Como saber as raizes de uma equação quadradas

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Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação. Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte sequência:

Substituir a incógnita por esse número.
Determinar o valor de cada membro da equação.
Verificar a igualdade. Sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.

Exemplos:

Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.

Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.

Para x = 0, temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0. (F)

Para x = 1, temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. (F)

Para x = 2, temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. (V)

Para x = 3, temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. (F)

Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.

Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.

Para x = -1, temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (F)

Para x = 0, temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (F)

Para x = 1, temos: 2 . 1 - 5 = 1 => -3 = 1. (F)

Para x = 2, temos: 2 . 2 - 5 = 1 => -1 = 1. (F)

A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø.

Como referenciar: "Equações do 1º grau com uma variável" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2022. Consultado em 04/07/2022 às 17:24. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes3.php

Ao resolvermos uma equação do 2º grau temos as seguintes possibilidades para o resultado:

∆ > 0, duas raízes reais e distintas. ∆ = 0, uma única raiz real e distinta.

∆ < 0, nenhuma raiz real.

Nos casos em que equação possui raízes reais algumas relações são observadas. Veja:

Soma das raízes – (x1 + x2)
Produto das raízes – (x1 * x2)

As raízes de uma equação do 2º grau são determinadas a partir das seguintes expressões:

Com base nessas informações vamos determinar as expressões matemáticas responsáveis pela soma e produto das raízes.

Soma

Produto

Com a utilização dessas expressões podemos determinar as raízes de uma equação do 2º grau sem aplicar a resolução de Bháskara, respeitando a formação dessa equação com base na soma e no produto das raízes: x² – Sx + P = 0.

Observe: A equação x² + 9x + 14 = 0 possui as seguintes raízes de acordo com as expressões da soma e do produto:

Soma

Produto

Com base nesses valores, devemos determinar quais os dois números em que a soma seja -9 e o produto 14. Observe:

7 e 2
S = 7 + 2 = 9

P = 7 * 2 = 14

–7 e 2

S = –7 + 2 = – 5 P = –7 * 2 = – 14

7 e –2

S = 7 + (–2) = 5 P = 7 * (–2) = –14

–7 e –2

S = –7 + (–2) = –9 P = –7 * (–2) = 14 Veja que o par de números em que a soma resulta em –9 e o produto em 14 é (–2, –7). Portanto as raízes da equação x² + 9x + 14 = 0 possui como resultado o par ordenado, os números –2 e –7.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Publicado por Marcos Noé Pedro da Silva

As equações do tipo ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes numéricos pertencentes ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0, são denominadas equações do 2º grau. Como toda equação, elas possuem como resultado, um conjunto solução denominado raiz. O diferencial dessas equações em relação às do 1º grau, é que elas podem ter três soluções diferentes de acordo com o valor do discriminante, representado pela letra grega ∆ (delta). Observe:

∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas.

∆ = 0, a equação possui raízes reais iguais.

∆ < 0, a equação não possui raízes reais.

A resolução de uma equação do 2º grau depende do valor de delta e de uma expressão matemática associada ao indiano Bháskara. Essa expressão consiste num método eficiente de resolução desse modelo de equação, com base nos coeficientes numéricos.

Exemplo 1

S = (x Є R / x = –2 e x = 5}

Exemplo 2

S = (y Є R / y = 2/3}

Exemplo 3

5x² +3x +5 = 0

a = 5

b = 3

c = 5

Δ = b² - 4ac

Δ = 3² - 4 ∙ 5 ∙ 5

Δ = 9 – 100

Δ = - 91

S = { } (não existe solução real)

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Quando dizemos “raiz de uma equação”, nos referimos ao resultado final de uma equação qualquer. As equações de 1º grau (do tipo ax + b = 0, onde a e b são números reais e a≠0) possuem apenas uma raiz, um único valor para sua incógnita. As equações de 2º grau (do tipo ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e a≠0) podem ter até duas raízes reais. O número de raízes de uma equação do 2º grau irá depender do valor do discriminante ou delta: ∆. Equações completas do 2º grau são resolvidas aplicando a fórmula de Bháskara:

Condições de existência da raiz de uma equação do 2º grau:

Nenhuma raiz real: quando delta for menor que zero. (negativo)

∆ < 0 x² - 4x + 5 = 0 ∆ = b² - 4ac ∆ = (-4)² - 4*1*5 ∆ = 16 – 20 ∆ = - 4

Uma única raiz real: quando delta for igual a zero. (nulo)

∆ = 0 4x² - 4x + 1 = 0 ∆ = b² - 4ac ∆ = (-4)² - 4*4*1 ∆ = 16 – 16 ∆ = 0

Duas raízes reais: quando delta for maior que zero. (positivo)

∆ > 0 x² - 5x + 6 = 0 ∆ = b² - 4ac ∆ = (-5)² - 4*1*6 ∆ = 25 - 24 ∆ = 1

Por Marcos Noé Graduado em Matemática

Equipe Brasil Escola

Equação - Matemática - Brasil Escola

Bacharel em Matemática (FMU-SP, 2018)
Mestre em Física Teórica (UNICSUL, 2020)

O conceito de raízes de equações é bem simples. Basicamente, é chamado de raiz de uma equação o valor que suas variáveis assumem de modo que essa equação seja válida perante a igualdade. O número de raízes de uma equação é dado pelo grau que ela possui. Vejamos abaixo alguns casos:

1) As equações do primeiro grau possuem uma única raiz:

Existe um valor de 𝑥 que deve satisfazer esta igualdade, logo ele é a única raiz desta equação.

Exemplo 1:

Neste caso, a raiz que satisfaz esta equação é 𝑥 = 5.

2) As equações quadráticas possuem duas raízes:

Podemos encontrar essas raízes pela famosa fórmula de Bháskara:

Exemplo 2:

Resolvendo, temos:

Também, de uma forma menos comum, é possível encontrar as raízes de uma equação do segundo grau pelo método de Girard (ou relações de Girard). Sejam 𝑥1 e 𝑥2 raízes de uma equação quadrática, temos a relação:

Exemplo 3: Vamos calcular o exemplo 2 novamente, mas usando as relações de Girard:

Resolvendo o sistema, temos que 𝑥1 = 3 e 𝑥2 = 2.

3) Equações do terceiro grau possuem três raízes:

Estas são 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3. Podemos encontrar estas raízes pelo método de Girard, mas agora ele terá uma nova raiz e, portanto, uma nova forma:

Note que nos três exemplos acima, 𝑎 necessariamente precisa ser diferente de zero.

Não devemos nos ater apenas aos exemplos acima para determinarmos oque é uma raiz de uma equação. Se uma equação possui solução (ou soluções) então essa (ou essas) é (são) a sua raiz (ou raízes).

Referências Bibliográficas:

GONÇALVES, Adilson. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 1999.

MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M. Álgebra I. São Paulo: Livraria Francisco Alves Editora S.A., 1974.