- 1. ANÁLISE COMBINATÓRIA FATORIAL 5! = 5.4.3.2.1 = 120 4! = 4.3.2.1 = 24 3! = 3.2.1 = 6 2! = 2.1 = 2 1! = 1 0! = 1 CONVENÇÃO n! = n.(n 1) . (n 2) . (n 3). .... 2 . 1 Exemplo: Calcular o valor de: 10 ! 10.9. 8! c) = = 90 8! a) 4! + 3! b) 7! Observe que: 8! 24 + 6 7.6.5.4.3.2.1 4!+3! 7! 30 5040 22/6/2011 1
- 2. (n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3).... (n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1)! O conjunto solução de: Determine a soma dos valores de m que satisfazem a equação 50 ! 49 ! (m – 3)! = 1 d) (n 1)! é: 210 49 ! (n 1)! 50.49! – 49! (m – 3)! = 1! ou (m – 3)! = 0! (n 1)! 49! 210 m–3=1 m–3=0 (n 1)! m=4 m=3 49!(50 – 1) (n + 1).n.(n – 1)! = 210 49! (n – 1)! Logo a soma dos valores de m é 7 (n + 1).n = 210 49 n2 + n – 210 = 0 22/6/2011 n’ = 14 n’’ = - 15 2 (não convém)
- 3. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades. Pode ser enunciado dessa forma: Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e independentes de modo que: E1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa E2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa : : En é o número de possibilidades da n-ésima Etapa Então E1 . E2 . ......... .Ek é o número total de possibilidades do evento ocorrer. Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.) 26 26 26 10 10 10 10 = 175. 760. 000 22/6/2011 3
- 4. Quantos números de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podem ser formados ? Alguns números possíveis Usando o princípio fundamental da contagem: 244 3215 244 5138 10 10 10 10 244 0008 244 244 2344 244 0000 : = 10 000 números : : fixo 22/6/2011 4
- 5. Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios? 100 99 = 9900 maneiras 22/6/2011 5
- 6. USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS IMPORTA ORDEM COMBINAÇÃO NÃO IMPORTA ORDEM p n! p n! FORMULÁRIO Pn = n! A C n (n p)! p! n (n p)! 22/6/2011 6
- 7. EXERCÍCIOS: 1. De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca? Resposta: 6 2. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMOR? Resposta: 24 22/6/2011 7
- 8. 3. Quantos números com cinco algarismos distintos, podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9? Resposta: 120 4. Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3? Resposta: 48 5. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por AB? Resposta: 5040 22/6/2011 8
- 9. 6. Há 10 pessoas em um local, sendo 3 com camisas verdes, 3 com camisas amarelas, 2 com camisas azuis e 2 com camisas brancas. De quantos modos podemos perfilar todas essas 10 pessoas de modo que os grupos com as camisas de mesma cor fiquem juntos? Resposta: 3456 7. Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas? Resposta: 56 22/6/2011 9
- 10. 8. Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas? Resposta: 999000 9. Em uma sala existem 20 pessoas, 8 mulheres e 12 homens. Quantas comissões podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens? Resposta: 44352 22/6/2011 10
- 11. 10. Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, devemos formar comissões com 3 professores e 2 alunos. Quantas são as possibilidades? Resposta: 120 11. Quantos números distintos com 2 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Resposta: 81 22/6/2011 11
- 12. 12. Usando-se apenas os algarismos 1,3,5,7,9 quantos números com 3 algarismos podem ser montados? Resposta: 60 13. Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados? Resposta: 15600 22/6/2011 12
Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
Blog //ensinodematemtica.blogspot.com
//accbarrosogestar.blogspot.com.br
Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com pArranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia! Arranjos
São agrupamentos formados com p elementos, (pArranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC} PermutaçõesQuando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.Fórmula: Ps(m) = m!.Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, entãoPr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.Fórmula: Pc(m)=(m-1)!Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto:Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:ABCD=BCDA=CDAB=DABCABDC=BDCA=DCAB=CABDACBD=CBDA=BDAC=DACBACDB=CDBA=DBAC=BACDADBC=DBCA=BCAD=CADBADCB=DCBA=CBAD=BADCExistem somente 6 grupos distintos, dados por:Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB} Combinações
Quando formamos agrupamentos com p elementos, (pCombinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD} Número de Arranjos simples
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (pc1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cmCada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento para a cor vermelha.Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cmPara escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cmApós a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cmSe continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:Retirada Número de possibilidades1 m2 m-13 m-2... ...p m-p+1No.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1)Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por:A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5x5=25 possibilidades.O conjunto solução é:{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?XYZ-1234Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.Número de Permutações simples Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementosRetirada Número de possibilidades1 m2 m-1... ...p m-p+1... ...m-2 3m-1 2m 1No.de permutações m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por:P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:A(m,m) = P(m)Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente:P(m) = m!Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número natural.Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever:0!=1Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é:P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P(4)=24 e o conjunto solução é:P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}Número de Combinações simples Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:C(m,p) = A(m,p) / p!ComoA(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)então:C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!que pode ser reescritoC(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p]Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!e o denominador ficará:p! (m-p)! Princípio fundamental da contagemSe determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:T = k1. k2 . k3 . ... . knExemplo:O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?Solução:Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. ExercíciosPermutação1-Com as vogais: A,E,I,O e U, quantas permutações podem ser formadas contendo as letras: A,E e I.2-De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca?Auxílio: P(n)=n!, n=3Resposta: N=1×2×3=63-De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares?Auxílio: P(n)=n!, n=5Resposta: N=1×2×3×4×5=1204-Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMOR?Auxílio: P(n)=n!, n=4Resposta: N=1×2×3×4=245-Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9.Auxílio:Resposta: P(5)=120.6-Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3.Auxílio: Cada conjunto com os algarismos 13 e 31 forma um grupo que junto com os outros, fornece 4 grupos.Resposta: N=2×P(4)=2×24=487-Consideremos um conjunto com n letras. Quantas permutações começam por uma determinada letra?Resposta: N=P(n-1)=(n-1)!8-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI?Resposta: P(9)=9!9-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por A?Resposta: P(8)=8!10-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por AB?Resposta: P(7)=7!Combinação simples11-Um indivíduo possui 25 livros diferentes. De quantas formas distintas ele poderá empacotar tais livros em grupos de 6 livros?12-Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas?Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!]; m=8,p=3Resposta: C=8!/(3!5!)=(8×7×6)/(1×2×3)=5613-Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas?Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=1000, p=2Resposta: C=1000!/(2!998!)=1000×999=99900014-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto?Conceito: CombinaçãoAuxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=10, p=4Resposta: C=10!/(4!6!)=(10×9×8×7)/(1×2×3×4)=21015-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre comecem pela letra A?Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=1, p1=1Resposta: C=C(1,1).C(9,3)=(1×9×8×7)/6=8416-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre estejam juntas as letras A e B?Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=2Resposta: C=C(2,2).C(8,2)=(1×8×7)/2=2817-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que não contenham nem as letras A e B?Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=0Resposta: C=C(2,0).C(8,4)=(1×8×7×6×5)/24=7018-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que somente uma das letras A ou B esteja presente, mas não as duas?Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=1Resposta: C=C(2,1).C(8,3)=(2×8×7×6)/6=11219-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que contêm 2 dentre as 3 letras A,B e C?Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=3, p1=2Resposta: C=C(3,2).C(7,2)=(3×7×6)/2=6320-Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?21-Calcular o valor de m tal que 5 C(m+1,3)=2 C(m+2,2).Arranjo simples22-Quantos números diferentes com 1 algarismo, podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.Resposta: N1=A(9,1)=923-Quantos números distintos com 2 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 2 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,1).Resposta: N2=A(10,2)-A(9,1)=10×9-9=90-9=8124-Quantos números distintos com 3 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,2).Resposta: N3=A(10,3)-A(9,2)=720-720=64825-Quantos números distintos com 4 algarismos diferentes, podemos formar com: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,3).Resposta: N4=A(10,4)-A(9,3)=5040-504=453626-Quantos números distintos menores que 10000 podem ser formados com algarismos diferentes da coleção: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Resposta: N=N1+N2+N3+N4=9+81+648+4536=527427-No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 4 algarismos com 2 algarismos repetidos?Auxílio: A quantidade de números distintos com 4 algarismos é 4536 e a quantidade total de números (com repetição ou não) com 4 algarismos é 9000.Resposta: N=9000-4536=446428-Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, obter o conjunto solução que contém todos os arranjos tomados 2 a 2.29-Usando-se apenas os algarismos 1,3,5,7,9 quantos números com 3 algarismos podem ser montados?Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=5, p=3Resposta: A=5!/2!=6030-Usando-se os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 quantos números com 4 algarismos podem ser montados?Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=10, p=4Resposta: A=10!/6!=504031-Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados?Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3Resposta: A=26!/23!=26.25.24=1560032-Com as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z e os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, quantas placas de carros podem ser escritas contendo 3 letras seguidas de 4 algarismos?Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3, n=10, q=4Resposta: A=(26!/23!).(10!/6!)=78624000
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