Racionalização de denominadores é uma técnica para tornar frações com denominadores irracionais em racionais. As frações cujo denominador é uma raiz, podem ser transformadas em uma fração com denominador que não seja uma raiz, sem alterar o seu resultado.
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Como se racionaliza uma raiz?
Para racionalizar uma fração, devemos seguir os seguintes passos:
- Encontrar o conjugado do denominador. Como vimos, o conjugado deve ser tal que elimine a raiz do denominador.
- Multiplicar o conjugado em cima e embaixo da fração.
- Simplificar a fração equivalente encontrada.
Qual o conceito de racionalização?
Significado de Racionalização
[Psicanálise] Procedimento de teor defensivo através do qual uma pessoa demonstra uma explicação plausível, ou moralmente aprovável, para ações, comportamentos, sendo que os reais motivos não são percebidos. Ação ou efeito de racionalizar. Etimologia (origem da palavra racionalização).
Como racionalizar uma expressão? Para racionalizar o denominador de uma fração, devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.Como eliminar raiz?
Atenção: o importante é eliminar a raiz (que pode ser quadrada, cúbica, etc), mantendo uma fração "equivalente", ou seja, que representa o mesmo valor. Uma dica é multiplicar tanto o numerador (parte de cima), quanto o denominador pelo mesmo número, o que não interfere na igualdade. Como extrair a raiz de um número? Se trata da operação inversa da potenciação. Assim, calcular a raiz quadrada de um número n é descobrir qual número elevado ao quadrado resulta em n. Por exemplo, a raiz quadrada de 9 é igual a 3, pois, 3² é 9. Uma raiz quadrada pode ser exata, gerando um número chamado de quadrado perfeito, ou pode ser não exata.
é irracional, ou seja, não pode ser expressa como a divisão de dois números inteiros. 1,73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806... O que e racionalização na psicanálise? Na história da Psicanálise, Racionalização ganhou o significado de um processo mental no qual o indivíduo busca tornar aceitável e racional uma determinada ação, ideia, sentimentos, etc.
Não há problema em deixar a raiz no numerador, ela só não pode ficar no denominador porque impede a simplificação. Se não for possível simplificar tudo, podemos deixar na forma mais reduzida possível. Lembre-se: uma raiz quadrada costuma ser indicada como ²√x .
A racionalização de denominadores é um procedimento cujo objetivo é transformar uma fração com denominador irracional em uma fração equivalente com denominador racional.
Utilizamos essa técnica pois o resultado da divisão por um número irracional apresenta um valor com muito pouca precisão.
Quando multiplicamos o denominador e o numerador de uma fração por um mesmo número, obtemos uma fração equivalente, ou seja, frações que representam um mesmo valor.
Sendo assim, racionalizar consiste em multiplicar o denominador e o numerador por um mesmo número. O número escolhido para isso é chamado de conjugado.
Conjugado de um número
O conjugado do número irracional é aquele que ao ser multiplicado pelo irracional dará como resultado um número racional, ou seja, um número sem a raiz.
Quando for raiz quadrada, o conjugado será igual a própria raiz, pois a multiplicação do número por ele mesmo é igual ao número elevado ao quadrado. Desta forma, pode-se eliminar a raiz.
Exemplo 1
Encontre o conjugado da raiz quadrada de 2.
Solução
O conjugado da
Quando a raiz apresentar índice diferente de 2, o conjugado terá o mesmo índice da raiz, só que será necessário encontrar o expoente que, somado ao expoente do número inicial, dê como resultado um valor igual ao índice da raiz.
Exemplo 2
Qual o conjugado da raiz cúbica de 2?
Solução
Para encontrar o conjugado de , não é possível simplesmente multiplicarmos pela raiz cúbica de 2, pois o resultado será raiz cúbica de 4 e não dará para eliminar a raiz.
Note que o expoente do 2 é 1, assim, se somarmos o 2, teremos o novo expoente igual a 3, que é igual ao índice da raiz. Dessa forma, temos:
Portanto, o conjugado da raiz cúbica de 2 é a raiz cúbica de 4 (22 = 4).
Algumas vezes, pode aparecer no denominador uma soma ou subtração de raízes quadradas. Neste caso, o conjugado será igual às raízes com a operação inversa.
Exemplo 3
Qual o conjugado de ?
Solução
O conjugado será igual a , pois ao multiplicar esses números temos como resultado um número racional, ou seja:
Para saber mais, veja também:
- Radiciação
- Potenciação
- Potenciação e radiciação - resumo
Racionalizando um fração
Para racionalizar uma fração, devemos seguir os seguintes passos:
- Encontrar o conjugado do denominador. Como vimos, o conjugado deve ser tal que elimine a raiz do denominador.
- Multiplicar o conjugado em cima e embaixo da fração.
- Simplificar a fração equivalente encontrada.
Exemplos
Exemplo 1
A área do triângulo representado abaixo é igual a 15 cm2. Considerando que sua base é igual a , encontre o valor da sua altura.
Solução
A área do triângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura e dividindo por 2, assim, temos:
Como o valor encontrado para a altura tem uma raiz no denominador, vamos racionalizar essa fração. Para isso, devemos encontrar o conjugado da raiz. Como a raiz é quadrada, o conjugado será a própria raiz.
Então, vamos multiplicar o numerador e o denominador da fração por esse valor:
Para finalizar, podemos simplificar a fração dividindo em cima e embaixo por 5. Note que não podemos simplificar o 5 do radical. Assim:
Exemplo 2
Racionalize a fração
Solução
Vamos começar encontrando o conjugado da raiz cúbica de 4. Já sabemos que esse número deve ser tal que ao ser multiplicado pela raiz, dará como resultado um número racional.
Então, temos que pensar que se conseguirmos escrever o radicando como uma potência de expoente igual a 3, podemos eliminar a raiz.
O número 4 pode ser escrito como 22, então, se multiplicarmos por 2, o expoente passará para 3. Assim, se multiplicarmos a raiz cúbica de 4 pela raiz cúbica de 2, teremos como resultado um número racional.
Multiplicando o numerador e o denominador da fração por essa raiz, temos:
Exercícios Resolvidos
1) IFCE - 2017
Aproximando os valores de até a segunda casa decimal, obtemos 2,23 e 1,73, respectivamente. Aproximando o valor de até a segunda casa decimal, obtemos
a) 1,98. b) 0,96. c) 3,96. d) 0,48.
e) 0,25.
2) EPCAR - 2015
O valor da soma
é um número
a) natural menor que 10 b) natural maior que 10 c) racional não inteiro.
d) irracional.
Alternativa: b) natural maior que 10
Veja a resolução comentada destas e de outras questões em Exercícios de Radiciação e Exercícios de Potenciação.