Como identificamos se uma figura se uma figura geométrica e semelhante a outra?

Para que dois polígonos sejam semelhantes, é necessário que eles se encaixem nas seguintes condições:

• Possuem o mesmo número de lados;
• Os seus ângulos correspondentes são iguais;
• Os seus lados correspondentes possuem uma razão de proporção;
• Essa razão de proporção deve ser a mesma para todos os lados do polígono.

Vamos ver alguns exemplos para clarear a ideia, ok?

Exemplo 1) Observe os quadrados abaixo:

Vemos que estes quadrados seguem os critérios para a semelhança, pois possuem o mesmo número de lados, seus ângulos correspondentes são iguais (todos são ângulos retos pois trata-se de quadrados), os seus lados correspondentes tem razão de proporção \(\frac{3}{2}\) e como todos os lados são iguais (pois trata-se de quadrados), essa razão é a mesma para todos estes lados.

Exemplo 2) Observe os trapézios a seguir e determine o valor de x.

Solução: vamos verificar se os polígonos são semelhantes.

• As figuras possuem o mesmo número de lados;
• Os seus ângulos correspondentes são iguais (veja que o segundo trapézio está invertido, mas mesmo assim seus ângulos continuam sendo iguais aos do primeiro trapézio);
• Vamos calcular a razão de proporção entre os lados a partir dos lados AB e HG e, então, verificar se essa razão é a mesma para os lados AD/HE e BC/GF:

\(\frac{15,75}{4,5}=3,5=k\)

A nossa razão de proporção é k=3,5. Assim:

\(2,5\cdot 3,5=8,75\) (lados AD/HE e BC/GF verificados)

Portanto, para determinar x, como os polígonos são semelhantes, basta fazer:

\(x=2\cdot 3,5\Rightarrow x=7\)

Veja alguns casos de congruência de figuras geométricas em posições diversas e como decidir quando duas figuras são congruentes ou não.

Para que duas figuras geométricas sejam consideradas congruentes é necessário que os lados correspondentes dessas figuras tenham medidas iguais e que o mesmo aconteça com seus ângulos correspondentes. Por esse motivo, é preciso medir todos os lados e todos os ângulos de ambas as figuras para compará-los e decidir se elas são congruentes.

Dizer que duas figuras são congruentes é algo parecido com dizer que elas são iguais. Só não se pode fazer essa afirmação por falarmos de duas figuras diferentes que possuem as mesmas medidas. Para entender isso, imagine dois retângulos, um verde e um azul, com as seguintes medidas:

Esses retângulos não são iguais, mas as medidas de seus lados são correspondentes. Para que sejam congruentes, basta que ângulos correspondentes sejam iguais. E são! É uma propriedade dos retângulos que todos os seus ângulos meçam 90 graus. Logo, esses dois retângulos diferentes são congruentes, pois possuem medidas de ângulos e lados correspondentes iguais.

Para facilitar a compreensão de lados e ângulos correspondentes, observe os dois quadriláteros (figura com quatro lados) a seguir:

Esses dois Quadriláteros são congruentes, contudo, observe que lados e ângulos correspondentes não ocupam a mesma posição. Eis um esquema de lados correspondentes:

HE = DA = 4

EF = AB = 2

GF = BC = 2,24

GH = CD = 3,61

O mesmo raciocínio vale para qualquer par de figuras geométricas que possui o mesmo número de lados.

Exemplo

Quais dos pares de figuras a seguir podem ser congruentes?

O primeiro par de figuras possui pentágonos que podem ser congruentes. Nesse caso, esses pentágonos são regulares, por isso possuem todos os ângulos iguais e, assim, são congruentes.

Já o segundo par de figuras refere-se a figuras não congruentes. Elas têm quatro lados, mas as medidas de alguns lados correspondentes são diferentes e, por isso, não são congruentes.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

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Como identificar os lados correspondentes entre duas figuras Geometricas semelhantes?