Bem, com essas informações conseguimos achar os vetores diretores de cada reta! Show Para reta Para reta : Com isso, vamos ver se as retas são paralelas distintas ou reversas. Já sabemos que duas retas são paralelas se seus vetores diretores obedecem a relação Substituindo os valores, Abrindo isso, temos: Mais uma vez obtemos uma indeterminação na segunda equação. Com isso nossas retas não são paralelas. Logo, as retas são reversas!! Agora precisamos pegar um ponto de cada reta! Isso o enunciado já nos deu! Com isso, um ponto da reta é: Para a reta , um ponto é: Agora basta calcular o vetor Agora que já possuímos os três vetores que geram o paralelepípedo, vamos relembrar a fórmula: Calculando os termos, Logo, UHULESSSS 😊 A equação reduzida da reta facilita a representação de uma reta no plano cartesiano. Na geometria analítica, é possível realizar essa representação e descrever a reta a partir da equação y = mx + n, em que m é o coeficiente angular e n é o coeficiente linear. Para encontrar essa equação, é necessário conhecer dois pontos da reta, ou um ponto e o ângulo formado entre a reta e o eixo x no sentido anti-horário. Leia também: O que é reta? Qual é a equação reduzida da reta?Na geometria analítica, buscamos uma lei de formação para descrever figuras planas, como a circunferência, uma parábola, a própria reta, entre outras. A reta possui duas possibilidades de equação, a equação geral da reta e a equação reduzida da reta. A equação reduzida da reta é y = mx + n, em que x e y são, respectivamente, a variável independente e a variável dependente; m é o coeficiente angular, e n é o coeficiente linear. Além disso, m e n são números reais. Com a equação reduzida da reta, é possível calcular quais são os pontos que pertencem a essa reta e quais não pertencem. Coeficiente angularO coeficiente angular nos diz muito sobre o comportamento da reta, pois, a partir dele, é possível analisar a inclinação da reta e identificar se ela é crescente, decrescente ou constante. Além disso, quanto maior o valor do coeficiente angular, maior será o ângulo entre a reta e o eixo x, no sentido anti-horário. Para calcular o coeficiente angular da reta, existem duas possibilidades. A primeira é saber que ele é igual à tangente do ângulo α: Sendo α o ângulo entre a reta e o eixo x, conforme a imagem. Nesse caso, basta conhecermos o valor do ângulo e calcular a tangente dele para encontrar o coeficiente angular. Exemplo: Qual é o valor do coeficiente angular da reta a seguir? Resolução: O segundo método para calcular o coeficiente angular é conhecendo dois pontos pertencentes à reta. Seja A(x1,y1) e B (x2,y2), então o coeficiente angular pode ser calculado por: Exemplo: Encontre o valor do coeficiente angular da reta representada no plano cartesiano a seguir. Considere A(-1, 2) e B (2,3). Resolução: Como conhecemos dois pontos, temos que: Para tomar a decisão sobre qual método utilizar para calcular o coeficiente angular da reta, primeiro é necessário analisar quais são as informações que temos. Se o valor do ângulo α for conhecido, basta calcular a tangente desse ângulo; agora, se conhecemos somente o valor de dois pontos, nesse caso é necessário calcular por meio do segundo método. O coeficiente angular nos possibilita analisar se a reta é crescente, decrescente ou constante. Assim, m > 0, a reta será crescente; m = 0 a reta será constante; m < 0 a reta será decrescente. Leia também: Distância entre dois pontos Coeficiente linearO coeficiente linear n é o valor da ordenada quando x = 0. Isso significa que n é o valor de y para o ponto em que a reta intercepta o eixo y. Graficamente, para encontrar o valor de n, basta encontrar o valor de y no ponto (0,n). Como calcular a equação reduzida da retaPara encontrarmos a equação reduzida da reta, é necessário encontrar o valor de m e de n. Encontrando o valor do coeficiente angular e conhecendo um de seus pontos, é possível encontrar o coeficiente linear com facilidade. Exemplo: - Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A (2,2) e B (3,4). → 1º passo: encontrar o coeficiente angular m. → 2º passo: encontrar o valor de n. Para encontrar o valor de n, precisamos de um ponto (podemos escolher entre o ponto A e B) e do valor do coeficiente angular. Sabemos que a equação reduzida é y = mx + n. Calculamos m = 2 e, utilizando o ponto B(3,4), vamos substituir o valor de x,y e m. y = mx + n 4 = 2·3 + n 4 = 6 + n 4 – 6 = n n = – 2 → 3º passo: escrever a equação substituindo o valor de n e m, que agora são conhecidos. y = 2x – 2 Essa será a equação reduzida da nossa reta. Leia também: Ponto de interseção entre duas retas Exercícios resolvidosQuestão 1 - (Enem 2017) Em um mês, uma loja de eletrônicos começa a obter lucro já na primeira semana. O gráfico representa o lucro (L) dessa loja desde o início do mês até o dia 20. Mas esse comportamento se estende até o último dia, o dia 30. A representação algébrica do lucro (L) em função do tempo (t) é: a) L(t) = 20t + 3 000 b) L(t) = 20t + 4 000 c) L(t) = 200t d) L(t) = 200t – 1 000 e) L(t) = 200t + 3 000 Resolução: Analisando o gráfico, é possível perceber que já temos o coeficiente linear n, pois ele é o ponto em que a reta toca o eixo y. Nesse caso, n = - 1 000. Agora analisando os pontos A (0, -1000) e B (20, 3 000), calcularemos o valor de m. Logo, L(t) = 200t – 1000. Letra D Questão 2 - A diferença entre o valor do coeficiente linear e o coeficiente angular da reta crescente que passa pelo ponto (2,2) e faz um ângulo de 45º com o eixo x é de: a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2 Resolução: → 1º passo: calcular o coeficiente angular. Como conhecemos o ângulo, sabemos que: m = tgα m = tg45º m = 1 → 2º passo: encontrar o valor do coeficiente linear. Seja m = 1 e A (2,2), realizando a substituição na equação reduzida, temos que: y = mx + n 2 = 2 ·1 + n 2= 2 + n 2 – 2 = n n = 0 → 3º passo: calcular a diferença na ordem que foi pedida, ou seja, n – m. 0 – 1 = –1 Letra D Por Raul Rodrigues de Oliveira A reta r é determinada pelos pontos A=(2,‑1,3) e B=(3,0,2). Sendo que a reta passa por A e tem a direção do vetor AB. Assim podemos afirmar que a equação vetorial de r é: RD Resoluções Há mais de um mês A equação vetorial será: \(\begin{align}&&\left( {x,y,z} \right) &= A + t\left( {AB} \right)\\&&\left( {x,y,z} \right) &= \left( {2, - 1,3} \right){\text{ }} + t(\left( {3 - 2,0 + 1,2 - 3} \right)\\&&\left( {x,y,z} \right) &= \left( {2, - 1,3} \right){\text{ }} + t(\left( {1,1,5} \right)\end{align}\) |