A Análise combinatória é a parte da Matemática que estuda os problemas de contagem. Ela surgiu da necessidade de se calcular o número de possibilidades que podem ocorrer numa certa experiência, sem precisar descrever cada uma dessas possibilidades. Show
Alguns problemas bem simples podem ser resolvidos enumerando-se todas as possibilidades. Quando descrevemos todas as possibilidades de uma experiência ou evento, fazemos uma contagem direta. No dia-a-dia, estamos acostumados a fazer contagens diretas como, por exemplo, quantos dias faltam para o início de nossas férias, de quantas maneiras diferentes podemos combinar 3 blusas com 2 calças diferentes, quantos são os resultados possíveis ao lançar uma moeda duas vezes seguidas, etc. Em outras situações, entretanto, a enumeração torna-se muito trabalhosa ou, por vezes, impraticável. Surge, então, a necessidade de utilizarmos algumas técnicas de contagem. Conteúdo deste artigo
Diagrama de árvoreO diagrama de árvore ou diagrama das possibilidades é um esquema utilizado para enumerar todas as possibilidades de um evento com o objetivo de facilitar a resolução dos problemas de contagem. Note que a árvore é construída da esquerda para a direita e que o número de “ramos” que saem de cada ponto corresponde ao número de possibilidades em que o evento pode ocorrer. Por exemplo, retomemos o nosso problema de como combinar 2 calças e 3 blusas diferentes. Pelo diagrama acima, temos:
Podemos concluir, portanto, que são 6 possibilidades. Uma moeda tem duas faces: cara (C) e coroa (K). Lança-se a moeda três vezes consecutivas e observa-se qual face ficou voltada para cima. Quais e quantos são os resultados possíveis. Podemos notar, pelo diagrama de árvore, ao lado, que são os resultados possíveis são: Ω = {(C, C, C); (C, C, K); (C, K, C); (C, K, K); (K, C, C); (K, C, K);(K, K, C); (K, K, K)} Total de possibilidades: 8 Princípio Fundamental da Contagem (PFC)Nos casos em que as alternativas de escolha forem muitas, o diagrama de árvore é pouco prático. Para essas situações, usamos o princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo, que é um método algébrico para determinar o número total de possibilidades. Este método consiste em multiplicar o número de possibilidades de cada etapa do experimento. Para entendermos melhor, observe o infográfico abaixo: Exercícios resolvidos de Análise combinatória1º) Há quatro estradas ligando as cidades A e B, e três estradas ligando as cidades B e C. De quantas maneiras distintas pode-se ir de A até C, passando por B? Resolução: Aplicando o princípio fundamental da contagem (PFC), temos: p1: existem 4 possibilidades para ir da cidade A até a cidade B; p2: existem 3 possibilidades para ir da cidade B até a cidade C Logo: existem p1 . p2 = 4 . 3 = 12 maneiras de ir de A até C, passando por B. 2º) Um teatro tem 4 portas. De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode entrar e sair do teatro? Resolução: Aplicando o princípio fundamental da contagem (PFC), uma das principais ferramentas da Análise Combinatória, temos: p1: existem 5 possibilidades para entrar no teatro; p2: existem 5 possibilidades para sair do teatro. Logo: existem p1 . p2 = 5 . 5 = 25 maneiras para entrar e sair do teatro. 3º) Quantos são os números de três algarismos distintos que podemos formar com os algarismos do sistema decimal? Resolução: Temos três posições para preencher: 1ª 2ª 3ª Como não podemos começar com zero e os algarismos devem ser distintos, pelo (PFC), temos: 4º) Quantas placas de veículos podem ser criadas, se forem usadas duas letras de um alfabeto de 26 letras, seguidas por 4 algarismos? Resolução: Para formarmos uma placa de duas letras e 4 algarismos, passamos por 6 etapas. Sejam:
Então, pelo princípio fundamental da contagem, temos: k1 . k2 . k3 . k4. k5 . k6 = 26.26.10.10.10.10 = 6.760.000 possibilidades Tipos de agrupamentosArranjo simplesNum conjunto A com n elementos, são arranjos simples todos os agrupamentos ordenados formados por p elementos distintos escolhidos entre os n elementos distintos dados, com p menor ou igual a n. Arranjo com repetiçãoChama-se arranjo com repetição ou arranjo completo, todo agrupamento de p elementos de um conjunto dado, com n elementos diferentes, onde a mudança de ordem determina grupos diferentes, podendo, porém, ter elementos repetidos. Permutação simplesA permutação é um arranjo de ordem máxima, ou seja, faz uso de todos os elementos do conjunto (n=p). Permutação com repetiçãoAssim como na permutação simples, a diferença entre arranjo e permutação é que esta faz uso de todos os elementos do conjunto. Na permutação com repetição, as repetições são permitidas. Podemos estabelecer, entre o número de elementos n e as vezes que um mesmo elemento aparece, na fórmula. Combinação simplesChama-se combinação simples todo subconjunto formado por p elementos distintos de um conjunto de n elementos distintos dados. Neste tipo de agrupamento a ordem dos elementos não importa. Referências bibliográficas: 1. MORGADO, Augusto C.; CARVALHO, João B. P. de; CARVALHO, Paulo Cezar P.; FERNANDEZ, Pedro – Análise Combinatória e Probabilidade – 9ª ed. – Rio de Janeiro, SBM, 1991 2. SANTOS, José Plínio O.; MELL, Margarida P.; MURARI, Idani T. C. – Introdução à Análise Combinatória – 4ª edição revista – Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2007. 3. LIMA, Elon Lages. A Matemática do Ensino Médio. Volume 2, 6.ed. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2006 Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/analise-combinatoria/ Sabe-se que, em um grupo de 10 pessoas, o livro A foi lido por 5 pessoas e o livro B foi lido por 4 pessoas. Podemos afirmar corretamente que, nesse grupo: Qual a probabilidade de uma moeda dar cara 3 vezes seguidas?A probabilidade de tres caras em lançamentos independentes de uma moeda honesta sera p (cara)*p (cara)*p (cara)=0,5^3 =0,125.
Quantos é quais são os possíveis resultados quando lançamos uma moeda 3 vezes consecutivas?Resposta: 8 possibilidades.
Qual a probabilidade de se lançar uma moeda por 3 vezes é como resultado sair 3 caras?Tem 1/8 de chance de cair tres caras.
Quais os resultados possíveis ao lançarmos 3 vezes uma moeda é observarmos a face de cima?Resposta. 2x2x2= 8 possibilidades.
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