Na figura temos de bc

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from any 
point on a side of a rectangle to the diagonals is constant. 
 
45. O triangulo ABC é isósceles AB = AC. Seja P um ponto qualquer da 
base BC. Demonstre que 𝑥 + 𝑦 é constante. Considere agora Q externo 
de BC mas contido na reta BC. Demonstre que |𝑥 − 𝑦| é constante. 
 
A 
B C 
D 
 
 4 
46. Na figura a seguir temos que BAC é um retângulo em A. ADEC e 
ABGF são quadrados. Demonstre que 𝑥 + 𝑦 = 𝐵𝐶 . 
 
 47. Na figura a seguir ABCD é um quadrado e 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ é perpendicular a 
𝐵𝐸̅̅ ̅̅ . Determine a medida do ângulo 𝐶�̂�𝐺. 
 
48. Na figura temos AE=AB=BC e AC=BD. Calcule α. 
 
RESPOSTA 
 
NIVEL AVANÇADO 
 
49. Resolva as seguintes questões relativas aos triângulos. 
a) Dados os pontos A e B distintos e fora da reta r. Determine na reta r os 
pontos P e P’ tais que: 
 
𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 é a menor possível 
|𝑃′𝐴 − 𝑃′𝐵| é o maior possivel 
b) Dentre todos os triângulos ABC que possuem o mesmo vértice A e 
outros vértices B e C sobre os lados de um ângulo agudo rôs, qual é 
aquele de perímetro mínimo? 
 
 
 
c) Duas cidades A e B estão separadas por um rio com margens retas 
paralelas, sobre o qual se quer construir uma ponte perpendicular às 
margens e uma estrada formada por trechos retos ligando essas cidades 
e a ponte. Construa esse percurso de forma que seja o mais curto. 
 
d) Num ABC dado, pede-se inscrever o DEF de perímetro mínimo. 
 
50. Um triângulo tem lados inteiros distintos, o maior deles medindo 
2015. Quais são as medidas dos dois outros lados se a área do triângulo 
é a menor possível? 
a) 2 e 2014 b) 3 e 2013 c) 1006 e 1010 
d) 1007 e 1009 e) 1008 e 1009 
 
51. Com os lados de um paralelogramo constroem-se quadrados 
exteriores ao mesmo. Prove que o centro desses quadrados formam um 
outro quadrado. 
 
52. No gráfico abaixo, AB=CS e AC=CR. Calcule x em função de 𝛼. 
 
 
53. Na figura, o triangulo ABC é isósceles de base AC e AE=CD. Ache 
x em função de α e θ. 
 
 
54. Na figura, AB=BC, AM=3 e CN=4. Calcule MN. 
 
 
 
 
 5 
55. Na figura. CD=AB+AC. Calcule x em função de θ. 
 
 
56. Da figura, sabemos que AB RC , ABR 6x , RBC 7x e 
ACB x . Determine, x . 
 
 
57. Em um triângulo ABC, traça-se a ceviana interna 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ tal que 𝐴𝐵 =
𝐷𝐶 . Se 𝐵�̂�𝐷 = 400 e 𝐷�̂�𝐶 = 𝐴�̂�𝐷 + 𝐵�̂�𝐴 , calcule 𝐷�̂�𝐵. 
 
58. No triângulo abaixo, sabemos que AB = AC, Â =100° e AD = BC. 
Determine a medida do ângulo CBD. 
 
 
 
 
 
 
59. No interior do triangulo ABC, com AB=AC, toma-se o ponto P tal que 
PB=AC, 𝑃�̂�𝐴 = 10𝑂 𝑒 𝑃�̂�𝐶 = 30𝑂. Calcule a medida do ângulo 
𝑃�̂�𝐵. 
60. O ΔABC é isósceles AB = AC e B�̂�C =20º. Se AD= BC, determine a 
medida do ângulo B�̂�C. 
 
 
GABARITO 
 
1. 7 
2. 3 
3. (6,6,2),(6,5,3),(6,4,4),(5,5,4) 
4. 15 
5. C 
6. 58O 
7 a 11: demonstrações 
12. D 
13. C 
14. 630 
15. 200 
16. X=450 
17. AP=6 
18. 600 
19.1200 
20 a 29: demonstrações 
30. DE=10 
31.E 
32.D 
33.D 
34. 
35D 
36.C 
37.C 
38 a 40: demonstração 
41. 1800 
42.AD=7 
43. 300 
44 a 46-demosntrações 
47. 450 
48. 150 
49. 
50. A 
51. 
52.1800 − 𝛼 
53. 
54. 5 
55. 4θ 
56.120 
57. 400 
58.100 
59. 200 
60. 300 
 
 
A
B
CR
A 
B 
C 
D

Página12

1) Temos que BC= 15 cm, AH=10 cm e PQRS é um quadrado cujos lados medem x. Assim, determine o perímetro desse quadrado.

Observe que PQ é paralelo à CB, sendo assim utilizamos a propriedade fundamental da semelhança de triângulos.

2) A porta de entrada e a fachada de uma casa são figuras retangulares semelhantes e a razão de semelhança da altura da casa para a altura da porta é 5/2. Se a altura da casa é 6 m, qual é a altura da porta?

5/2 = 6/x -> x=2,4 m

3) A figura representa a cúpula de um abajur. Qual é o valor de r?

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