Qual é o polígono em que a soma das medidas dos ângulos internos é o quádruplo da soma das medidas do ângulo externo?

Pré-visualização | Página 1 de 1

PRATICANDO Unidade 12: Quadriláteros e outros polígonos Matemática EDIÇÃO RENOVADA Sugestões de Atividades 8 2 1 Escreva V (verdadeiro) ou F (falso). a) ( ) O quadrado tem os quatro lados con- gruentes. b) ( ) O retângulo tem os quatro lados con- gruentes. c) ( ) O losango tem os quatro ângulos con- gruentes. d) ( ) O quadrado tem os quatro ângulos con- gruentes. e) ( ) O quadrado é o polígono regular de quatro lados. f) ( ) Todo losango é um paralelogramo. g) ( ) Todo paralelogramo é um retângulo. h) ( ) Existem paralelogramos que são losan- gos. i) ( ) Todo quadrado é um retângulo. j) ( ) Todo quadrado é losango e retângulo. k) ( ) Existem losangos que são retângulos. l) ( ) Existem losangos que são quadrados. m) ( ) Todo losango é retângulo e quadrado. 2 Calcule os ângulos de um trapézio isósceles sabendo que um dos seus ângulos mede 60°. 3 Um ângulo de um paralelogramo mede 32°. Determine os outros ângulos do paralelo- gramo. 4 Calcule os ângulos de um paralelogramo sabendo que um de seus ângulos é 1 3 de um dos ângulos obtusos. 5 Qual polígono regular tem ângulo interno de 108°? a) pentágono b) hexágono c) heptágono d) octógono e) dodecágono 6 Sendo GATO um losango, determine x e y. G O x y A T 140° 7 Em uma gincana escolar, com ajuda de uma bússola, um aluno de cada grupo partici- pante deveria cumprir a seguinte tarefa: Posicione-se num ponto inicial; gire 60° à direita e dê 10 passos. Repita a operação até que chegue ao ponto inicial. 60° 60° 60° Início Assinale a alternativa que informa corretamente a figura plana que representa a movimentação do aluno e o total de passos dados. a) Hexágono regular; 60 passos. b) Dodecágono regular; 120 passos. c) Octógono regular; 80 passos. d) Pentágono regular; 50 passos. e) Triângulo equilátero; 30 passos. 8 Num paralelogramo ABCD, Â 5 2x e BC = x 1 50°. Quanto mede o ângulo B? 9 No trapézio isósceles ABCD, Â = 4x + 15° e BB = 2x – 15°. Qual é o valor de x? D C A B 3 10 Os ângulos externos de um polígono regu- lar medem 20°. Então o número de lados desse polígono é: a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 20 11 Na figura a seguir, foram conectados vários pentágonos regulares, formando uma estrela de cinco pontas. θ Nessas condições, o ângulo  mede: a) 108° b) 72° c) 54° d) 36° e) 18° 12 O ângulo interno de um polígono regular é o triplo do ângulo externo. Que polígono é esse? 13 Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular.  A B C D E A medida, em graus, do ângulo  é: a) 32° b) 34° c) 36° d) 38° e) 40° 14 Um trapézio pode ter três ângulos internos agudos? Por quê? 15 Em um losango, uma diagonal faz um ân- gulo de 60° com um lado. Determine as medi- das dos ângulos internos. 16 Os ângulos internos agudos de um trapézio medem 60° e 75°. Quanto medem os ângulos obtusos? 17 Um ângulo interno de um paralelogramo mede 55°. Quanto medem os demais ângulos internos? 18 Nesta figura, os ângulos Ba, Bb, Bc, Bd medem, respectivamente, x 2 , 2x, 3x 2 e x. O ângulo e é reto. Qual é a medida do ângulo f ? Ba Bb Bc Bd Be Bf a) 16° b) 18° c) 20° d) 22° 19 Qual o polígono em que a soma das me- didas dos ângulos internos é o quádruplo da soma das medidas dos ângulos externos? 20 As mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono regular formam um ângulo de 24°, conforme mostra a figura. Determine a medida do ângulo interno ai e o número de lados desse polígono. A M1 M2 B 24° ai P C 4 Gabarito 1 a) V b) F c) F d) V e) V f) V g) F h) V i) V j) V k) V l) V m) F 2 Dois ângulos de 60° e dois ângulos de 120°. 3 32°, 148° e 148° 4 Dois ângulos agudos de 45° e dois ângulos obtusos de 135°. 5 Alternativa a. 6 x = 140° e y = 20° 7 Alternativa a. 8 80° 9 x = 30° 10 Alternativa d. 11 Alternativa d. 12 Octógono. 13 Alternativa c. 14 Se o trapézio tiver três ângulos agudos, então um lado que não seja base do tra- pézio será adjacente a dois ângulos agudos. No entanto, como os ângulos adjacentes a esse lado são colaterais internos, sua soma é igual a 180°, contradizendo o fato de os dois serem agudos. 15 120° e 60° 16 120° e 105° 17 55°, 125° e 125° 18 Alternativa b. 19 Decágono. 20 ai = 156° e n = 15

Polígonogos regulares

1. Definição

Um polígono diz-se regular se tiver todos os seus lados e ângulos iguais, sejam eles internos ou externos. Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência.

Observação:

Polígono convexo: Aquele em que se unirmos dois pontos quaisquer, eles jamais passarão pelo lado de fora do polígono. Para um polígono ser convexo, quaisquer dos pontos tem que estar dentro dessa regra.

2. Soma dos Ângulos Internos (Si)

A soma dos ângulos internos (Si) de um polígono de n lados é igual a 180º.(n-2), ou seja:  

Si = 180º . (n – 2)

3. Ângulo interno

Oângulo interno (Ai) de um polígono de n lados é igual a Si/n, ou seja: 

Ai = 180º.(n-2)/n

4. Soma dos Ângulos Externos (Se)

A soma dos ângulos externos em qualquer polígono regular é sempre 360º

5. Ângulo externo

Oângulo externo (Ae) de um polígono de n lados é igual a 360º/n, ou seja:  

Ae = 360/n

01. Qual a soma dos ângulos internos de um polígono regular de 20 lados?

RESOLUÇÃO:

Si = 180.(n-2)

Si = 180 (20 – 2)

Si = 180 (18)

Si = 3240

RESPOSTA: 3240

02.Quantas diagonais possui um polígono regular de 15 lados?

RESOLUÇÃO:

Nd = n(n-3)/2

Nd = 15 (15 – 3)/15

Nd = 15.12/15

Nd = 12

RESPOSTA: 12 diagonais

03.Quanto mede o ângulo interno de um polígono regular de 13 lados?

RESOLUÇÃO:

Ai = Si/n

Ai = 180(n-2)/n

Ai = 180(13-2)/13

Ai = 180.11/13

Ai = 152º

RESPOSTA: 152,3º

04. Quanto mede o ângulo externo de um polígono de 18 lados?

RESOLUÇÃO:

Ae = Ae/n

Ae = 360/18

Ae = 20º

RESPOSTA: 20º

05.Qual é o polígono em que a soma das medidas dos ângulos internos é o quádruplo da soma das medidas dos ângulos externos?

RESOLUÇÃO:

Si = 4Se

180.(n-2) = 4. 360

n – 2 = 4 . 2

n – 2 = 8

n = 8 + 2

n = 10

RESPOSTA: decágono

06. Os números que exprimem o número de lados de três polígonos são n – 3, n e n + 3. Determine o número de lados desses polígonos, sabendo que a soma de todos os seus ângulos internos vale 3 240°.

RESOLUÇÃO:

S1 = ( n – 3 – 2) · 180 = (n – 5) · 180

S2 = (n – 2) · 180

S3 = (n + 3 – 2) · 180 = (n + 1) · 180

S1 + S2 + S3 = 3 240

(n – 5) · 180 + (n – 2) · 180 + (n + 1) · 180 = 3 240

[n – 5 + n – 2 + n + 1] · 180 = 3 240

3 n – 6 = 18

3 n = 24

n = 8

Teremos:

n – 3 = 8 – 3 = 5 lados

n = 8 lados

n + 3 = 8 + 3 = 11 lados

RESPOSTA: 5 lados, 8 lados e 11 lados

07. Qual é a soma das medidas dos ângulos internos do polígono que tem um número de diagonais igual ao quádruplo do número de lados?

RESOLUÇÃO

Nd = n(n-3)/2

Dado que Nd = 4n, temos

n.(n-3)/2 = 4n (Dividindo ambos os membros por n):

n - 3 = 8

n = 8 + 3

n = 11

Si = 180.(n-2)

Si = 180 (11 – 2)

Si = 180 . 9

Si = 1620º

RESPOSTA: 1620º

08. Os números dos lados de dois polígonos convexos são consecutivos e um deles tem 9 diagonais a mais que o outro. Que polígonos são esses?

RESOLUÇÃO:

Polígono 1 = n lados

Polígono 2 = (n + 1) lados

Nd 2 - Nd1 = 9

[(n + 1)(n +1 – 3)]/2 - n(n -3)/2 = 9

n² - 2n + n - 2 – n² + 3n = 18

2n = 18 + 2

2n = 20

n = 10

Polígono 1 = 10 lados (decágono)

Polígono 2 = 11 lados (undecágono)

RESPOSTA: decágono e o undecágono.

Qual é o polígono em que a soma das medidas dos ângulos internos é o quádruplo?

Qual é o polígono em que a soma das medidas dos ângulos internos é igual ao quádruplo da soma dos ângulos externos?

Qual é o polígono em que a soma das medidas dos ângulos internos?

Qual o polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos mais a soma das medidas dos ângulos externos é igual a 1440?