Tem mais depois da publicidade ;) ∆ = 0, a equação possui raízes reais iguais. ∆ < 0, a equação não possui raízes reais. A resolução de uma equação do 2º grau depende do valor de delta e de uma expressão matemática associada ao indiano Bháskara.
O que fazer quando um número não tem raiz quadrada na equação?
Caso o valor do discriminante seja maior que zero, a equação terá duas raízes reais e diferentes. O discriminante possuindo valor menor que zero, indica que a equação não possui raízes reais. Nas situações em que o discriminante assume valor igual a zero, a equação possui apenas uma raiz real.
Em qual situação a equação do segundo grau não existe resposta?
I – Toda equação do segundo grau possui pelo menos uma solução real. II – Uma equação do segundo grau é conhecida como incompleta quando o coeficiente b ou c é igual a zero. III – Quando o valor do discriminante é um número positivo que não possui raiz quadrada exata, dizemos que a equação não possui solução.
Como fatorar equações do 2º grau?
Aprenda a fatorar expressões do segundo grau como o produto de dois binômios lineares. Por exemplo, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).
Quando a raiz é exata?
- Dizemos que uma raiz é exata quando L é um número inteiro. São alguns exemplos de raízes exatas: a) A raiz quadrada de 9, pois 3·3 = 9. b) A raiz cúbica de 8, pois 2·2·2 = 8
Como fazer o cálculo de raízes não exatas?
- O cálculo de raízes não exatas pode ser feito de maneira direta ou por fatoração. Antes de partir para o cálculo de raízes não exatas propriamente dito, é necessário relembrar como calcular raízes de um modo geral e o que são raízes exatas e não exatas.
Como é feita a representação de raízes?
- A representação de raízes é feita da seguinte maneira: * n, chamado de índice, é o número de fatores da potência que gerou a, chamado de radicando, e L é o resultado, chamado de raiz. Desse modo, L é um número que foi multiplicado por si mesmo n vezes e o resultado dessa multiplicação foi a.
Como calcular a raiz de um número?
- Calcular a raiz de um número resume-se a procurar por outro número que, multiplicado por ele mesmo determinada quantidade de vezes, tenha como resultado o número dado. A representação de raízes é feita da seguinte maneira:
Toda equação do segundo grau pode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais chamados de coeficientes e x é um número real desconhecido chamado de incógnita. Para resolver esse tipo de equação, isto é, para encontrar os valores de x, um dos métodos mais usados é a fórmula de Bháskara. A primeira etapa do cálculo dos valores de x, por meio da fórmula de Bháskara, é encontrar o discriminante da equação.
O discriminante é a parte da fórmula de Bháskara que está sob a raiz quadrada e é apresentado pela seguinte fórmula.
Δ = b2 – 4ac
Nessa fórmula, a, b e c são os coeficientes da equação do segundo grau. A letra grega Δ (delta) é usada para representar o discriminante de uma equação do segundo grau.
O segundo passo para a resolução de uma equação do segundo grau é utilizar a fórmula de Bháskara:
x = – b ± √Δ
2a
Existem outras aplicações para os discriminantes dentro das equações e funções do segundo grau que serão discutidos a seguir.
Quantidade de soluções reais
Para saber se uma equação do segundo grau possui resultados reais distintos, apenas uma solução real ou nenhuma, não é necessário resolvê-la até o ponto de encontrar suas soluções. É possível descobrir a quantidade de raízes reais de uma equação do segundo grau somente observando seu discriminante.
Para isso, observe o seguinte: na fórmula de Bháskara, há um sinal “±” antes da raiz do discriminante. Isso significa que essa raiz terá um resultado positivo e um negativo. Entretanto, não é possível encontrar raízes de números negativos. Assim, podemos fazer a seguinte análise:
1 – Se o discriminante for negativo, não é possível calcular sua raiz e, portanto, não é possível resolver a equação do segundo grau dentro do conjunto dos números rais. Em outras palavras:
Se Δ < 0, então a equação não possui raízes reais.
2 – Se o discriminante for igual a zero, com a parcela ± √Δ = 0, resta para solução da equação o resultado único – b/2a. Em outras palavras:
Se Δ = 0, então a equação possui uma raiz real.
3 – Se o discriminante é maior que zero, é o caso em que a equação do segundo grau possui duas raízes reais e distintas. Em outras palavras:
Se Δ > 0, então a equação possui duas raízes reais.
Interpretando funções do segundo grau
Para as funções do segundo grau, valem as mesmas afirmações anteriores, que são elas:
Se Δ < 0, então a equação não possui raízes reais.
Se Δ = 0, então a equação possui uma raiz real.
Se Δ > 0, então a equação possui duas raízes reais.
Entretanto, vale lembrar que as raízes de uma função do segundo grau são os pontos de encontro entre o gráfico dessa função e o eixo x do plano cartesiano. Aliando o discriminante à concavidade da parábola, podemos determinar os intervalos nos quais a função é crescente, decrescente ou nula. Isso é chamado de estudo dos sinais da função do segundo grau.
1 – A função é nula nas raízes.
2 – Se a > 0 e Δ > 0, temos uma função com dois pontos de encontro com o eixo x, que tem concavidade voltada para cima. Assim, o intervalo entre as raízes é negativo, e o intervalo fora delas é positivo.
3 – Se a < 0 e Δ > 0, temos uma função com dois pontos de encontro com o eixo x (duas raízes) e concavidade voltada para baixo. Assim, o intervalo entre as raízes é positivo e fora delas é negativo.
3 – Se a > 0 e Δ = 0, então a função possui apenas um ponto de encontro com o eixo x e concavidade voltada para cima, portanto é toda positiva, exceto na raiz, onde é neutra.
4 – Se a < 0 e Δ = 0, então a função é toda negativa, pois possui apenas um ponto de encontro com o eixo x e concavidade voltada para baixo.
5 – Se a > 0 e Δ < 0, então a função é toda positiva, pois não possui pontos de encontro com o eixo x e sua concavidade é voltada para cima.
6 – Se a < 0 e Δ < 0, a função é toda negativa, pois não possui pontos de encontro com o eixo x e sua concavidade é voltada para baixo.
Um dos métodos usados para encontrar os resultados de uma equação do segundo grau é a fórmula de Bháskara. O uso dessa fórmula costuma ser dividido em duas etapas: a primeira consiste em encontrar o valor do discriminante da equação e a segunda em encontrar os seus resultados.
Mas, o que é "Discriminante"?
Discriminante é a parte da fórmula de Bháskara que está sob a raiz quadrada.
O cálculo do discriminante é feito substituindo os valores dos coeficientes da equação na seguinte fórmula:
Δ = b2 – 4ac
A partir desse valor, basta substituí-lo, junto aos coeficientes da equação, na fórmula:
x = – b ± √Δ
2a
A separação desse método em duas etapas é apenas didática. A fórmula de Bháskara também pode ser escrita:
x = – b ± √[b2 – 4ac]
2a
Existem outros usos para o discriminante de uma equação do segundo grau. A seguir, falaremos sobre eles.
Quantidade de soluções de uma equação do segundo grau
Muitas vezes, pode ser necessário saber se uma equação do segundo grau possui resultados reais e sua quantidade em vez de saber quais são esses resultados. Por meio do discriminante da equação do segundo grau, é possível saber essas informações.
As equações do segundo grau podem ter até dois resultados reais e distintos. Na fórmula anterior, note que antes da raiz quadrada existe um sinal “±”. Esse sinal apenas garante que um cálculo deverá ser feito tomando o valor positivo do resultado da raiz e outro cálculo deve ser feito tomando o valor negativo do resultado da raiz. Portanto, até dois resultados podem ser encontrados.
Perceba que, se o discriminante for negativo, não será possível calcular a sua raiz e, por isso, a equação não terá soluções reais.
Se o discriminante é igual a zero, a fórmula de Bháskara resume-se a:
x = – b ± √Δ
2a
x = – b ± √0
2a
x = – b
2a
Como o sinal “±” está relacionado à raiz, uma equação do segundo grau com discriminante igual a zero terá apenas um resultado real.
Já as equações com discriminante maior que zero terão dois resultados reais e distintos.
Assim, podemos dizer:
Se Δ < 0, a equação não possui resultados reais.
Se Δ = 0, a equação possui um resultado real.
Se Δ > 0, a equação possui dois resultados reais.
Estudo dos sinais de uma função do segundo grau
A solução de alguns problemas envolvendo funções do segundo grau pode ser o intervalo de valores do domínio que faz com que os valores do contradomínio sejam maiores do que zero, por exemplo.
É possível usar o discriminante da equação do segundo grau para determinar se existe um intervalo no qual a função é positiva ou não. Para isso, tenha em mente que as raízes de uma função do segundo grau são os pontos de encontro dela com o eixo x.
Se Δ < 0, a função não possui raízes.
Se Δ = 0, a função possui uma raiz.
Se Δ > 0, a função possui duas raízes.
Além disso, as funções do segundo grau são parábolas. Assim, teremos as seguintes possibilidades:
Se a função do segundo grau possui Δ > 0, terá duas raízes reais e distintas. Uma parte da parábola que a representa estará acima do eixo x e a outra abaixo.
Se o coeficiente a é positivo, essa função tem ponto de mínimo abaixo do eixo x, e a função é negativa entre suas raízes. Caso contrário, tem ponto de máximo acima do eixo x, e a função será positiva entre suas raízes.
Se a função do segundo grau possui Δ = 0, terá uma raiz real. Então, a parábola tocará o eixo x em apenas um ponto. Se a for positivo, toda a função será positiva, exceto sua raiz (porque é neutra). Se a for negativo, toda a função será negativa, exceto sua raiz.
Se a função do segundo grau possui Δ < 0, então ela não possui raízes. Assim, se a é positivo, toda a função será positiva. Se a é negativo, toda a função será negativa.
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática