Calcule a medida do ângulo CBD dado que o triângulo abc é equilátero

Triângulo Chamamos de ângulo externo o suplemento do ângulo interno. O triângulo tem 3 ângulos externos. Observe que: α + C = 180º e A + B + C = 180º Então: α + C = A + B+ C ⇒ α = A + B Conclusão: O ângulo externo é sempre a soma dos ângulos internos não adjacentes a ele. Lembre-se que o ângulo externo é formado por um dos lados e pelo prolongamento de outro. A B C A B C C A B α Ângulo externo a + b b a a + c a c b b +c c 6 VI – Classificação dos Triângulos Um triângulo pode ser classificado segundo o comportamento de seus ângulos ou de seus lados. 1) Quanto aos Ângulos Acutângulo Retângulo Obtusângulo Ângulos agudos Um Ângulo reto Um Ângulo obtuso 2) Quanto aos Lados Escaleno Isósceles Eqüilátero Vale Destacar: 1) O Triângulo Isósceles se caracteriza por ter 2 lados iguais. AB = AC ⇔ B = C São iguais os ângulos opostos aos lados iguais. Essa é a condição mínima para um triângulo ser classificado como Isósceles, portanto, o triângulo que apresenta os 3 lados iguais (o eqüilátero) também representa um triângulo isósceles. No Triângulo eqüilátero temos: A = B = C = 60º 2) Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares α + β = 90º C B A B C A α β 7 3) Como conseqüência das relações angulares do triângulo tem-se: Se r // s então, θ = α + β Nesse quadrilátero côncavo α = a + b +c Justificativas: θ é ângulo externo ao triângulo α é ângulo externo Verifiquemos então como você pode proceder para resolver um problema que envolva relações angulares. Tomemos o exemplo a seguir: Na figura seguinte, AB = BC = CD. Calcule α, sabendo que o ângulo mede 25º. D C B A α Aconselho que você anote na figura as informações que foram dadas. A partir daí, o ângulo CBD = 25º, dado o triângulo CBD ser isósceles. O ângulo BCA é externo a esse triângulo então, BCA = 50º. Como o triângulo ABC também é isósceles (BA = BC) temos o ângulo BAC = 50º. Observe agora o triângulo ABD: o ângulo α é externo a ele, portanto α = A + D, ou seja, α = 50º + 25º . Logo α = 75º. α b a c b + c β α θ r s α α b a c β α θ r s 25º D C B A α 8 EXERCÍCIOS 01. Determine α nas seguintes figuras: 02. Nas figuras, AÔB = 80o e BÔC = 500. Calcule a medida do ângulo α sabendo-se que OX é bissetriz de AÔB. 03. A medida de um ângulo é igual a 2/3 da medida de seu complemento. Calcule a sua medida. 04. Dois ângulos, opostos pelo vértice, medem respectivamente 3x + 10o e x + 50o. Calcule o valor de cada um deles. 05. Um dos ângulos formados por duas retas concorrentes é 1/8 da soma dos outros. Qual é o maior ângulo formado por tal figura? 06. Determine o ângulo cujo suplemento excede em 6o o quádruplo do seu complemento. 07. Dois ângulos suplementares são proporcionais ao números 2 e 3. Determine-os. 08. Quatro semi-retas OA→ , OB→ , OC→ e OD→ formam, em torno de um ponto, quatro ângulos cujas medidas são proporcionais aos números 2, 3, 5 e 8. Determine os ângulos. 9 09. Na figura r e r’ são paralelas e a reta s é perpendicular a t. Se o menor ângulo entre r e s mede 72o, calcule o ângulo α. 10. Um dos ângulos formados por duas paralelas, cortadas por uma transversal, é 1/8 da soma dos outros. Qual o maior ângulo formado por tal figura? 11. O triângulo ABC é isósceles com AB = AC. Determine α e β. C A α B B C A β 70o70o 12. Na figura seguinte, AB = BC = CD. Calcule α, sabendo que D = 30º. D C B A α 13. Calcule α em cada figura, sabendo-se que ABCD é um quadrado e DCE é um triângulo eqüilátero. B D C E A α B D C E A α 14. Em um triângulo obtusângulo a medida da soma dos ângulos agudos é igual à metade da medida do ângulo obtuso. Calcule este ângulo, sabendo que um ângulo agudo é o dobro do outro. 10 15. O triângulo ACD da figura é isósceles de base AD. Sendo 42o a medida do ângulo BAD e 20o a medida do ângulos ABC, calcule a medida do ângulo ACD. 16. Na figura, AB = AC, CD = CE e AFD = 60o. Calcule a medida do ângulo A. 17. Na figura, sabe-se que oA 90= ∧ , MC = MB, BS é bissetriz de ∧ B e que oBSA 126= ∧ . Pede-se o ângulo ∧ C. Dica: “Num triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa é sempre igual à metade da hipotenusa.” 18. Na figura, sendo AB congruente a AC , AE congruente a AD, calcule a medida do ângulo EDC ) , dado DAB ) = 48o. 19. Na figura abaixo, AB = AC e E 3 2C ˆˆ = . Calcule a medida do ângulo ∧ A . B A C M S A B C E B A E C D F B D C E A B A C D 11 VII – Polígono Entendemos por polígono a região plana limitada por uma linha poligonal fechada. A linha poligonal é o conjunto formada por segmentos de reta consecutivos. Ex.: Pentágono Convexo Côncavo VIII – Soma dos Ângulos de um Polígono 1) Ângulos internos Todo polígono pode ser dividido em Triângulos. Si = 180º Si = 180º . 2 Si = 180º. 3 Si = 180º.4 Um polígono de gênero “n” terá para soma dos ângulos internos: Si = 180º ( n – 2) 2) Externos Como cada ângulo interno é suplemento do interno adjacente temos: Si + Se = 180º . n Então: Se = 180º. n – Si Se = 180º. n – 180º ( n – 2 ) Se = 180º. n – 180º n +360º Então, Se = 360º. A soma dos ângulos externos é constante. É mais fácil, portanto, determinar – caso os ângulos internos e externos sejam, respectivamente, iguais – a medida do ângulo externo de um polígono, mesmo quando queremos o interno. 12 Observação: Os polígonos são classificados pelo gênero como triângulo, quadrilátero, pentágono, etc. e quanto ao comportamento dos lados e ângulos em Equilátero (lados iguais), Eqüiângulo (ângulos iguais) e Regular. Um polígono é regular quando possui lados e ângulos respectivamente iguais. Sendo assim, as medidas de seus ângulos interno e externo serão: n 360º Ae A e = − = n n i )2(º180 * Procure pesquisar que nomes recebem polígonos de 3, 4, 5, 6, ... lados e quais são as medidas de seus ângulos. IX – Diagonal Chamamos de diagonal de um polígono o segmento de reta que possui como extremos dois vértices não consecutivos do polígono. No polígono ABCD..., AC, BE e BD são exemplos de diagonais nesse hexágono. Observe que, de cada vértice de um polígono de gênero n partem (n – 3) diagonais. Num total de: d = 2 )3n(n − Exemplo: O decágono regular possui d = 2 )310.(10 − , ou seja, 35 diagonais. Seu ângulo externo será Ae = 10 360o = 36º e seu ângulo interno será Ai = 180º - 36º. O ângulo interno do decágono regular mede 144º. D E C F A B Eqüiláteros Eqüiângulos Regular 13 EXERCÍCIOS 01. Calcule o maior ângulo de um pentágono convexo ABCDE, sabendo-se que: C = 2A, E = 2B, D = 2 EC + e que E = 3A. 02. Considere um eneágono regular e calcule: a) A soma dos ângulos internos. b) A soma dos ângulos externos.