Quantos números inteiros entre 100 e 300 tem somente algarismo ímpares?

São exemplos de conjuntos numéricos o conjunto dos Números Naturais, que é formado pelos números positivos e pelo zero; Números Inteiros, formado pelos números inteiros negativos, positivos e pelo zero; e Números Racionais, formado pelo resultado da divisão de dois números inteiros; entre outros.

O conjunto dos números inteiros pode ser dividido em diversos subconjuntos. Dentre as divisões mais usuais estão:

a- Conjunto dos números naturais;

b- Conjunto dos números pares;

c- Conjunto dos números ímpares.

Qualquer número par pode ser escrito na forma 2n (2 vezes n). Por exemplo o número 8, que é par e pode ser escrito como 2*4.

Qualquer número ímpar pode ser escrito na forma 2n + 1, por exemplo o número 7, que é o mesmo que 2*3 + 1.

Partindo desse princípio, os números pares e ímpares possuem propriedades usadas para avaliar se algumas operações básicas entre eles resultam em números pares ou ímpares:

i- A soma ou subtração de dois números pares resulta em um novo número par.

Considere os números pares 2a e 2b, somaremos dois números pares diferentes:

2a + 2b =

2(a + b), fazendo (a + b) = m teremos:

2(a + b) = 2m

Ora, 2*m, que é o resultado da soma de dois números pares quaisquer, compartilha a fórmula acima e por isso também é um número par.

ii- A soma ou subtração de dois números ímpares resulta em um número par.

Tome dois números ímpares quaisquer, 2a + 1 e 2b + 1, e some-os para observas os resultados:

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(2a + 1) + (2b + 1) =

2a + 1 + 2b + 1 =

2a + 2b + 1 + 1 =

2(a + b) + 2, fazendo (a + b) = c teremos:

2c+2 =

2(c + 1), fazendo c + 1 = m teremos:

2(c + 1) = 2m

Portanto, somando dois números ímpares, o resultado será um número par.

iii- A multiplicação de dois números pares terá como resultado um número par.

Considere dois números pares quaisquer 2a e 2b e multiplique-os:

2a*2b = 4ab, Fazendo ab = n teremos:

2a*2b = 2n que é um número par.

iv- A soma de um número par com um número ímpar tem como resultado um número ímpar.

Para demonstrar essa propriedade, considere 2a um número par qualquer e 2b + 1 um número ímpar qualquer e some-os:

2a + 2b + 1 =

2(a + b) + 1, fazendo (a + b) = n teremos:

2n + 1

Que é a fórmula que representa um número ímpar qualquer.

v- A multiplicação entre dois números ímpares tem como resultado outro número ímpar.

Considere os números ímpares quaisquer: 2a + 1 e 2b + 1

(2a + 1)*(2b + 1) =

4ab + 2a + 2b + 1

Observe que, independente dos valores de a e de b, no final existe a parcela “+1”, o que configura esse resultado como ímpar.

Os conjuntos numéricos são reuniões de números que apresentam uma ou mais características em comum. Todo conjunto numérico possui subconjuntos, que são definidos impondo uma condição adicional ao conjunto numérico observado. É assim que são definidos os conjuntos dos números pares e ímpares, que são subconjuntos dos números inteiros.

Por esse motivo, é importante compreender bem o que são conjuntos, subconjuntos e o conjunto dos números inteiros para obter detalhes mais aprofundados sobre os números pares e ímpares.

Conjunto dos números inteiros

O conjunto dos números inteiros é formado apenas por números que não são decimais, ou seja, que não possuem vírgula. Em outras palavras, são os números que representam unidades que ainda não foram repartidas.

A esse conjunto, pertencem os números inteiros negativos, o zero e os números inteiros positivos. Assim, podemos escrever seus elementos da seguinte maneira:

Z = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}

Uma informação adicional: o conjunto dos númerosnaturais está contido no conjunto dos números inteiros, pois os números naturais são aqueles que, além de inteiros, não são negativos. Portanto, o conjunto dos números naturais é um dos subconjuntos do conjunto dos números inteiros.

Números pares

Assim como o conjunto dos números naturais é subconjunto dos números inteiros, o conjunto dos números pares também é. Em um primeiro momento, aprendemos a reconhecer os elementos do conjunto dos números pares por meio de brincadeiras. A regra usada é: todo número par termina com 0, 2, 4, 6 ou 8. Dessa maneira, 224, por exemplo, é um número par porque termina com o algarismo 4.

Entretanto, essa é uma consequência da definição formal de número par, que pode ser compreendida como:

Todo número par é múltiplo de 2.

Existem outras definições para os elementos desse subconjunto dos números inteiros, por exemplo:

Todo número par é divisível por 2.

A “definição algébrica” usada para reconhecer os elementos desse conjunto é: dado um número p, pertencente ao conjunto dos números inteiros, p será par se:

p = 2n

Nesse caso, n é um elemento do conjunto dos números inteiros. Note que essa é a “tradução” da primeira definição em termos algébricos.

Números ímpares

Os números ímpares são os elementos do conjunto dos números inteiros que não são pares, ou seja, são os números que terminam com algum dos algarismos 1, 3, 5, 7 ou 9. Formalmente, o conjunto dos números ímpares é um subconjunto dos números inteiros, e a definição de seus elementos é:

Todo número ímpar não é múltiplo de 2.

Os elementos desse subconjunto ainda podem ser definidos:

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Todo número ímpar não é divisível por 2.

Além disso, também é possível escrever a definição algébrica para os elementos do conjunto dos números ímpares: dado um número inteiro i, ele será ímpar se:

i = 2n + 1

Nessa definição, n é um número pertencente ao conjunto dos números inteiros.

Propriedades

As propriedades a seguir são resultados da definição de números pares e ímpares e da ordenação do conjunto dos números inteiros.

1 – Entre dois números ímpares consecutivos sempre existe um número par.

É por esse motivo que não precisa haver dúvidas quanto ao número zero. Como ele está entre – 1 e 1, que são inteiros ímpares consecutivos, então ele é par.

2 – Entre dois números pares consecutivos sempre existe um número ímpar.

3 – A soma entre dois números inteiros consecutivos sempre será um número ímpar.

Para mostrar isso, considere n um número inteiro e observe a adição entre 2n e 2n + 1, que são os inteiros consecutivos formados por ele:

2n + 2n + 1 =

4n + 1 =

2(2n) + 1

Sabendo que 2n é igual ao número inteiro k, temos:

2(2n) + 1 =

2k + 1

Que cai justamente na definição de número ímpar.

4 – Dados os números a e b consecutivos, a é par e b é ímpar, a diferença entre eles sempre será igual a:

1, se a < b

– 1, se a > b

Como os números são consecutivos, a diferença entre eles sempre deverá ser de uma unidade.

5 – A soma entre dois números ímpares, ou entre dois números pares, tem como resultado um número par.

Dados os números 2n e 2m + 1, teremos:

2n + 2n = 4n = 2(2n)

Fazendo 2n = k, que também é um número inteiro, teremos:

2(2n) = 2k

Que é um número par.

2m + 1 + 2m + 1 = 4m + 2 = 2(2m + 1)

Sabendo que 2m + 1 = j, que também é um número inteiro, teremos:

2(2m + 1) = 2j

Que é um número par. Usando cálculos semelhantes, podemos concluir todas as propriedades a seguir:

6 – A soma entre um número par e um número ímpar é sempre igual a um número ímpar.

7 – A diferença entre dois números ímpares, ou entre dois números pares, é sempre igual a um número par.

8 – O produto entre dois números ímpares é igual a um número ímpar.

9 – O produto entre dois números pares terá como resultado um número par.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

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