A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação, assim como a divisão é a operação inversa da multiplicação. Essa operação é representada pelo símbolo √, conhecido como radical, e a raiz de um número é representada por \(\sqrt[n]{a}\ =\ b\). Assim, podemos calcular a raiz enésima de um número utilizando o seguinte raciocínio: a raiz enésima de a é o número que elevado a n é igual a a. Além disso, a radiciação possui propriedades importantes que auxiliam na resolução de problemas envolvendo-a.
Leia também: Potenciação e radiciação de frações
Videoaula sobre radiciação
Como representar a radiciação?
Para representar uma operação de radiciação, utilizamos o símbolo √, conhecido como radical. Então, a raiz de um número é representada por:
\(\sqrt[n]{a}\ =\ b\)
Essa sentença é lida como “raiz enésima de a é igual a b”. Cada um dos elementos recebe nome específico. São eles:
-
√: radical.
-
n: índice.
-
a: radicando.
-
b: raiz.
Observação: Quando o índice é igual a 2, não é necessário que o algarismo 2 conste. Ou seja:
\(\sqrt[2]{a}=\sqrt a\)
A radiciação e a potenciação são conhecidas como operações inversas. Assim, para calcular a radiciação, é fundamental saber resolver potenciações. Quando representamos a raiz enésima de a, encontramos como resposta o número b. Para que b seja raiz n de a, temos que:
\(\sqrt[n]{a}=b\rightarrow b^n=a\)
Logo, estamos procurando qual é o número b que elevado ao índice n é igual ao radicando a.
Exemplo 1:
\(\sqrt[2]{25}=5\rightarrow5^2=25\)
Exemplo 2:
\(\sqrt[3]{8}=2\rightarrow2^3=8\)
Exemplo 3:
\(\sqrt[5]{1024}=4\rightarrow4^5=1024\)
Propriedades da radiciação
As propriedades das operações matemáticas são ferramentas que auxiliam na resolução e na simplificação de problemas envolvendo uma operação, e com a radiciação não é diferente. É útil, portanto, dominar algumas propriedades da radiciação.
→ A raiz enésima de a elevado a n é igual ao próprio a
Se queremos calcular a raiz enésima de um número a elevado a n, ou seja, quando o expoente do número é igual ao índice da raiz, a raiz é o próprio número a.
\(\sqrt[n]{a^n}=a\)
→ A raiz do produto é igual ao produto das raízes
Quando o radicando é a multiplicação entre dois números, a raiz do produto é igual ao produto das raízes.
\(\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\)
→ A raiz do quociente é igual ao quociente das raízes
Essa propriedade é equivalente à anterior, porém para o caso de divisão. Quando há uma divisão entre dois números no radicando, a raiz do quociente é igual ao quociente das raízes.
\(\sqrt[n]{a∶b}=\sqrt[n]{a}∶\sqrt[n]{b}\)
Além disso, essa propriedade é válida para frações, já que a fração é uma divisão.
\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)
→ Multiplicação e divisão do índice com o expoente
Podemos multiplicar ou dividir o radical e o expoente do radicando por um mesmo número.
\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot b]{a^{m\cdot b}}\)
\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n:b]{a^{m:b}}\)
→ Raiz de uma raiz
Para resolver a raiz de uma raiz, podemos multiplicar os índices dessas raízes.
\(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}\)
→ Potência de uma raiz
Quando há uma potenciação com a raiz, temos que:
\(\left(\sqrt[n]{a}\right)^b=\sqrt[n]{a^b}\)
→ Transformação de uma radiciação em uma potenciação
Podemos reescrever a radiciação de um número como uma potenciação.
\(\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}\)
Confira nossa videoaula: Propriedades de potência
Simplificação de radicais
Quando a raiz não é um número exato, é possível simplificar o radical, ou seja, escrever o radical da forma mais simples possível. Para fazer a simplificação, é necessário fatorar esse número e utilizar as propriedades da radiciação apresentadas anteriormente para representar a radiciação da forma mais simples possível.
Exemplo:
Simplifique \(\sqrt{392}\):
Resolução:
Primeiramente, é necessário realizar a fatoração de 392:
Como queremos calcular a raiz quadrada, agruparemos, quando possível, os números como potência de 2:
392 = \(2^2\cdot2\cdot7^2\)
Assim, temos que:
\(\sqrt{392}=\sqrt{2^2\cdot2\cdot7^2}\)
Utilizando as propriedades da radiciação, sabemos que a raiz do produto é igual ao produto das raízes:
\(\sqrt{392}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{7^2}\)
Vale ressaltar que quando o índice não aparece, o seu valor é 2. E quando o índice e o expoente do radicando são os mesmos, a raiz é igual ao radicando. Ou seja:
\(\sqrt{392}=2\cdot\sqrt2\cdot7\)
Então, temos que:
\(\sqrt{392}=14\sqrt2\)
Logo, \(14\sqrt2\) é a forma simplificada da \(\sqrt{392}\).
Operações com radicais
→ Adição e subtração
Quando o radical é o mesmo, para somar ou subtrair a raiz, conservamos o radical e somamos os coeficientes.
Exemplo:
\(4\sqrt2+3\sqrt2=7\sqrt2\)
Quando o radical é diferente, não é possível realizar a operação. Dessa forma, é necessário obter um valor aproximado ou exato para a raiz antes de fazer o cálculo.
Exemplo:
\(5\sqrt3-2\sqrt2\)
\(5\cdot1,7-2\cdot1,4\)
\(8,5-2,8\)
\(5,7\)
→ Multiplicação e divisão
Quando o índice é o mesmo, podemos realizar a multiplicação ou a divisão e conservar o radical.
Exemplo:
\(\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2\cdot5}=\sqrt[3]{10}\)
Quando o índice é diferente, de início igualamos os índices e depois realizamos a multiplicação/divisão e conservamos o radical.
Exemplo:
\(\sqrt[3]{16}∶\sqrt[2]{2}\)
Para igualar os índices, temos que:
\(\sqrt[3\cdot2]{{16}^2\ }:\sqrt[2\cdot3]{2^3}\)
\(\sqrt[6]{{16}^2∶2^3}\)
\(\sqrt[6]{256∶8}\)
\(\sqrt[6]{32}\)
Exercícios resolvidos sobre radiciação
Questão 1
(Fauel) O número \(\sqrt[3]{2160}\) pode ser escrito na forma simplificada. Assinale a alternativa que apresenta o número simplificado.
A) 50
B) \( 6\sqrt[3]{10}\)
C) \( 10\sqrt[3]{6}\)
D) 720
Resolução:
Alternativa B
Fazendo a fatoração:
Como queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3:
2160 = \(2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5\)
Logo:
\(\sqrt[3]{2160}=\sqrt[3]{2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5}\)
\(\sqrt[3]{2160}=2\cdot3\sqrt[3]{2\cdot5}\)
\(\sqrt[3]{2160}=6\sqrt[3]{10}\)
Questão 2
Qual é a raiz cúbica de 4.096?
A) 26
B) 24
C) 16
D) 14
Resolução:
Alternativa C
Para encontrar a raiz cúbica de 4.096, devemos fatorar esse número:
Como nós queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3. Assim, obtemos 4096 = \(2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3\).
Portanto:
\(\sqrt[3]{4096}=\sqrt[3]{2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3}\)
\(\sqrt[3]{4096}=2\cdot2\cdot2\cdot2\)
\(\sqrt[3]{4096}=16\)
Uma das mais usuais raízes na radiciação é a raiz quadrada. É muito comum encontrá-la em exercícios, dos mais diversos conteúdos da matemática.
Podemos definir que a raiz quadrada de um número “n” é um número não negativo. Este número, por sua vez, quando multiplicado por si próprio, é igual a “n”.
\(\sqrt[2]{n}=a\) , com “n” e “a” \(\geq n=a^{2}\)
Na raiz acima, temos o radical \(\sqrt{ }\), o índice do radical (que no caso da raiz quadrada será sempre igual a 2) e o radicando (número “n”).
Quando nos deparamos com uma raiz quadrada, é comum observarmos que o índice 2 não é escrito na raiz. Isso se justifica porque ficou definido na matemática que quando se trata de uma raiz quadrada, não há a necessidade de indicar o índice 2.
Vamos ver alguns exemplos:
- \(\sqrt{4}=2\)
- \(\sqrt{9}=3\)
- \(\sqrt{16}=4\)
- \(\sqrt{25}=5\)
- \(\sqrt{36}=6\)
- \(\sqrt{49}=7\)
- \(\sqrt{64}=8\)
- \(\sqrt{81}=9\)
- \(\sqrt{100}=10\)
É importante ressaltar que, mesmo que os números negativos -2 e -3 satisfaçam as expressões \((-2)^{2}=4\) e \((-3)^{2}=9\), eles não devem ser admitidos como respostas válidas, a fim de que a concepção geométrica do símbolo radical não seja contrariada.
Neste sentido, a expressão \(\sqrt{25}=\pm 5\), por exemplo, está errada! O correto seria \(\sqrt{25}=5\). Note que esta situação é diferente de \(x^{2}=25\), pois nesse caso, temos uma equação quadrática, onde o “x” pode, sim, assumir tanto o valor de 5, quanto o valor de -5.
A raiz quadrada pode ser manipulada de algumas formas que podem nos ajudar a resolver determinados exercícios, vamos ver como isso funciona!
Atenção! As propriedades a seguir podem ser vistas com maiores detalhes no tópico de radiciação!
A raiz quadrada pode ser modificada das seguintes maneiras quando estamos tratando com divisão e multiplicação:
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \qquad \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\)
Contudo, quando estamos operando com soma e subtração, note que as expressões a seguir são diferentes:
\(\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b} \qquad \sqrt{a-b}\neq \sqrt{a}-\sqrt{b}\)
Assim, é preciso tomar cuidado com as raízes, a fim de que não seja feito algum cálculo errado envolvendo elas.
Caso uma raiz quadrada esteja dentro de outra raiz quadrada, basta multiplicarmos o índice 2 das duas raízes para obtermos somente uma raiz:
\(\sqrt[2]{\sqrt[2]{a}}=\sqrt[2\cdot 2]{a}=\sqrt[4]{a}\)
Muitos exercícios demandam que o aluno saiba como transformar um valor em radiciação para potenciação. Vamos ver como se dá esse processo (não se preocupe, é bem fácil!).
\(\sqrt{x^{p}}=x^{\frac{p}{2}}\)
Tranquilo, né? Essa é a relação entre as duas operações matemáticas. Para ficar mais fácil de lembrar, pense que o número que está “fora” na raiz fica “dentro” na potência (neste caso, o 2) e o número que está “dentro” na raiz fica “fora” na potência (neste caso, o “p”).
Em muitas situações, você vai se deparar com uma raiz cujo resultado não é encontrado mentalmente e de forma fácil (como é o caso das raízes \(\sqrt{4}, \sqrt{9}, \sqrt{25}\) por exemplo). Dessa forma, é interessante saber calcular o valor da raiz quadrada a fim de que você consiga resolver completamente os exercícios.
Assim, o passo a passo do cálculo da raiz é:
1º passo: Dividir seu radicando somente por números primos até obter o número 1. Como exemplo, vamos usar \(\sqrt{400}\).
2º passo: Multiplicar de dois em dois os números de mesmo valor:
Obs. 1: Caso fosse raiz cúbica, multiplicar de três em três e assim por diante.
Obs. 2: Caso algum número primo “n” estivesse sozinho, ou seja, não fosse possível multiplicar ele com outro número de mesmo valor, adotar ele como raiz de “n”. Exemplo: \(\sqrt{10}\).
Muitos alunos se perguntam o porquê de aprender sobre radiciação e raízes quadradas, enquanto eles não sabem o quão importante é este instrumento.
As raízes são utilizadas nos mais diversos cálculos matemáticos, desde o Teorema de Pitágoras, passando pelas equações de segundo grau (com Bhaskara) até em problemas de engenharia, onde diversas fórmulas envolvem raízes.
Nesse sentido, prova-se a relevância desta operação. É importante lembrar que todo estudo tem alguma função e, com as raízes, não é diferente!
Exercício de fixação
UEMA
O valor da raiz quadrada \(\sqrt[2]{0,444...}\) é: