Qual a probabilidade de lançar duas moedas idênticas obterem se duas faces iguais nesse lançamento?

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Qual é a probabilidade de obtermos resultados iguais no lançamento de 2 moedas *?
Qual a probabilidade de ao lançar duas moedas simultaneamente obter duas caras?
Qual a probabilidade de se obter duas caras?
Qual o número total de possibilidades no lançamento de duas moedas?

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1. Problema
Colocam se ao acaso 6 botões em um tabuleiro 6× 6, não sendo permitido haver dois botões
em uma mesma casa. Qual a probabilidade de não haver dois botões nem na mesma linha
nem na mesma coluna?
(a) 0.5000
(b) 0.0500
(c) 0.1667
(d) 0.3333
(e) 0.0004
Solução
Há 36 casas no tabuleiro. O número de maneiras de selecionarmos as casas para colocar
o botão é
(
36
6
)
. Como cada linha e cada coluna conterá exatamente um botão, existem 6
maneiras de escolher a casa que será utilizada na primeira linha, 5 maneiras de escolher a
segunda linha e assim por diante; desse modo temos 6! maneiras de distribuir os botões sem
que hajam dois na mesma linha ou na mesma coluna. Segue que a probabilidade desejada é
6!(
36
6
) = 4e− 04.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
2. Problema
Considere o lançamento de duas moedas idênticas, mas desequilibradas. Para cada moeda,
a probabilidade de ocorrer cara é 45% maior do que a probabilidade de obter coroa. Qual é
a probabilidade de obter 2 caras dado que se obteve pelo menos 1 cara?
(a) 0.500
(b) 0.420
(c) 0.216
(d) 0.592
(e) 0.333
Solução
Seja “A” o evento saiu cara e “O” saiu coroa.
Em um lançamento, a probabilidade de obter cara P(A) ou coroa P(O) é igual a 1. Como a
probabilidade de obter cara é 45% maior do que a probabilidade de obter coroa, temos que
P (O) + (1 + 0.45)P (O) = 1
Portanto, P (O) = 0.4082 e P (A) = 0.5918. E as probabilidades em dois lançamentos são
dadas por:
P (AA) = 0.5918× 0.5918 = 0.3503
P (AO) = 0.5918× 0.4082 = 0.2416
P (OA) = 0.2416
P (OO) = 0.4082× 0.4082 = 0.1666
Logo, a probabilidade desejada é
P (AA|AA ∪AO ∪OA) = P (AA)
P (AA ∪AO ∪OA)
=
0.3503
0.8334
= 0.42.
1
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
3. Problema
O dono de um posto recomenda aos três frentistas que eles lavem os para-brisas de todos
os véıculos atendidos. Sabe-se que João, Marcelo e Raul atendem, respectivamente, 35%,
25% e 40% dos véıculos. Eles esquecem de lavar o para-brisas com probabilidade 0.3, 0.2 e
0.25, respectivamente. Se um motorista abastece nesse posto, qual a probabilidade de que o
para-brisas do seu véıculo não seja lavado?
(a) 0.250
(b) 0.015
(c) 0.255
(d) 0.750
(e) 0.085
Solução
Sejam os eventos
J=João realiza o atendimento
M=Marcelo realiza o atendimento
R=Raul realiza o atendimento
N=o para-brisas não é lavado
Pelo enunciado tem-se P (J) = 0.35, P (M) = 0.25, P (R) = 0.4, P (N |J) = 0.3, P (N |M) =
0.2 e P (N |R) = 0.25. Logo, pelo Teorema da Probabilidade Total tem-se que P (N) =
P (J)P (N |J) +P (M)P (N |M) +P (R)P (N |R) = 0.35× 0.3 + 0.25× 0.2 + 0.4× 0.25 = 0.255
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
4. Problema
Suponha que 11% dos imóveis de uma certa cidade são rurais e 89% são urbanos. Suponha
ainda que 77% dos imóveis rurais não realizam a coleta seletiva, enquanto que na área urbana
esse valor é de 49%. Qual é a probabilidade de um imóvel que não realiza a coleta seletiva
ser da área rural?
(a) 0.521
(b) 0.436
(c) 0.085
(d) 0.837
(e) 0.163
2
Solução
Defina os eventos
R = “O imóvel é rural.”
U = “O imóvel é urbano.”
NC = “O imóvel não realiza a coleta seletiva.”
Pelo Teorema de Bayes, a probabilidade desejada é dada por
P (R|NC) = P (NC|R)× P (R)
P (NC|R)× P (R) + P (NC|U)× P (U)
=
0.77× 0.11
0.77× 0.11 + 0.49× 0.89
= 0.163.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
5. Problema
Suponha que 36% dos chutes a gol de um determinado jogador são convertidos a gol. Se em
um determinado jogo de futebol esse jogador teve 15 chutes a gol, qual a probabilidade de
ter convertido mais de 1 gol?
(a) 0.999
(b) 0.998
(c) 0.012
(d) 0.988
(e) 0.990
Solução
SejaX a variável aleatória número de chutes a gol do jogador. Então, X ∼ Binomial(15, 0.36)
e a probabilidade desejada é dada por
1−P (X = 0)−P (X = 1) = 1−
(
15
0
)
0.360(1−0.36)15−0−
(
15
1
)
0.361(1−0.36)15−1 = 0.9883.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
6. Problema
Suponha que para cada cliente que solicita o cancelamento do seu cartão, a companhia
responsável efetivamente realize o cancelamento do cartão do cliente com probabilidade 0.02.
Qual a probabilidade de que sejam necessários exatamente 4 pedidos para que o primeiro
cancelamento seja realizado?
3
(a) 0.0100
(b) 0.0188
(c) 0.0417
(d) 0.0160
(e) 0.0829
Solução
Como o experimento é repetido até que ocorra um sucesso, estamos diante de uma dis-
tribuição geométrica de parâmetro 0.02. Desse modo, representando por X a variável
aleatória relativa ao o número de pedidos necessários para que o primeiro cancelamento
seja realizado, a probabilidade desejada é dada por
P (X = 4) = 0.983 × 0.02 = 0.0188.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
7. Problema
Para inspecionar um lote de 13 peças, o funcionário de uma empresa sorteia uma amostra de
8 peças ao acaso. Caso nenhuma peça defeituosa seja encontrada na amostra o lote é aceito;
caso contrário é devolvido ao fornecedor. Suponha que 1 das 13 peças sejam defeituosas. Se
a escolha for realizada sem reposição qual a probabilidade de aceitação do lote?
(a) 0.006
(b) 0.077
(c) 0.527
(d) 0.071
(e) 0.385
Solução
Seja X a variável relativa ao número de peças defeituosas. A probabilidade de aceitação do
lote é dada por
P (X = 0) =
(
12
8
)(
1
0
)(
13
8
) = 0.385.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
8. Problema
Considere que a chegada de aviões em um aeroporto se dá segundo um modelo Poisson.
Atualmente, a taxa de chegada é de 0,5 avião por minuto, em média, e o aeroporto também
possui capacidade para atender 0,5 avião por minuto. A previsão para os próximos 10 anos
é que o tráfego aéreo irá aumentar em 4 vezes e a capacidade de atendimento será ampliada
em 2 vezes. Caso essas previsões se confirmem, qual a probabilidade de haver aviões sem
atendimento imediato daqui a 10 anos em um dado minuto?
4
(a) 0.594
(b) 0.865
(c) 0.080
(d) 0.406
(e) 0.393
Solução
Sejam X e Y variáveis aleatórias representando a quantidade de aviões que pousam em um
dado minuto no aeroporto, atualmente e em 10 anos, respectivamente.
Então, X ∼ Poisson(0.5) e Y ∼ Poisson(2).
Considerando que a capacidade do aeroporto para daqui há 10 anos será de atender 1 aviões
por minuto, a probabilidade de haver aviões sem atendimento imediato é dada pela proba-
bilidade de chegar mais do que 1 aviões em um dado minuto, ou seja,
P (Y > 1) = 1− P (Y ≤ 1) = 1− P (Y = 0)− P (Y = 1)− ...− P (Y = 1) = 0.594.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
9. Problema
A chance de uma aposta simples (onde escolhe-se 6 números) ganhar a Mega Sena é de
uma em 50063860. A Mega Sena da Virada de 2017 arrecadou o equivalente a 254556391
apostas simples. Nesse contexto, considerando que os números em cada aposta tenham sido
escolhidos de maneira aleatória e independente (todos da Distribuição Uniforme discreta
de 1 a 60), qual era a probabilidade de que exatamente 5 apostadores ganhassem o prêmio
máximo?
(a) 0.419
(b) 0.175
(c) 0.297
(d) 0.581
(e) 0.825
Solução
O número de vencedores tem distribuição binomial com parâmetros 254556391 e 150063860 , ou
seja, X ∼ Bin(254556391, 150063860 ). Utilizando a aproximação de Poisson para a Binomial,
tem-se, aproximadamente, que X ∼ Poisson(np = 5.085). Portanto, a probabilidade de
observarmos exatamente X = 5, é dada por
P (X = 5|X ∼ Bin(254556391, 150063860 )) ≈ P (X = 5|X ∼ Poisson(5.085)) = 17.5%.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
5
10. Problema
Seja X uma variável aleatória cont́ınua cuja função densidade de probabilidade (fdp) é dada
por
fX(x) =

0, se x < 0;
cx2, se 0 ≤ x ≤ 1;
3
4 , se 1 < x ≤ 2;
0, se x > 2.
Qual o valor de E(X)?
(a) 27/32
(b) 1
(c) 18
(d) 3/4
(e) 21/16
Solução
Para que uma função seja densidade de probabilidade de uma variável aleatória,

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Qual é a probabilidade de obtermos resultados iguais no lançamento de 2 moedas *?

P = 50%.

Qual a probabilidade de ao lançar duas moedas simultaneamente obter duas caras?

Reescrevendo a fração em forma de porcentagem, seria 50%.

Qual a probabilidade de se obter duas caras?

Resposta. Resposta:Considerando que elas serão lançadas simultaneamente, elas terão 8 possibilidades, sendo 3 delas que aparecerão 2 caras e 1 coroa. Portanto, a probabilidade de isso acontecer é de 37,5%.