Probabilidade é o estudo sobre experimentos que, mesmo realizados em condições bastante parecidas, apresentam resultados que não são possíveis de prever. Por exemplo: o experimento cara ou coroa, mesmo realizado repetidas vezes, não pode ser previsto, pois, cada vez que a moeda for lançada, o resultado poderá ser diferente.
A probabilidade associa números às chances de determinado resultado acontecer, de modo que, quanto maior esse número, maior a chance desse resultado ocorrer. Existe um “menor número”, que representa a impossibilidade do resultado, e um maior número, que representa a certeza de determinado resultado. No lançamento de um único dado, por exemplo, é impossível ocorrer o número 7 e existe a certeza de ocorrer um número menor que 7 ou maior que 0.
As definições mais importantes para o estudo de probabilidades são as seguintes:
Ponto amostral
Dado um experimento aleatório, qualquer resultado único desse experimento é chamado de ponto amostral.
No lançamento de dois dados ao mesmo tempo, os resultados possíveis são:
1 e 1, 1 e 2, 1 e 3 … 6 e 5, 6 e 6
No lançamento de uma moeda, os pontos amostrais são cara ou coroa.
Espaço amostral
Espaço amostral é o conjunto que possui todos os pontos amostrais de um evento aleatório. Sendo assim, o espaço amostral referente ao experimento “lançar uma moeda” é formado por cara e coroa.
O espaço amostral também é comumente chamado de universo. Além disso, como se trata de um conjunto, qualquer notação de conjuntos pode representá-lo.
Dessa maneira, o espaço amostral, seus subconjuntos e as operações que o envolvem herdam as propriedades e operações dos conjuntos numéricos. Dessa maneira, podemos dizer que os possíveis resultados do lançamento de duas moedas são:
S = {(x,y) naturais | x < 7 e y < 7}
Nesse caso, S representa o conjunto de pares ordenados formados pelos resultados dos dois dados. O número de elementos de um espaço amostral é representado da seguinte maneira: Dado o espaço amostral Ω, o número de elementos de Ω é n(Ω).
Evento
Um evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Sendo assim, os eventos são formados por pontos amostrais. Um exemplo de evento é o seguinte: no lançamento de dois dados, somente números ímpares devem aparecer.
O subconjunto que representa esse evento possui os seguintes pontos amostrais:
(1, 1)
(3, 3)
(5, 5)
Eles são os possíveis resultados do lançamento de dois dados com resultados ímpares simultaneamente.
O número de elementos de um evento é representado da seguinte maneira: Dado o evento A, o número de elementos de A é n(A).
Além disso, um evento é chamado de evento simples quando ele possui apenas um elemento, isto é, quando o evento é igual a apenas um ponto amostral. Em outras palavras, evento simples representa um resultado único. Um evento certo é igual ao espaço amostral, por isso, a probabilidade de que um evento certo ocorra é a maior de todas: 100% de chances. Por outro lado, quando o evento é igual ao conjunto vazio, ou seja, não possui nenhum ponto amostral, ele é chamado de evento impossível.
Probabilidade
A probabilidade é um número que representa a chance que um evento possui de acontecer. O cálculo desse número é feito da seguinte maneira: seja A um evento qualquer dentro do espaço amostral Ω, a probabilidade P(A) desse evento acontecer é dada por:
P(A) = n(A)
n(Ω)
Note, antes de mais nada, que o número de elementos do espaço amostral será sempre maior ou igual ao número de elementos do evento. Dessa maneira, o menor valor que essa divisão pode resultar é 0, o que representa a chance de haver um evento impossível. Já o maior valor a que se pode chegar é 1, quando o evento é igual ao espaço amostral. Nesse caso, o resultado da divisão é 1. Dessa maneira, a probabilidade de um evento A dentro do espaço amostral Ω ocorrer está entre o intervalo:
0 ≤ P(A) ≤ 1
Existem duas observações a serem feitas:
-
Caso seja necessário expressar a probabilidade de um evento acontecer por meio de uma porcentagem, basta multiplicar o resultado da divisão acima por 100.
-
Existe a possibilidade de calcular a probabilidade de um evento não acontecer. Para tanto, basta realizar:
P(A-1) = 1 – P(A)
Probabilidade condicional
Dado o espaço amostral Ω e os eventos A e B em Ω, faça a suposição de que o evento A já ocorreu. A probabilidade de que o evento B ocorra é chamada de probabilidade condicional de B sobre A e é denotada da seguinte maneira:
P(B|A)
Essa probabilidade recebe esse nome porque a condição para que B ocorra é a ocorrência de A. A expressão usada para o cálculo dessa probabilidade é a seguinte:
P(B|A) = P(B∩A)
P(A)
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
A probabilidade da união de dois eventos é a probabilidade de um primeiro ou de um segundo evento ocorrer. No âmbito da probabilidade, estudamos a chance de determinados eventos ocorrerem, e em alguns casos é necessário calcular a probabilidade da união de dois eventos. Por exemplo, a probabilidade de um número sorteado ser ímpar ou primo.
Dados dois eventos, A e B, em um mesmo espaço amostral, para calcular a probabilidade da união de dois eventos, utilizamos a fórmula:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Portanto, a probabilidade da união de dois eventos é igual à soma da probabilidade de cada um desses eventos ocorrerem menos a intersecção entre esses os dois. Quando os eventos são mutuamente excludentes, ou seja, a intersecção entre eles é vazia, então a probabilidade da união é a soma das probabilidades de ocorrência de cada um deles.
Leia também: Os três erros mais cometidos no cálculo de probabilidade
Resumo da probabilidade da união de dois eventos
-
A probabilidade da união de dois eventos A e B em um mesmo espaço amostral é calculada por: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
-
A probabilidade da união de dois eventos é a chance do primeiro ou do segundo evento ocorrer.
-
Quando os eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade da união é calculada por: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Qual a fórmula da probabilidade da união de dois eventos?
Dados dois eventos, A e B, todos em um mesmo espaço amostral Ω (lê-se: ômega), então a probabilidade da união desses eventos, ou seja, P(A ∪ B), é calculada por:
| P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) |
A fórmula diz que a probabilidade da união entre os eventos A e B é igual à probabilidade do evento A ocorrer, mais a probabilidade do evento B ocorrer, menos a probabilidade da intersecção entre os eventos A e B.
Existem casos em que os eventos são mutuamente exclusivos, ou seja, possuem intersecção vazia. Nesses casos, consequentemente, a probabilidade da intersecção será igual a zero, ou seja, P(A ∩ B) = 0. Portanto, quando os eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade da união desses eventos é calculada por:
Leia também: Probabilidade condicional — veja como calculá-la
Como calcular a probabilidade da união de dois eventos?
Para calcular a probabilidade da união de dois conjuntos, é necessário encontrar os dados para calcular cada uma das probabilidades. São eles:
-
n(A) → número de elementos correspondentes ao evento A;
-
n(B) → número de elementos correspondentes ao evento B;
-
n(Ω) → número de elementos no espaço amostral;
-
n(A ∩ B) → número de elementos na intersecção entre os eventos A e B.
Munidos desses dados, basta substituirmos na fórmula da probabilidade da união de dois eventos cada uma das probabilidades.
Exemplo 1
Em uma sala de aula, há 25 alunos, sendo que 15 deles são meninas e 10, meninos. Durante as aulas de matemática, o professor resolveu fazer um sorteio entre os alunos que se saíram melhor no teste. Sabendo que nessa sala há 8 alunos que usam óculos e que 3 deles são meninas, calcule a probabilidade de o sorteado ser uma menina ou alguém que usa óculos.
Resolução:
Inicialmente, vamos definir os eventos:
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A → o sorteado é uma menina.
-
B → o sorteado usa óculos.
Sabemos que:
-
n(A) é igual ao número de meninas.
-
n(B) é igual ao número de alunos que usam óculos.
-
n(Ω) → número de alunos.
-
n(A ∩ B) → número de meninas que usam óculos.
Então, temos que:
Exemplo 2:
Uma moeda foi lançada três vezes consecutivas. Qual é a probabilidade de se obter, exatamente, duas caras ou duas coroas?
Resolução:
Ao se lançar a moeda três vezes consecutivas, teremos os seguintes resultados possíveis:
Ω = {(cara, cara, cara); (cara, cara, coroa); (cara, coroa, cara); (coroa, cara, cara); (coroa, coroa, coroa); (coroa, coroa, cara); (coroa, cara, coroa); (cara, coroa, coroa)}
Logo, n (Ω) = 8.
-
Evento A → Se obter exatamente duas caras.
A = {(cara, cara, coroa); (cara, coroa, cara); (coroa, cara, cara)}
n(A) = 3
-
Evento B → Se obter exatamente duas coroas.
B = {(coroa, coroa, cara); (coroa, cara, coroa); (cara, coroa, coroa)}
n(B) = 3
Analisando os conjuntos A e B, é possível perceber que não há nenhum elemento em comum aos dois conjuntos. Logo, esses conjuntos são mutuamente excludentes. Desse modo, n(A ∩ B) = 0. Por fim, temos que:
Videoaula: Como resolver questões de probabilidade no Enem?
Exercícios resolvidos sobre probabilidade da união de dois eventos
Questão 1
(Fepese) Sejam dois eventos, A e B, mutuamente exclusivos. A probabilidade de ocorrência de A vale 0,2. A probabilidade de ocorrência de B vale 0,4.
Quanto vale a probabilidade de ocorrência do evento A união B?
A) 0,08
B) 0,4
C) 0,48
D) 0,52
E) 0,6
Resolução:
Alternativa E
Sabemos que:
Como os eventos são mutuamente exclusivos, P(A ∩ B) = 0.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P(A ∪ B) = 0,2 + 0,4
P(A ∪ B) = 0,6
Questão 2
Dois dados são lançados simultaneamente, e o resultado é a soma das faces superiores. A probabilidade do resultado do lançamento ser maior que 9 ou um número primo é de:
A) 0,50
B) 0,58
C) 0,61
D) 0,65
E) 0,72
Resolução:
Alternativa C
Primeiramente, vamos construir o espaço amostral por meio de uma tabela:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Note que há 36 resultados distintos na tabela. Logo, n(Ω) = 36.
Agora, vamos definir os eventos:
Analisando a tabela, há 6 resultados maiores que 9, então temos que n(A) = 9.
Analisando a tabela, os números primos são 2, 3, 5, 7 e 11. Calculando a quantidade de vezes em que cada um aparece, temos que n(B) = 15.
Analisando a intersecção, sabemos que 11 está sendo contado nos dois conjuntos, pois ele é um número primo e, também, maior que 9. Há duas maneiras diferentes de se chegar a 11 como resultado. Dessa forma, temos que:
n(A ∩ B) = 2
Então, calculando a probabilidade:
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática