Dado um polígono convexo qualquer, diagonal é o segmento que une dois vértices não consecutivos (ou adjacentes).
Exemplos:
Um triângulo não possui diagonais, pois, como só possui três vértices, não é possível unir dois vértices não consecutivos.
Cálculo do número de diagonais
Vamos aprender a calcular o número de diagonais de um polígono convexo qualquer.
Basta observar os exemplos:
Na figura 1, temos 5 vértices no total. Do vértice A, podemos traçar diagonais para os vértices C e D, que não são adjacentes a ele. Do vértice B, podemos traçar diagonais para os vértices D e E, seus não adjacentes. Assim, de cada vértice, é possível traçar 2 diagonais, pois são 5 vértices, menos 2 adjacentes e o próprio vértice considerado.
Se pensássemos em 2 diagonais por vértice, teríamos 2 x 5 = 10 diagonais. No entanto, podemos observar só 5. Isso ocorre porque as diagonais AD e DA são a mesma diagonal.
Na figura 2, ocorre a mesma coisa: temos 4 vértices e, descontando, para cada vértice, os dois vértices adjacentes e o próprio vértice considerado, teremos 1 diagonal por vértice e 4 x 1 = 4 diagonais ao todo. No entanto, só temos 2, pelo mesmo motivo da figura 1.
Na figura 3, são 6 vértices ao todo. Se descontarmos, para cada vértice, 3 vértices para onde não podemos traçar diagonais, teremos 3 diagonais por vértice e 6 x 3 = 18 diagonais ao todo. No entanto, só podemos observar 9.
Na figura 4, são 7 vértices ao todo. Se descontarmos, para cada vértice, 3 vértices para onde não podemos traçar diagonais, teremos 4 diagonais por vértice e 7 x 4 = 28 diagonais ao todo. No entanto, só podemos observar 14.
A partir desses exemplos, podemos observar a regularidade e generalizar, para qualquer polígono.
Assim, para um polígono convexo qualquer, podemos achar o número de diagonais d a partir do número n de vértices da seguinte forma:
- descontando de n os 3 vértices para onde não podem ser traçadas diagonais (os 2 adjacentes e ele mesmo): n - 3;
- multiplicando o resultado obtido pelo número
de vértices: n . (n - 3) ;
- dividindo o resultado obtido por 2, devido às diagonais repetidas:
Assim, a fórmula que calcula o número de diagonais de um polígono convexo qualquer é:
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
As duas diagonais de um retângulo.
Uma diagonal de um polígono é um segmento de reta entre dois vértices não consecutivos do polígono.
Cálculo do número de diagonais de um polígono[editar | editar código-fonte]
A fórmula para se calcular a quantidade de diagonais "D" que tem em um polígono de "n" lados é a seguinte:
É necessário realçar que o triângulo não possui diagonais, e o pentágono é o único polígono, cujo número de diagonais é o mesmo que o número de lados.
|
|
|
|
|
Desenvolvendo a fórmula do cálculo do número de diagonais de um polígono[editar | editar código-fonte]
Tendo o retângulo acima como base para o estudo da fórmula, isolamos (limitamos nossa atenção) a um dos vértices, tomemos, por exemplo, o vértice A. Para esse vértice, somente é possível fazer diagonal com outro vértice não adjacente a ele, nesse caso, o vértice C. Os vértices B e D devem ser desconsiderados pois formam com o A dois dos lados do polígono.
Criamos uma fórmula que descreva a afirmação anterior:
Seja P o número de diagonais possíveis ao vértice A, desconsiderando os 3 (três) vértices com os quais não é possível ligar uma diagonal, a saber: B, D e o próprio A.
Onde 'n' é o número de vértices do polígono.
Aplicando essa fórmula ao retângulo acima, temos: portanto, para o vértice A uma só diagonal.
Se temos uma fórmula que calcula o número de diagonais para um vértice do polígono, bastaria então multiplicar essa fórmula pelo número de vértices desse polígono para aplicá-la aos outros vértices, porém, o que se observa é que o resultado será sempre o dobro do número de diagonais do polígono, veja:
Isso se deve ao fato que uma diagonal é sempre "compartilhada" por dois vértices, daí a necessidade de se dividir por 2. Então:
ou ainda:
Fica fácil agora entender matematicamente o porquê do triângulo não ter diagonais, uma vez que serão desconsiderados sempre 3 vértices: o próprio e os dois adjacentes.
Combinatoriamente, também é possível calcular o número de diagonais mediante o seguinte raciocínio:
Para cada par de pontos, existe um segmento de reta que os contém. Assim, a combinação de n vértices dois a dois fornece o número de segmentos possíveis entre dois vértices do polígono - há de se retirar, obviamente, o número de lados do polígono, pois estes também são segmentos possíveis entre dois vértices. Assim, temos: