385 9435 9484 9533 9581 9628 9675 9722 9768 9814 9859 9903 9948 9991 9 7474 7551 7627 7701 7774 7846 7917 7987 8055 8122 8189 8254 8319 8382 8445 8506 8567 8627 8686 8745 8802 8859 8915 8971 9025 9079 9133 9186 9238 9289 9340 9390 9440 9489 9538 9586 9633 9680 9727 9773 9818 9863 9908 9952 9996 N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 61 Exercícios Resolvidos Sendo log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477, calcule os logaritmos de a . log 200 • a mantissa é 0,301 – • log (0,002) = 3,301 = – 3 + 0,301 = – 2,699 Resposta: log(0,002) = – 2,699 log2 81 Resolução Resolução log 200 = log (2 . 100) = log 2 + log 100 = log 81 4 . log 3 log2 81 = ––––––– = ––––––––– = log 2 log 2 = 0,301 + 2 = 2,301 Observação Outra forma de calcular o log 200 é: • a característica é 2 pois 200 tem 3 algarismos • a mantissa do logaritmo de 200 é a mesma mantissa do logaritmo de 2 Resposta: log 200 = 2,301 log (0,002) Resolução 2 log (0,002) = log ––––– = 1000 = log 2 – log 1000 = 0,301 – 3 = – 2,699 Observação Outra forma de calcular o log (0,002) é • a característica é – 3 pois 0,002 tem 3 zeros Use aproximação por valores superiores e adote os seguintes dados: Log 2 = 0,3010 Log 13 = 1,1139 Resolução P1999 60 . (1,04)3 a) –––––– = ––––––––––– = 1,04 = 104% ⇔ P1998 60 . (1,04)2 ⇔ P1999 = 104% . P1998 ⇔ 4 . 0,477 = –––––––––– 6,339 0,301 ⇔ P1999 = P1998 + 4% . P1998 Resposta: log2 81 = 6,339 A função P = 60.(1,04)t representa a estimativa do Produto Interno Bruto em bilhões de dólares (PIB) de um país no ano t adotando-se a seguinte convenção: t = 0 representa o ano de 1996 t = 1 representa o ano de 1997 t = 2 representa o ano de 1998 e assim por diante. a) Qual a estimativa do aumento percentual do PIB de 1999 em relação ao de 1998? b) Em que ano o PIB será aproximadamente o dobro do que era em 1996? Pn 60 . (1,04) n – 1996 b) –––––– = ––––––––––––––––––– = P1996 60 . (1,04)0 = (1,04) n – 1996 = 2 ⇒ n – 1996 = log1,042 ⇔ log 2 ⇔ n – 1996 = ––––––––––––––––– ⇔ log 104 – log 100 log 2 ⇔ n – 1996 = ––––––––––––––––––––––– ⇔ log 8 + log 13 – log 100 0,3010 ⇔ n – 1996 = ––––––––––––––––––––– ⇔ 0,9030 + 1,1139 – 2 ⇔ n – 1996 = 17,81 ⇒ n – 1996 18 ⇔ ⇔ n = 2014 Respostas: a) 4% b) 2014 Exercícios Propostos Utilizando a Tábua de Logaritmos, determine a) log 347 = b) log 34700 = c) log 0,0347 = Utilizando a Tábua de Logaritmos, determine o logaritmando N, nos casos: a) log N = 3,5340 b) log N = 1,5340 – c) log N = 2,5340 – d) log 0,0004 = e) log 4000 = d) log N = 3,7316 RESOLUÇÃO: a) log 347 = 2 + 0,5403 = 2,5403 a) m = 0,5340 (mantissa do 342) c = 3 (4 algarismos na parte inteira) b) log 34700 = 4 + 0,5403 = 4,5403 b) m = 0,5340 (mantissa do 342) c = 1 (2 algarismos na parte inteira) – d) log 0,0004 = – 4 + 0,6021 = – 3,3979 = 4,6021 c) m = 0,5340 (mantissa do 342) c = – 2 (2 zeros antes do 342) ⇒ N = 0,0342 e) log 4000 = 3 + 0,6021 = 3,6021 d) m = 0,7316 (mantissa do 539) c = – 3 (3 zeros antes do 539) ⇒ N = 0,00539 RESOLUÇÃO: ⇒ N = 3420 ⇒ N = 34,2 – c) log 0,0347 = – 2 + 0,5403 = – 1,4597 = 2,5403 MATEMÁTICA 61 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 62 (MODELO ENEM) – A soma das características dos logaritmos decimais dos números 3,2; 158 e 0,8 é (FGV-SP) – Considerando os valores log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o valor de x que satisfaz a equação 36x = 24, é: a) – 1 49 a) –––– 78 b) 0 c) 1 d) 3 e) 5 RESOLUÇÃO: Característica do log 3,2 C=1–1=0 Característica do log 158 C=3–1=2 Característica do log 0,8 C=–1 Soma das características = 0 + 2 + (–1) = 1 69 b) –––– 78 59 c) –––– 78 64 d) –––– 78 Resposta: C 54 e) –––– 78 RESOLUÇÃO: 36x = 24 log 36x = log 24 x . log 36 = log 24 x . log (22. 32) = log (23 . 3) x . (log 22 + log 32) = log 23 + log 3 x . (2 log 2 + 2 log 3) = 3 log 2 + log 3 x . (2 . 0,30 + 2 . 0,48) = 3 . 0,30 + 0,48 x . 1,56 = 1,38 1,38 x = ––––– 1,56 69 x = –––– 78 Resposta: B 62 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 63 Palavras-chave: Logaritmos e 42 a 44 exponenciais (complemento) • Base • Expoente • Potência Logo: Função logarítmica e função exponencial (resumo) ax1 = ax2 ⇔ x1 = x2 a) A função exponencial de → +* e a função logarítmica de +* → são inversas uma da outra. logax1 = logax2 ⇔ x1 = x2 > 0 b) Seus gráficos, representados ao lado, são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares que é a reta de equação y = x. d) Se a > 1 a função é estritamente crescente e, portanto, logax1 > logax2 ⇔ x1 > x2 > 0 ax1 > ax2 ⇔ x1 > x2 e) Se 0 < a < 1 a função é estritamente decrescente e, portanto, logax1 > logax2 ⇔ 0 < x1 < x2 c) A função exponencial e a função logarítmica são injetoras pois qualquer reta horizontal intercepta o gráfico no máximo uma vez. ax1 > ax2 ⇔ x1 < x2 Exercícios Propostos – Módulo 42 (PUC) – Resolvendo a inequação 1 log10(x – 1) 2, com x > 1, encontramos: a) 10 x 100 todos os números reais, tais que As soluções reais da inequação ––12 log (x + 3) 5 > 1 são b) 10 < x < 100 c) 11 x 101 d) 9 x 99 e) 9 < x < 99 a) – 3 < x < – 2. b) x > – 3. c) x > – 2. d) x < – 2. RESOLUÇÃO: e) 2 < x < 3. Para x > 1, tem-se: 1 log10(x – 1) 2 ⇔ 101 x – 1 102 ⇔ RESOLUÇÃO: ⇔ 10 x – 1 100 ⇔ 11 x 101 ––2 Resposta: C 1 ⇔ log5(x + 3) x+3>0 x+31⇔ ⇔ log5(x + 3) ––21 0 1 > –– 2 ⇔ x+3>0 x>–3 x0 log5(x + 3) < 0 ⇔ ⇔–30 ⇔ RESOLUÇÃO: 4x – 2 x + 2 + 3 = 0 (2x)2 – 2x . 22 + 3 = 0 log2x = 1 ou ⇔ x = 2 ou x = 4 log2x = 2 (2x)2 – 4 . 2x + 3 = 0 2x = 1 ou 2x = 3 ⇔ 2x = 20 ou x = log23 ⇔ x = 0 ou x = 1,6 V = {0; 1,6} V = {2; 4} 64 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 65 Exercícios Propostos – Módulo 43 (FUVEST) – Determine a solução (x, y), y > 1, para o sistema de equações log logy (9x – 35) = 6 3y (27x – 81) = 3 (MODELO ENEM) – Um automóvel vale hoje R$ 20 000,00. Estima-se que seu valor (y) daqui a x anos seja dado pela função exponencial y = a . bx. Sabendo-se que o valor estimado para daqui a 3 anos é R$ 15 000,00, o valor estimado para daqui a 6 anos é a) R$ 14 000,00. RESOLUÇÃO: b) R$ 12 800,00. logy (9x – 35) = 6 log3y (27x – 81) = 3 ⇔ ⇔ y ⇔ 9x – 35 = (y3)2 x – 3 = y3 x2 3 ⇔ ⇔ 9x – 35 = y6 27(x – 3) = (3y)3 ⇔ d) R$ 11 250,00. e) R$ 10 950,00. 9x – 35 = (x – 3)2 ⇔ y3 = x – 3 – 15x + 44 = 0 ⇔ =x–3 y x = 4 ou x = 11 3 = x – 3 c) R$ 12 120,00. ⇔ RESOLUÇÃO: O valor do automóvel hoje corresponde a x = 0 e daqui a 3 anos corresponde a x = 3. Assim: x=4 ou y=1 x = 11 ⇔ y=2 x = 11 , pois apenas x = 11 e y = 2 y=2 a . b0 = 20000 a . b3 = 15000 ⇔ aa =. b20000 = 15000 ⇔ 3 a = 20000 3 b3 = ––– 4 satisfazem as condições de existência dos logaritmos. Daqui a 6 anos, o valor (y) do automóvel em reais será de: Resposta: (11; 2) 2 y = a . b6 = a . (b3) = 20000 . 2 ( ) 3 –– 4 = 11250 Resposta: D MATEMÁTICA 65 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 66 (UFG-MODELO ENEM) – Suponha que o total de sapatos produzidos por uma pequena indústria é dado pela função S(t) = 1000 . log2(1 + t), onde t é o número de anos e S é o número de sapatos produzidos, contados a partir do início de atividade da indústria. Calcule: a) O número de sapatos produzidos no primeiro ano de atividade da indústria. b) O tempo necessário, e suficiente, para que a produção total seja o triplo da produção do primeiro ano. (PUC-SP) – Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o número real que satisfaz a equação 32x = 23x + 1 está compreendido entre a) – 5 e 0 b) 0 e 8 c) 8 e 15 d) 15 e 20 e) 20 e 25 RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: a) O número de sapatos S produzidos no primeiro ano corresponde a t = 1. Assim: S(t) = 1000 . log2(1 + t) S(1) = 1000 . log2(1 + 1) = 1000 . log22 = 1000 b) A produção do primeiro ano é de 1000 sapatos. Daqui a t anosa produção total deverá ser 3000. Assim: S(t) = 3000 ⇔ 1000 . log2(1 + t) = 3000 ⇔ ⇔ log2(1 + t) = 3 ⇔ 1 + t = 8 ⇔ t = 7 Respostas: a) 1000 sapatos b) 7 anos 32x = 23x + 1 log32x = log23x + 1 2x . log 3 = (3x + 1) . log 2 2x . 0,48 = (3x + 1) . 0,30 0,96x = 0,90x + 0,30 0,06x = 0,30 0,30 x = –––––– 0,06 x=5 Resposta: B 66 MATEMÁTICA C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 67 Exercícios Propostos – Módulo 44 (FGV) – A raiz da equação (5x – 5 3 )(5x + 5 3 ) = 50 é: 2 a) – ––– 3 3 b) – ––– 2 2 d) –– 3 1 e) –– 2 3 c) –– 2 (MACKENZIE) – A soma das raízes da equação 22x + 1 a) 2 d) 6 – 2x + 4 = 2x + 2 – 32 é b) 3 e) 7 c) 4 RESOLUÇÃO: 22x + 1 – 2x + 4 = 2x + 2 – 32 ⇔ RESOLUÇÃO: (5x – 5 3 )(5x + 5 3 ) = 50 ⇔ ⇔ 22x . 21 – 2x . 24 = 2x . 22 – 32 ⇔ (5x)2 – (5 3)2 = 50 ⇔ ⇔ 2 . (2x)2 – 16 . 2x = 4 . 2x – 32 ⇔ 52x – 25 . 3 = 50 ⇔ 52x – 75 = 50 ⇔ 52x = 125 ⇔ Fazendo 2x = y, temos: 3 ⇔ 52x = 53 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = ––– 2 2y2 – 16y = 4y – 32 ⇔ 2y2 – 20y + 32 = 0 ⇔ Resposta: C Para y = 2 ⇒ 2x = 2 ⇔ x = 1 ⇔ y2 – 10y + 16 = 0 ⇔ y = 2 ou y = 8 Para y = 8 ⇒ 2x = 8 ⇔ x = 3 Assim, a soma das raízes da equação é 1 + 3 = 4 Resposta: C MATEMÁTICA 67 C3_1o_Ano_MAT_ROSE_2020 12/05/2020 14:01 Página 68 Se 63y = (2x)y e x > 0, qual é o valor de log x? (Use: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48) a) 2,04 b) 2,08 c) 2,12 (UNICAMP) – Para certo modelo de computadores produzidos por uma empresa, o percentual dos processadores que apresentam falhas após T anos de uso é dado pela seguinte função: P(T) = 100(1− 2−0,1T) d) 2,26 e) 2,28 a) Em quanto tempo 75% dos processadores de um lote desse modelo de computadores terão apresentado falhas? RESOLUÇÃO: b) Os novos computadores dessa empresa vêm com um Para x > 0, tem-se: processador menos suscetível a falhas. Para o modelo mais I) 63y = (2x)y ⇔ (63)y = (2x)y ⇔ 63 = 2x ⇔ x = 108 recente, embora o percentual de processadores que II) log x = log 108 = log (22 . 33) = = log 22 + log 33 = 2 . log 2 + 3 . log 3 = = 2 . 0,30 + 3 . 0,48 = 0,60 + 1,44 = 2,04 Resposta: A apresentam falhas também seja dado por uma função na forma Q(T) = 100(1− 2cT) , o percentual de processadores defeituosos após 10 anos de uso equivale a 1/4 do valor observado, nesse mesmo período, para o modelo antigo (ou seja, o valor obtido empregando-se a função P(T) acima). Determine, nesse caso, o valor da constante c. Se necessário, utilize log2(7) 2,81. RESOLUÇÃO: a) Como após T anos a porcentagem de processadores com defeito é 75, temos: P(T) = 100(1 – 2– 0,1T) = 75 ⇔ T – ––– 10 ⇔ – 100 . 2 T – ––– 10 ⇔2 T – ––– 10 = – 25 ⇔ 2 1 = ––– ⇔ 4 T = 2 – 2 ⇔ ––– = 2 ⇔ T = 20 10 b) Após 10 anos, a porcentagem de processadores do modelo antigo com defeito é P(10) = 100 . (1 – 2 – 0,1 . 10) = 100(1 – 2 – 1) = 50 Nesse período, a porcentagem de processadores do modelo 1 novo com defeito é ––– . 50 = 12,5 . 4 Assim, Q(10) = 100(1 – 2c . 10) = 12,5 ⇔ 1 7 ⇔ 1 – 210c = –– ⇔ 210c = –– ⇔ 8 8 ⇔ 10c = log2 7 –– 8 ⇔ 10c = log27 – log28 ⇔ – 0,19 ⇔ 10c = 2,81 – 3 ⇔ c = ––––––– = – 0,019 10 68 MATEMÁTICA |
A soma dos 30 primeiros termos de uma pa é 1430 sabendo que a razão é 6 determine seu oitavo termo
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