Sabemos que um número é considerado racional se puder ser representado em forma de fração. Portanto, falar em fração é o mesmo que falar em número racional. Show Entre dois números naturais consecutivos existem infinitas frações, por exemplo: entre 2 e 3 existem 21/10, 5/2, 29/10 e assim por diante. Para praticarmos com os alunos a ordem das frações em uma reta numerada, há uma competição muito divertida que faz com que os alunos fiquem a todo o momento envolvidos com a aula. Essa competição pode receber o nome de: Intercalando racionais. Objetivo: Relacionar fração com número natural, observando a característica de cada uma delas. Público alvo: 5º ano ou 6º ano do ensino fundamental. Tempo estimado para realização completa dessa atividade: 5 a 6 aulas. Desenvolvimento da competição: Primeiro momento: divida a turma em duas equipes. Cada equipe deve escolher uma fração que esteja entre os números naturais 0 e 10. Depois de escolher
essa fração, o objetivo é descobrir com o menor número de perguntas possíveis, entre quais números naturais consecutivos está a fração que o outro grupo escolheu. Segundo momento: esse segundo momento é uma evolução da competição onde os participantes deverão dar intervalos menores, ou seja, terão que dizer se a fração escolhida estará entre quais outras frações (está entre 1/2 e 3/4?). Essa segunda etapa é um momento de bastante discussão entre eles, pois com certeza cada grupo não irá escolher frações óbvias para dificultar para o outro grupo. Assim, os grupos terão que construir estratégias mais eficientes e com mais embasamentos matemáticos. Terceiro momento: Depois das estratégias montadas, o
professor deve registrá-las e discutir com os alunos o que é valido e o que não é valido. Para auxiliar essa discussão veja alguns pontos que podem ser abordados: Avaliação: para que o professor tenha uma visão melhor de como cada aluno absorveu o conteúdo monte grupos menores e proponha que eles joguem contra você, assim terá uma idéia se realmente compreenderam. Caso tenha ficado alguma dúvida, proponha uma nova competição, mas com grupos menores. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Pertencem ao conjunto dos racionais os números positivos, negativos, decimais, frações e dízimas periódicas. Representamos esse conjunto por meio da letra Q maiúscula: Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Lê-se: O conjunto dos números racionais é igual a x, tal que x é igual a (a) sobre (b), (a) pertence ao conjunto dos inteiros e (b) pertence ao conjunto dos inteiros com a ausência do zero. É possível realizar as quatro operações com os números racionais. Entre essas operações, podemos destacar:
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Para somar duas ou mais frações, é necessário que o denominador em todas as frações seja o mesmo. Após verificar isso ou reduzir os denominadores a um mesmo valor por meio do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) ou das frações equivalentes, basta conservar o denominador e somar os expoentes. Veja: Utilizando o MMC para reduzir os denominadores: 1 + 2 + 4 = 1 + 2 + 4 = 3 + 4 + 24 = 31
2, 3, 1| 2 MMC (2, 3, 1) = 2 x 3 = 6 Para obter os números do numerador, foi feito o seguinte: 6 : 2 = 3 x 1 = 3 Utilizando as frações equivalentes: 1 x 3+ 2x 2+
4 x 6= 3 + 4 + 24 = 31
Na soma de números decimais, juntamos número inteiro com inteiro, parte decimal com decimal, parte centesimal com centesimal e assim por diante. Observe o exemplo abaixo: 2,57
+ 1,63 = Para resolver a soma de números decimais, podemos estruturar o algoritmo da adição. 2,57 Podemos também somar números decimais por meio de frações. Para isso, basta transformar cada número decimal em uma fração. Confira o exemplo abaixo: 2,57 + 1,63 = → Represente
os números decimais na forma de fração;
O processo de subtração de fração é semelhante ao da soma. A diferença está no sinal da operação, que será de menos. Observe: 5 – 3 – 2 = 5 +( – 3 ) + ( – 2 )= 20 – 9 – 24 = – 13 Cálculo do MMC: 3, 4, 1| 2 Para obter os números do numerador, fizemos o seguinte: 12 : 3 = 4 x 5 = 20
3,15 – 2,04 – 1 = Para resolver essa subtração de números decimais, devemos subtrair os dois primeiros termos da esquerda para a direita (3,15 – 2,04). 3,15 Agora temos que subtrair 1,11 – 1 = 1,11 Podemos também resolver o exemplo anterior por meio da subtração de frações. Acompanhe: 3,15 – 2,04 – 1 = → Transforme os números 3,15 e 2,04 em frações.
Na multiplicação de frações, devemos multiplicar os numeradores com numeradores e os denominadores com denominadores. Confira: 3 x 6 = ( 3 x 6 ) = 18 → Como a fração não está na forma irredutível, temos que simplificá-la. 3 x 6 = ( 3 x 6 ) = 18 : 2 = 9
Ao multiplicarmos números decimais, devemos estruturar o algoritmo. Para saber a posição da vírgula no produto obtido, contamos quantas casas decimais possui cada número decimal e deslocamos a vírgula em relação aos algarismos do produto da direita para a esquerda. Observe o exemplo: 2,4 x 1,2 = → Inicialmente estruture o algoritmo da multiplicação.
2,4 Poderíamos também resolver esse exemplo por meio de frações. 2,4 x 1,2 =
→ Transforme os números decimais em frações.
Para dividirmos duas ou mais frações, utilizamos uma regra prática: conserva-se a primeira fração, multiplicando-a pelo inverso da segunda. Recorde-se que o inverso de uma fração é dado ao trocarmos o seu denominador pelo numerador. Veja: 13 : 9 = 13 x 2 = 26 1 : 4 : 2 = (1 : 4 ): 2 = ( 1 x 5 ) : 2 = 5 : 2 = 5 x 6 = 30 :2 = 15
Para realizar a divisão de números decimais, devemos igualar a quantidade de casas decimais dos números e efetuar a divisão. Confira o exemplo abaixo: 1,23 : 0,5 = → O número 1,23 possui duas casas decimais, e o número 0,5 possui uma casa decimal. Para igualar a quantidade de casas decimais, devemos multiplicar ambos os números pelo termo decimal, ou seja, 10, 100, 1000..., que possui a maior quantidade de casas decimais. Sendo assim, temos que multiplicar 1,23 e 0,5 por 100. (1,23 x 100) : (0,5 x 100) = 123 : 50 → Utilizando o algoritmo da divisão, temos 123 : 50. 1,23 : 0,5 = 2,46 Veja agora como transformar os números decimais do exemplo anterior em frações: 1,23 : 0,5 = → Transforme os números decimais em frações.
A dízima periódica é um número decimal em que os algarismos após a vírgula repetem-se infinitamente. Exemplos: 1,222..., 1,2323..., 2,23562356... A repetição desses algarismos após a vírgula é chamada de período. Veja:
Para realizar a soma, subtração, multiplicação e divisão de dízimas periódicas, devemos descobrir o período e aplicar as definições aprendidas anteriormente para números decimais, haja vista que a dízima periódica é um número decimal. Vejamos alguns exemplos:
2,333... + 1,555... = O período de 2,333... é 3, e o período de 1,555... é 5. Realizando a soma, temos:
3,6565... - 1,222... = O período de 3,6565... é 65, e o período de 1,222... é 2. Fazendo o algoritmo da subtração, temos: 3,65
5,2323... x 1,111... = O período de 5,2323... é 23, e o período de 1,111... é 1. Efetuando o produto, temos: 5,23 A multiplicação resultou em: 5,2323... x 1,111... = 5,23 x 1,11 = 5,8053
2,5252 … : 0,555... = O período de 2,5252... é 52, e o período de 0,555... é 5. Realizando a divisão, temos: 2,52 : 0,5 = (2,52 x 100) : ( 0,5 x 100) =
252 : 50 252 | 50 A divisão de: 2,5252 … : 0,555... = 2,52 : 0,5 = 5,04 Quais são os números racionais entre 2 e 3?Entre dois números naturais consecutivos existem infinitas frações, por exemplo: entre 2 e 3 existem 21/10, 5/2, 29/10 e assim por diante.
Quantos números racionais existem entre 0 1 e 0 2?Vamos seguir a primeira abordagem para descobrir os números racionais entre 0 e 1. Os números racionais necessários podem estar entre esses números. Pode-se escolher qualquer número com decimais finais ou recorrentes. Portanto, os nove números racionais entre 0 e 1 são 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8 e 0,9.
Qual o número racional entre 1 2?Os cinco números racionais entre 1 e 2 são 11/10, 12/10, 13/10, 14/10 e 15/10.
Quantos números entre 1 e 2?Resposta: A quantidade de números racionais contidos no intervalo entre 1 e 2 é infinita.
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