Z = {... , – 4, – 3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... } Show
O conjunto dos números inteiros é infinito. A escolha da letra Z para representar o conjunto dos números inteiros, deve-se ao fato da palavra Zahl em alemão, significar número. É trivial entender que o conjunto dos números naturais N é um subconjunto do conjunto dos números inteiros Z, ou seja: N Ì Z.
| –7 | = 7; | – 32 | = 32; | 0 | = 0; etc O módulo de um número inteiro é, então, sempre positivo ou nulo. Chama-se oposto (ou simétrico aditivo) de um número inteiro a ao número – a. Propriedades dos números inteiros:1 – Todo número inteiro n, possui um sucessor indicado por suc(n), dado por suc(n) = n + 1. 2 – Dados dois números inteiros m e n, ocorrerá uma e somente uma das condições : Nota: Às vezes teremos que recorrer aos símbolos ³ ou £ os quais possuem a seguinte leitura: Assim por exemplo, x £ 3, significa que x poderá assumir em Z os valores Já x < 3, teríamos que x seria 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, ... É óbvio que o zero é maior do que qualquer número negativo ou na sua forma equivalente, qualquer número negativo é menor do que zero. ... –10, – 9, – 8, – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... A qualidade dos números negativosTodo número natural tem um aspecto quantitativo, pois mede a quantidade de elementos de um conjunto. Mas esse número também traz uma ideia qualitativa, que é a positividade. Assim, ao dizer “5 livros”, traduzimos uma afirmação positiva sobre essa especifica quantidade de livros. Mas a experiência nos leva à necessidade de considerar números naturais com a qualidade de negativo. Podemos fazer isso com uma construção do tipo “faltam-me 5 livros”, ou então “a temperatura está 8 graus abaixo de zero”. A Álgebra também apresenta situações em que se faz necessário considerar os números naturais com a qualidade de negatividade. Por exemplo, ao procurar uma possível solução x da equação 7 + x = 3, vemos que nenhum número natural pode exercer esse papel. Percebemos que o valor quantitativo de x deve ser 4, mas x deve agir na operação 7+x de forma oposta à adição usual. É necessário que +x opere retirando quatro unidades de 7, para resultar 3. Essas observações nos trazem a ideia de considerar, para cada número natural n 6= 0, um outro número, quantitativamente igual a n mas de qualidade oposta. Chamaremos de negativos a esses números. Convém criar uma notação para esse novo número, por exemplo, ñ. Vemos que ñ deve ser caracterizado pelas relações n + ñ = 0 = ñ + n para todo número natural Em particular, com a construção desses números, poderemos dizer que a solução da equação 7 + x = 3 dada acima passaria a ser x = ~4, pois 7 + ˜4 = 3 + 4 + ˜4 = 3 + 0 = 3. O estudante bem sabe que a Matemática consagrou a notação −n para o número negativo correspondente a n. Diremos que −n é o oposto de n. Existem razões práticas para a escolha da notação −n para o oposto de n. Ela simplifica a manipulação de expressões algébricas, combinando a notação de subtração com a de oposto. Por exemplo, a adição de 8 com −5, a ser representada por 8 + (−5), poderá ser simplificada para 8−5, pois ambas as expressões tem o mesmo significado: estão sendo retiradas 5 unidades de 8. Observamos que a consideração dos números negativos não constituem uma mera substituição da subtração. No contexto dos números naturais a subtração a−b só tem sentido quando a ≥ b. No novo contexto, com o acréscimo dos números negativos, poderemos processar a subtração a − b quaisquer que sejam o números naturais a e b. Se b > a o valor de a − b será um desses números negativos, mais exatamente, o oposto de b − a. Operações em Z1 – Adição:a + b = a mais b.A adição é a primeira operaçãoo fundamental da Aritmética, e dela derivam todas as outras. A adição de dois números inteiros obedece às seguintes regras: a ) números de mesmo sinal : somam-se os módulos e conserva-se o sinal comum. Exemplos: (-3) + (-5) + (-2) = - 10 b) números de sinais opostos: subtraem-se os módulos e conserva-se o sinal do maior em módulo. Exemplos: (-3) + (+7) = + 4 Propriedades: Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:
2 – Subtração:A subtração é inversa da adição. Enquanto a adição está relacionada com os conceitos de acrescentar e juntar, a subtração corresponde a retirar e completar. Se a + b = c então dizemos que a = c – b ( c menos b). É óbvio que o conjunto Z é fechado em relação à subtração, pois a subtração (diferença) entre dois números inteiros, sempre será um outro número inteiro. Por exemplo, a operação 3 – 10 não teria resultado no conjunto N dos números naturais, mas possui resultado no conjunto Z dos números inteiros, ou seja -7. A subtração de dois números inteiros será feita de acordo com a seguinte regra: a – b = a + (-b) Exemplos: 10 – (-3) = 10 + (+3) = 13 3 – MultiplicaçãoÉ um caso particular da adição (soma), pois somando-se um número inteiro a si próprio n vezes, obteremos a + a + a + ... + a = a . n = a x n A multiplicação de números inteiros, dar-se-á segundo a seguinte regra de sinais: (+) x (+) = + (-3) x (-4) = +12 = 12 Propriedades:Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:
A propriedade distributiva acima, nos permite apresentar uma justificativa simples, através de um exemplo, para o fato do produto de dois números negativos resultar positivo, conforme mostraremos a seguir: Considere o seguinte produto: Observa-se então que realmente: [(- 5)x(- 6)] = 30 = + 30. 4 – Potenciação:É um caso particular da multiplicação, onde os fatores são iguais. Assim é que multiplicando-se um número inteiro a por ele mesmo n vezes, obteremos a x a x a x a x ... x a que será indicado pelo símbolo a n , onde a será denominado base e n expoente. Assim é que, por exemplo, 53 = 5.5.5 = 125, 71 = 7, 43 = 4.4.4 = 64, etc. Com base nas regras de multiplicação de números inteiros, é fácil concluir que: a) Toda potencia de base negativa e expoente par não nulo, tem como resultado um número positivo. Exemplos: (-2)4 = +16 = 16 b) Toda potencia de base negativa e expoente ímpar, tem como resultado um número negativo. Exemplos: (-2)3 = - 8 5 – DivisãoO conjunto Z dos números inteiros não é fechado em relação à divisão, pois o quociente de dois números inteiros nem sempre é um inteiro. A divisão de números inteiros, no que concerne à regra de sinais, obedece às mesmas regras vistas para a multiplicação, ou seja:
(+) : (+) = + Exemplos: (–10) : (– 2) = + 5 = 5 Para finalizar, vamos mostrar duas regras de eliminação de parêntesis ( ), que poderão ser bastante úteis: R1) Todo parêntese precedido do sinal + pode ser eliminado, mantendo-se os sinais das parcelas interiores. Exemplo: + (3 + 5 – 7) = 3 + 5 – 7 = 1 R2) Todo parêntese precedido do sinal – pode ser eliminado, desde que sejam trocados os sinais das parcelas interiores. Exemplos: – (3 + 4 – 7) = – 3 – 4 + 7 = 0 Originalmente publicado em: http://www.paulomarques.com.br/arq11-10.htm (com adptações)Qual o resultado da multiplicação entre dois números negativos?1 – Se os sinais forem IGUAIS, o resultado será POSITIVO. 2 – Se os sinais forem DIFERENTES, o resultado será NEGATIVO.
Quando você multiplica um número negativo por um número positivo o produto será sempre um número?A multiplicação de dois números negativos sempre resulta em um número positivo e o módulo do resultado é a multiplicação dos módulos, por exemplo: (−4)⋅(−3)=+(4⋅3)=12.
Qual é o resultado da multiplicação de um número inteiro positivo ou negativo por um?Portanto, seja qualquer numero positivo y multiplicado por +1 sempre dará como resultado o número y positivo. E, sendo y o número negativo multiplicado por +1, teremos sempre um numero negativo.
Como fazer conta de multiplicação com números negativos?Quando estiver fazendo uma multiplicação onde os números possuem sinais, é necessário usar primeiro a regra dos sinais para saber qual é o sinal do resultado, e só em seguida, resolver o produto dos números como se os sinais não existissem.
|