Qual a semelhança entre os critérios de divisibilidade por 3 é por 9?

Critérios de divisibilidade

Nesta Sala, apresentaremos alguns dos tradicionais critérios de divisibilidade e suas respectivas justificativas. Fixado um número natural não nulo [tex]d[/tex], um critério de divisibilidade é uma condição [tex]P[/tex] necessária e suficiente para que um número natural seja divisível por [tex]d[/tex], portanto algo do tipo:

Um número natural n é divisível por d se, e somente se,
a condição P é satisfeita.

Isso não só significa que “se [tex]P[/tex] for satisfeita, então [tex]n[/tex] é divisível por [tex]d[/tex]”, mas também significa que “se a condição [tex]P[/tex] não for satisfeita, então [tex]n[/tex] não é divisível por [tex]d[/tex]”.

Os critérios de divisibilidade conhecidos são consequências da maneira como representamos usualmente os números naturais: utilizando o sistema decimal.
Como é bem conhecido, no sistema decimal representamos os números naturais por uma sequência finita de um ou mais dentre os dez algarismos que caracterizam o sistema: [tex]\quad 0\quad 1\quad 2\quad 3\quad 4\quad 5\quad 6\quad 7\quad 8v9[/tex].
Em cada sequência, os algarismos (também chamados de dígitos) representam múltiplos de potências de dez, o que caracteriza o sistema que utilizamos como um sistema posicional. A soma dos múltiplos das potências de dez relativas a uma dada sequência determina, de modo único, o número que ela representa. Confiram os exemplos:
[tex]\qquad \qquad 324=3\cdot 10^2+2\cdot 10^1+4\cdot 10^0[/tex];
[tex]\qquad \qquad 58017=5\cdot 10^4+8\cdot 10^3+0\cdot 10^2+1\cdot 10^1+7\cdot 10^0[/tex];
[tex]\qquad \qquad 2222222=2\cdot 10^6+2\cdot 10^5+2\cdot 10^4+2\cdot 10^3+2\cdot 10^2+2\cdot 10^1+2\cdot 10^0[/tex].
Assim, assumiremos que se [tex]n[/tex] é um número natural, então existem um número natural [tex]r[/tex] (único) e algarismos [tex]a_0, a_1, …, a_r[/tex] (também únicos) tais que
[tex]\quad \qquad \qquad n=a_r\cdot 10^r+a_{r-1}\cdot 10^{r-1}+\cdots+a_2\cdot 10^2+a_1\cdot 10^1+a_0\cdot 10^0[/tex].
Rigorosamente, deveria ser essa a maneira utilizada para representar um número natural [tex]n[/tex] nas nossas justificativas; mas, para todos tentarem entender as ideias utilizadas, em algumas situações consideraremos que [tex]n[/tex] é um número natural de, no máximo, cinco algarismos.
Para evitar possíveis confusões, nesta Sala não indicaremos produtos pela justaposição de seus fatores: para indicar um produto utilizaremos, apenas, os símbolos [tex]\cdot[/tex] ou [tex]\times[/tex]. Assim, por exemplo, a notação [tex]abc[/tex] não indicará o produto [tex]a\cdot b\cdot c[/tex], já que essa notação será utilizada para representar o número natural [tex]n[/tex] tal que [tex]n=a\cdot 100+b\cdot 10 + c \, [/tex].

Divisibilidade por 2

Um número natural [tex]n[/tex] é divisível por [tex]2[/tex] se, e somente se, terminar em [tex]0[/tex], ou [tex]2[/tex], ou [tex]4[/tex], ou [tex]6[/tex], ou [tex]8[/tex].

Divisibilidade por 3

Um número natural [tex]n[/tex] é divisível por [tex]3[/tex] se, e somente se, a soma de seus algarismos for divisível por [tex]3[/tex].

Podemos ver um caso particular da Justificativa 1 que fizemos, assistindo a um vídeo da Khan Academy. É só clicar no próximo botão. Terminado o vídeo, não se esqueça de fechar a janelinha que se abriu.

Divisibilidade por 4

Um número natural [tex]n[/tex], com mais de dois algarismos, é divisível por [tex]4[/tex] se, e somente se, o número formado por seus dois últimos algarismos for divisível por [tex]4[/tex].

Divisibilidade por 5

Um número natural [tex]n[/tex] é divisível por [tex]5[/tex] se, e somente se, terminar em [tex]0[/tex], ou [tex]5[/tex].

Divisibilidade por 6

Um número natural [tex]n[/tex] é divisível por [tex]6[/tex] se, e somente se, [tex]n[/tex] for divisível, simultaneamente, por [tex]2[/tex] e [tex]3[/tex].

Divisibilidade por 7

Um número natural [tex]n[/tex] é divisível por [tex]7[/tex] se, e somente se, a diferença entre o número obtido de [tex]n[/tex] retirando-se o algarismo das unidades e o dobro do algarismo das unidades for divisível por [tex]7[/tex].

Para evitar o aparecimento de números negativos, a diferença entre o número obtido de n retirando-se o algarismo das unidades e o dobro do algarismo das unidades, deve ser tomada positivamente, ou seja, devemos fazer a diferença entre o maior e o menor dos números obtidos.

Para este critério, os exemplos e as justificativas serão apresentados em um vídeo do Programa de Iniciação Científica da OBMEP. É só clicar no próximo botão. Terminado o vídeo, não se esqueça de fechar a janelinha que se abriu.

Divisibilidade por 8

Um número natural [tex]n[/tex], com mais de três algarismos, é divisível por [tex]8[/tex] se, e
somente se, o número formado por seus três últimos algarismos for divisível por [tex]8[/tex].

Divisibilidade por 9

Um número natural [tex]n[/tex] é divisível por [tex]9[/tex] se, e somente se, a soma de seus algarismos for divisível por [tex]9[/tex].

A Khan Academy também disponibilizou um vídeo para uma demonstração de um caso particular de Divisibilidade por 9. Assista a esse vídeo, clicando no próximo botão. Terminado o vídeo, não se esqueça de fechar a janelinha.

Divisibilidade por 10

Um número natural [tex]n[/tex] é divisível por [tex]10[/tex] se, e somente se, terminar em [tex]0[/tex].

Para finalizar, vamos assistir a mais um vídeo da Khan Academy. Com este último vídeo podemos verificar se os números [tex]2799588[/tex], [tex]5670[/tex] e [tex]100765[/tex] são divisíveis por [tex]2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 9[/tex] e [tex]10[/tex].
Depois de assistir ao vídeo, verifique se os três números analisados são divisíveis por [tex]7[/tex] e por [tex]8[/tex], como exercício.

Testes de divisibilidade para 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10

Vídeo disponibilizado pela Khan Academy

Para conferir a resposta da verificação se os números [tex]2799588[/tex], [tex]5670[/tex] e [tex]100765[/tex] são divisíveis por [tex]7[/tex] e por [tex]8[/tex], é só clicar no botão abaixo.

Equipe COM – OBMEP

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Qual é o critério de divisibilidade por 3 é 9?

Qual é a regra de divisibilidade por 9?

Qual é o critério de divisibilidade dos números 2 3 4 5 6 8 é 9?