22/10/2015 Show Veja se acertou a tarefa da aula 16 e fique por dentro dos termos da radiciação: índice, radical, radicando e raiz. Entenda, também, qual é a relação entre índice e expoente e aprenda a calcular as raízes de números inteiros e fracionários, positivos e negativos. Depois, faça as tarefas para fixar o assunto. Tempo de Estudar – Matemática – 9º ano
RADICAIS SEMELHANTES Radicais semelhantes são os que têm o mesmo índice e o mesmo radicando Exemplos de radicais semelhantes a) 7√5 e -2√5 b) 5³√2 e 4³√2 Exemplos de radicais não semelhantes a) 5√6 e 2√3 b) 4³√7 e 5√7 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 1º CASO : Os radicais não são semelhantes Devemos proceder do seguinte modo: a) Extrair as raízes (exatas ou aproximadas) b) Somar ou subtrair os resultados Exemplos 1) √16 + √9 = 4 + 3 = 7 2) √49 - √25 = 7 – 5 = 2 3) √2 + √3 = 1,41 + 1,73 = 3,14 Neste último exemplo, o resultado obtido é aproximado, pois √2 e √3 são números irracionais (representação decimal infinita e não periódica) EXERCÍCIOS 1) Calcule a) √9 + √4 = 5 b) √25 - √16 = 1 c) √49 + √16 = 11 d) √100 - √36 = 4 e) √4 - √1 = 1 f) √25 - ³√8 = 3 g) ³√27 + ⁴√16 = 5 h) ³√125 - ³√8 = 3 i) √25 - √4 + √16 = 7 j) √49 + √25 - ³√64 = 82º CASO: Os radicais são semelhantes. Para adicionar ou subtrair radicais semelhantes, procedemos como na redução de termos semelhantes de uma soma algébrica. Exemplos: a) 5√2 + 3√2 = (5+3)√2 = 8√2 b) 6³√5 - 2³√5 = (6 – 2) ³√5 = 4³√5 c) 2√7 - 6√7 + √7 = (2 – 6 +1) √7 = -3√7 EXERCÍCIOS 1) Efetue as adições e subtrações: a) 2√7 + 3√7 = 5√7 b) 5√11 - 2√11 = 3√11 c) 8√3 - 10√3 = -2√3 d) ⁴√5 + 2⁴√5 = 3⁴√5 e) 4³√5 - 6³√5 = -2³√5 f) √7 + √7 = 2√7 g) √10 + √10 = 2√10 h) 9√5 + √5 = 10√5 i) 3.⁵√2 – 8.³√2 = -5.³√2 j) 8.³√7 – 13.³√7 = -5.³√7 k) 7√2 - 3√2 +2√2 = 6√2 l) 5√3 - 2√3 - 6√3 = -3√3 m) 9√5 - √5 + 2√5 = 10√5 n) 7√7 - 2√7 - 3√7 = 2√7 o) 8. ³√6 - ³√6 – 9. ³√6 = -2. ³√6 p) ⁴√8 + ⁴√8 – 4. ⁴√8 = -2. ⁴√83º CASO: Os radicais tornam-se semelhantes depois de simplificados. Exemplos a)5√3 + √12 ..5√3 + √2².3 ..5√3 + 2√3 ..7√3 b)√8 + 10√2 - √50 ..√2².√2 +10√2 - √5². √2 ..2√2 + 10√2 - 5√2 ..7√2 EXERCÍCIOS 1) Simplifique os radicais e efetue as operações: a) √2 + √32= 5√2 b) √27 + √3 = 4√3 c) 3√5 + √20 = 5√5 d) 2√2 + √8 = 4√2 e) √27 + 5√3 f) 2√7 + √28 = 4√7 g) √50 - √98 = -2√2 h) √12 - 6√3 = -4√3 i) √20 - √45 = -√5 2) Simplifique os radicais e efetue as operações: a) √28 - 10√7 = -8√7 b) 9√2 + 3√50 = 24√2 c) 6√3 + √75 = 11√3 d) 2√50 + 6√2 = 16√2 e) √98 + 5√18 = 22√2 f) 3√98 - 2√50 = 11√2 g) 3√8 - 7√50 = -29√2 h) 2√32 - 5√18 = -7√2 3) Simplifique os radicais e efetue as operações: a) √75 - 2√12 + √27 = 4√3 b) √12 - 9√3 + √75 = -2√3 c) √98 - √18 - 5√32 = -16√2 d) 5√180 + √245 - 17√5 = 20√5MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 1º Caso: Os radicais têm o mesmo índice Efetuamos a operação entre os radicandos Exemplos: a) √5 . √7 = √35 b) 4√2 . 5√3 = 20√6 c) ⁴√10 : ⁴√2 = ⁴√5 d) 15√6 : 3√2 = 5√32º Caso: Os radicais não têm o mesmo índice Inicialmente devemos reduzi-los ao mesmo índice Exemplos a) ³√2 . √5 = ⁶√2² . ⁶√5³ = ⁶√4 . ⁶√125 = ⁶√500 b)⁵√7 : √3 = ¹⁰√7² : ¹⁰√3⁵ = ¹⁰√49/243 EXERCÍCIOS 1) Efetue as multiplicações e divisões: a) √2 . √7 = √14 b) ³√5 . ³√10 = ³√50 c) ⁴√6 . ⁴√2 = ⁴√12 d) √15 . √2 = √30 e) ³√7 . ³√4 = ³√28 f) √15 : √3 = √5 g) ³√20 : ³√2 = ³√10 h) ⁴√15 : ⁴√5 = ⁴√3 i) √40 : √8 = √5 j) ³√30 : ³√10 = ³√3 2) Multiplique os radicais e simplifique o produto obtido: a) √2 . √18 = 6 b) √32 . √2 = 8 c) ⁵√8 . ⁵√4 = 2 d) ³√49 . ³√7 = 7 e) ³√4 . ³√2 = 2 f) √3 . √12 = 6 g) √3 . √75 = 15 h) √2 . √3 . √6 = 6 3) Efetue as multiplicações e divisões: a) 2√3 . 5√7 = 10√21 b) 3√7 . 2√5 = 6√35 c) 2. ³√3 . 3. ³√3 = 6. ³√15 d) 5.√3 . √7 = 5√21 e) 12. ⁴√25 : 2. ⁴√5 = 6. ⁴√5 f) 18. ³√14 : 6. ³√7 = 3. ³√2g) 10.√8 : 2√2 = 5√4 Page 2
Você está em Ensino fundamental > Radiciação ▼ Efetuamos a operaçao entre os radicandos. 2º caso: Os radicais nao têm o mesmo índicePrimeiramente os reduzimos ao mesmo índice e depois efetuamos as operações. Como referenciar: "Radiciação" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2022. Consultado em 24/07/2022 às 01:09. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/fundam/radiciacao9.php
A radiciação é a operação que usamos para encontrar um número que multiplicado por ele mesmo um determinado número de vezes, é igual a um valor conhecido. Aproveite os exercícios resolvidos e comentados para tirar suas dúvidas sobre essa operação matemática. Questão 1Fatore o radicando de
Resposta correta: 12. 1º passo: fatorar o número 144
2º passo: escrever 144 na forma de potência
Observe que 24 pode ser escrito como 22.22, pois 22+2= 24 Portanto, 3º passo: substituir o radicando 144 pela potência encontrada Neste caso temos uma raiz quadrada, ou seja, raiz de índice 2. Logo, como uma das propriedades da radiciação é podemos eliminar a raiz e resolver a operação.
Qual o valor de x na igualdade ? a) 4 b) 6 c) 8 d) 12
Resposta correta: c) 8. Observando o expoente dos radicandos, 8 e 4, podemos perceber que 4 é a metade de 8. Portanto, o número 2 é o divisor comum entre eles e isso é útil para descobrir o valor de x, pois segundo uma das propriedades da radiciação . Dividindo o índice do radical (16) e o expoente do radicando (8), descobrimos o valor de x da seguinte forma:
Logo, x = 16 : 2 = 8. Questão 3Simplifique o radical .
Resposta correta: . Para simplificar a expressão, podemos retirar da raiz os fatores que possuem expoente igual ao índice do radical. Para isso, devemos reescrever o radicando de maneira que o número 2 apareça na expressão, já que temos uma raiz quadrada.
Substituindo os valores anteriores no radicando, temos:
Como , simplificamos a expressão. Questão 4Sabendo que todas as expressões são definidas no conjunto dos números reais, determine o resultado para: a) b) c) d)
Resposta correta: a) pode ser escrito como Sabendo que 8 = 2.2.2 = 23 substituímos o valor de 8 no radicando pela potência 23.
b)
c)
d)
Questão 5Reescreva os radicais ; e de forma que os três apresentem o mesmo índice.
Resposta correta: . Para reescrever os radicais com o mesmo índice, precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum entre eles.
MMC = 2.2.3 = 12 Portanto, o índice dos radicais deve ser 12. Entretanto, para modificar os radicais precisamos seguir a propriedade . Para mudar o índice do radical devemos utilizar p = 6, pois 6 . 2 = 12
Para mudar o índice do radical devemos utilizar p = 4, pois 4 . 3 = 12
Para mudar o índice do radical devemos utilizar p = 3, pois 3 . 4 = 12
Questão 6Qual o resultado da expressão ? a) b) c) d)
Resposta correta: d) . Pela propriedade dos radicais , podemos resolver a expressão da seguinte forma:
Racionalize o denominador da expressão .
Resposta correta: . Para retirar o radical do denominador do quociente devemos multiplicar os dois termos da fração por um fator racionalizante, que é calculado subtraindo o índice do radical pelo expoente do radicando: Sendo assim, para racionalizar o denominador o primeiro passo é calcular o fator.
Agora, multiplicamos os termos do quociente pelo fator e resolvemos a expressão. Portanto, racionalizando a expressão temos como resultado . Questão 8Determine o diâmetro de uma esfera com volume igual a cm³.
Resposta: o diâmetro será de 6 cm. O volume de uma esfera é calculado segundo a seguinte equação:
Em que R é o raio da esfera e, portanto, o diâmetro é igual a 2R. R deve estar isolado em um membro da equação, de forma que:
Substituindo o valor de V, temos:
Para determinar o valor de R, aplicamos uma raiz cúbica nos dois membros da equação.
Portanto, o diâmetro da esfera será de 2R = 2.3 = 6 cm. Questão 9Sendo e determine o valor de .
Resposta: Substituindo os valores de a e b na equação, temos: Embora os índices das raízes sejam iguais, os radicando são diferentes. Devemos fatorar o 3 125. Como o índice da raiz é 4, é conveniente escrever 3 125 na forma fatorada como ao invés de . Isto irá ajudar a simplificação. Substituindo o 3 125 por sua forma fatorada no radicando, a expressão ficará: Como dentro da raiz há um produto, podemos desmembrá-lo,
Cancelando o índice e o expoente igual e multiplicando 2 por 5,
Questão 10Simplifique a expressão utilizando propriedades das raízes.
Resposta: No numerador, as raízes possuem índices diferentes. Podemos multiplicar pelo mesmo fator tanto o índice quanto o expoente do radicando, afim de igualar os índices.
Ao multiplicar índice e expoente do radicando pelo mesmo fator, não alteramos a raiz. Aplicando na expressão da questão:
Agora os índices são iguais e podemos multiplicar as raízes,
Devemos racionalizar a fração para não deixar um número irracional no denominador. Para isto, basta multiplicar tanto o denominador quanto o numerador pela raiz quadrada de três.
Repetindo o processo, podemos utilizar a mesma propriedade na raiz de três para igualar os índices das raízes.
Com os índices iguais, é possível multiplicar as raízes no numerador,
(IFSC - 2018) Analise as afirmações seguintes: I. II. III. Efetuando-se , obtém-se um número múltiplo de 2. Assinale a alternativa CORRETA. a) Todas são verdadeiras. b) Apenas I e III são verdadeiras. c) Todas são falsas. d) Apenas uma das afirmações é verdadeira. e) Apenas II e III são verdadeiras.
Alternativa correta: b) Apenas I e III são verdadeiras. Vamos resolver cada uma das expressões para verificar quais são verdadeiras. I. Temos uma expressão numérica envolvendo várias operações. Neste tipo de expressão, é importante lembrar que existe uma prioridade para efetuar os cálculos. Assim, devemos começar com a radiciação e potenciação, depois a multiplicação e divisão e, por último, a soma e subtração. Outra observação importante é com relação ao - 52. Se houvesse parênteses, o resultado seria +25, mas sem os parênteses o sinal de menos é da expressão e não do número. Portanto, a afirmação é verdadeira. II. Para resolver essa expressão, iremos considerar as mesmas observações feitas no item anterior, adicionando que resolvemos primeiro as operações dentro dos parênteses. Neste caso, a afirmação é falsa. III. Podemos resolver a expressão utilizando a propriedade distributiva da multiplicação ou o produto notável da soma pela diferença de dois termos. Assim, temos:
Como o número 4 é um múltiplo de 2, essa afirmação também é verdadeira. Questão 12(CEFET/MG - 2018) Se , então o valor da expressão x2 + 2xy +y2 – z2 é a) d) 0
Alternativa correta: c) 3. Vamos começar a questão simplificando a raiz da primeira equação. Para isso, passaremos o 9 para a forma de potência e dividiremos o índice e o radicando da raiz por 2:
Considerando as equações, temos:
Como as duas expressões, antes do sinal de igual, são iguais, concluímos que:
Resolvendo essa equação, encontraremos o valor do z:
Substituindo esse valor na primeira equação:
Antes de substituir esses valores na expressão proposta, vamos simplificá-la. Note que: x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 Assim, temos:
Questão 13(Aprendiz de Marinheiro - 2018) Se , então o valor de A2 é: a) 1 b) 2 c) 6 d) 36
Alternativa correta: b) 2 Como a operação entre as duas raízes é a multiplicação, podemos escrever a expressão em um único radical, ou seja:
Agora, vamos elevar o A ao quadrado:
Como o índice da raiz é 2 (raiz quadrada) e está elevado ao quadrado, podemos retirar a raiz. Assim:
Para multiplicar, usaremos a propriedade distributiva da multiplicação: Questão 14(Aprendiz de Marinheiro - 2017) Sabendo que a fração é proporcional à fração , é correto afirmar que y é igual a: a) 1 - 2
Alternativa correta: e) Sendo as frações proporcionais, temos a seguinte igualdade:
Passando o 4 para o outro lado multiplicando, encontramos:
Simplificando todos os termos por 2, temos:
Agora, vamos racionalizar o denominador, multiplicando em cima e embaixo pelo conjugado de :
Questão 15(CEFET/RJ - 2015) Seja m a média aritmética dos números 1, 2, 3, 4 e 5. Qual é a opção que mais se aproxima do resultado da expressão abaixo?
a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3 d) 1,4
Alternativa correta: d) 1,4 Para começar, iremos calcular a média aritmética entre os números indicados:
Substituindo esse valor e resolvendo as operações, encontramos:
Questão 16(IFCE - 2017) Aproximando os valores de até a segunda casa decimal, obtemos 2,23 e 1,73, respectivamente. Aproximando o valor de até a segunda casa decimal, obtemos a) 1,98. b) 0,96. c) 3,96. d) 0,48. e) 0,25.
Alternativa correta: e) 0,25 Para encontrar o valor da expressão, iremos racionalizar o denominador, multiplicando pelo conjugado. Assim: Resolvendo a multiplicação:
Substituindo os valores da raízes pelos valores informados no enunciado do problema, temos:
Questão 17(CEFET/RJ - 2014) Por qual número devemos multiplicar o número 0,75 de modo que a raiz quadrada do produto obtido seja igual a 45? a) 2700 b) 2800 c) 2900 d) 3000
Alternativa correta: a) 2700 Primeiro, vamos escrever 0,75 na forma de fração irredutível:
Iremos chamar de x o número procurado e escrever a seguinte equação:
Elevando ao quadrado ambos os membros da equação, temos: Questão 18(EPCAR - 2015) O valor da soma é um número a) natural menor que 10 b) natural maior que 10 c) racional não inteiro d) irracional.
Alternativa correta: b) natural maior que 10. Vamos começar racionalizando cada parcela da soma. Para isso, iremos multiplicar o numerador e o denominador das frações pelo conjugado do denominador, conforme indicado abaixo: Para efetuar a multiplicação dos denominadores, podemos aplicar o produto notável da soma pela diferença de dois termos.
S = 2 - 1 + 14 = 15 Você também pode se interessar por: |