Como saber o número de faces de um poliedro?
Relação de Euler
- A relação de Euler é uma fórmula matemática que relaciona os números de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo. ...
- V – A + F = 2.
- Onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces do poliedro.
Como calcular o número de vertices de um poliedro?
Exemplo: Um poliedro tem 6 faces e 12 arestas.
- V = 2 - F + E.
- V = 2 - 6 + 12.
- V = -4 + 12.
- V = 8.
Qual é o número de faces de um poliedro convexo de?
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Qual é o número de faces de um poliedro convexo que possui 10 vertices?
Resposta. Olá. F = 2 + 5 = 7 faces possue esse poliedro convexo. Lembra-se que a relação de Euler é muito essencial para o estudo dos sólidos geométricos.
Quantas faces arestas e vértices possui um poliedro chamado Hexaedro?
O Hexaedro é o poliedro conhecido por ter 6 faces quadrangulares. Cada quadrado possui 4 vértices que recebem 3 arestas cada um.
Quais são os elementos de um poliedro convexo?
Elementos de um poliedro
- Faces: São formadas por planos. Em um poliedro, duas faces nunca estão no mesmo plano, mas estão no mesmo espaço. ...
- Arestas: São os segmentos de reta provenientes do encontro entre duas faces. Uma aresta pertence apenas a duas faces distintas. ...
- Vértices: São os pontos de encontro das arestas.
Qual é o nome do polígono que tem 3 lados 3 ângulos e 3 vértices?
Triângulos
Eduardo Wagner
Comit� Editorial da RPM
Em todo poliedro convexo com V v�rtices, A arestas e F faces, vale a rela��o
Na RPM 03, num artigo do Prof. Zoroastro Azambuja Filho, encontra-se uma demonstra��o elementar e muito bonita do teorema; o leitor pode ver tamb�m a mesma id�ia na demonstra��o que se encontra no volume 2 do livro Matem�tica do ensino m�dio, publicado pela SBM.
A pergunta natural que se imp�e � a seguinte: dados tr�s n�meros naturais V, A e F tais que
Portanto, que condi��es os n�meros V, A e F devem satisfazer, al�m da rela��o de Euler, para que possamos garantir a exist�ncia de um poliedro com esses n�meros de v�rtices, arestas e faces? Obter a resposta para essa pergunta � o objetivo deste artigo.
Imagine um poliedro (ver a defini��o no Ap�ndice) P com todas as suas faces triangulares (como o tetraedro, por exemplo). Nesse caso, 3F = 2A, uma vez que cada aresta � lado de exatamente duas faces. Entretanto, se P possui alguma face n�o triangular, ent�o 3F < 2A.
� portanto condi��o necess�ria que
Imagine agora que, no poliedro P, cada v�rtice seja ponto comum a tr�s arestas (como no cubo, por exemplo). Nesse caso, 3V = 2A, pois, contando as arestas que incidem em cada v�rtice, teremos contado cada uma duas vezes. Entretanto, se P possui algum v�rtice onde incidem mais de 3 arestas, teremos 3V < 2A.
� portanto condi��o necess�ria que
Se
P � convexo, ent�o
Portanto, para a exist�ncia de um poliedro convexo com V v�rtices, A arestas e F faces, � necess�rio que, al�m da rela��o de Euler, e de que
Se o n�mero de arestas � pequeno, podemos facilmente investigar o aspecto de alguns poliedros. Por exemplo: Como s�o os poliedros que possuem 10 arestas?
Considerando as condi��es que acabamos de estabelecer, se A = 10, devemos ter
Logo, F = 6 e V = 6. Veja como eles s�o:
O primeiro � uma pir�mide pentagonal e o segundo possui duas faces quadrangulares e quatro faces triangulares.
Observe que n�o podemos construir um poliedro, com as caracter�sticas estabelecidas, somente com faces triangulares. Como vimos antes, se um poliedro possui apenas faces triangulares, ent�o 3F = 2A, o que n�o ocorre aqui.
Vamos prosseguir para encontrar condi��es suficientes para a exist�ncia de um poliedro convexo com V v�rtices, A arestas e F faces.
Representaremos por (V, A, F) qualquer um dos poliedros da fam�lia de todos os poliedros que possuem V v�rtices, A arestas e F faces. Por exemplo, (6, 10, 6) representa qualquer um dos dois poliedros que est�o ilustrados na figura anterior.
Existe um poliedro convexo com V v�rtices, A arestas e F faces se, e somente se:
i)
ii)
iii)
iv)
Prova: Inicialmente observamos que as condi��es i) e iv) podem ser obtidas de ii) e iii); logo, n�o seria necess�rio escrev�-las, mas optamos por faz�-lo para maior clareza.
J� vimos que as condi��es s�o necess�rias. Vamos ent�o provar a sufici�ncia.
a)Inicialmente, definimos os poliedros (fam�lias) que chamaremos de primitivos. S�o os seguintes:
(4, 6, 4): o tetraedro,
(5, 8, 5): a pir�mide de base quadrangular,
(6, 10, 6): os poliedros que ilustramos na p�gina anterior.
b) Vamos agora definir duas transforma��es a serem aplicadas nos poliedros primitivos:
A transforma��o denotada por (2, 3, 1) acrescenta a um poliedro dois v�rtices, tr�s arestas e uma face. Ela � realizada ajustando as arestas que incidem em um v�rtice, acrescentando uma nova face triangular como mostra a figura a seguir. As arestas e os v�rtices novos est�o em negrito.
A transforma��o denotada por (1, 3, 2) acrescenta a um poliedro um v�rtice, tr�s arestas e duas faces. Ela � realizada, introduzindo duas faces triangulares novas a partir de duas arestas adjacentes de uma face do poliedro. As arestas novas e o v�rtice novo est�o em negrito.
A id�ia dessas transforma��es deve-se a Edward Bender, da Universidade da Calif�rnia, que as publicou no artigo �The number of three dimensional convex polyhedra�, da American Mathematical Monthly, volume 94, January, 1987. Washington, D.C.
Os poliedros primitivos satisfazem as condi��es i) a iv) e, aplicando-se a eles qualquer n�mero de transforma��es (1, 3, 2) ou (2, 3, 1), continuamos obtendo poliedros que satisfazem essas condi��es. Por exemplo, se aplicarmos x vezes a transforma��o (1, 3, 2) ao poliedro (4, 6, 4), obtemos o poliedro
satisfaz ii), pois 4 + x � 6 � 3x + 4 + 2x = 2;
satisfaz iii), pois
satisfaz iv), pois
Um trabalho an�logo mostra que os tr�s poliedros primitivos submetidos �s transforma��es (1, 3, 2) e (2, 3, 1) conservam as condi��es i) a iv).
A parte final vem a seguir, onde mostraremos que se V, A, e F satisfazem as condi��es i) a iv), existe um poliedro com esses n�meros de v�rtices, arestas e faces.
c)Dado (V, A, F), satisfazendo i) a iv), existem inteiros n�o negativos x e y e existe um poliedro primitivo
Para provar isso, observe inicialmente o n�mero de arestas dos poliedros primitivos. No primeiro, o n�mero de arestas � m�ltiplo de 3, no segundo, deixa resto 2 quando dividido por 3 e, no terceiro, deixa resto 1 quando dividido por 3. Veja tamb�m que, para quaisquer x e y, o n�mero A permanece inalterado (m�dulo 3), ou seja, seu resto na divis�o por 3 permanece o mesmo.
Suponhamos que A
Nesse caso, mostraremos que existem inteiros n�o negativos x e y tais que
o que � equivalente ao sistema:
Se x e y satisfazem a primeira e a terceira equa��es, ent�o tamb�m satisfazem a segunda, uma vez que somando a primeira e a terceira equa��es obtemos, usando a rela��o de Euler,
Devemos ainda mostrar que as solu��es x e y do sistema
Vamos provar que x � inteiro:
Como estamos no caso A
Como 3V
2F
Assim,
Da mesma forma, mostra-se que y � inteiro.
Com procedimento an�logo mostra-se que, se A
e que, se A � 2 (mod 3), conseguimos encontrar x e y inteiros positivos tais que
NOTA DA RPM: A id�ia deste artigo foi inicialmente apresentada pela professora Silvana L. Vincenzi Bortolotti � CEFET � Medianeira � PR, que enviou � RPM uma proposta de artigo tratando do assunto. Agradecemos a ela o interesse pela RPM e por ter chamado nossa aten��o sobre o tema.
O que significa a palavra poliedro neste artigo
Poliedro pode ser definido com diferentes n�veis de generalidade. Como estamos interessados aqui na rela��o de Euler, vamos inicialmente definir poliedros convexos, para os quais a rela��o vale.
Um poliedro convexo � uma reuni�o de um n�mero finito de pol�gonos planos de modo que:
a) Cada lado de um pol�gono � tamb�m lado de um, e apenas um, outro pol�gono.
b) O plano que cont�m um desses pol�gonos deixa todos os outros em um mesmo lado.
Cada pol�gono � denominado face do poliedro, cada lado comum a dois desses pol�gonos � uma aresta do poliedro e cada v�rtice de um desses pol�gonos � tamb�m v�rtice do poliedro.
� verdade que todo poliedro convexo satisfaz a rela��o de Euler, mas � f�cil achar exemplos de poliedros n�o convexos para os quais ela ainda vale, como o poliedro P, na figura a
seguir. Observe agora o poliedro
Diremos que os poliedros P e
Dois poliedros s�o equivalentes se existe uma deforma��o cont�nua que transforma qualquer um deles no outro.
No caso dos poliedros P e
Com essa ferramenta, podemos modificar a forma de um poliedro como se ele fosse de borracha, sem nos preocuparmos se as faces s�o planas ou se as arestas s�o retas.
Em todo o artigo, a palavra poliedro designa um objeto que � equivalente a um poliedro convexo. Isso permite ler a demonstra��o sem a preocupa��o da convexidade a cada instante.
No livro Meu professor de Matem�tica, do prof. Elon Lages Lima, o leitor encontrar� material interessant�ssimo sobre poliedros, sua hist�ria, a dificuldade em conseguir uma defini��o e duas demonstra��es do teorema de Euler.
Refer�ncia bibliogr�fica:
BENDER, E. A. The number of three dimensional convex polyhedra. The American Mathematical Monthly, volume 94, number 1, January, 1987. Washington, D.C.