Quais são as expressões permitem determinar cada termo dessa sequência de acordo com a posição n que ele ocupa?

A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A..

Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da constante com o valor do elemento anterior.

Isso é o que a diferencia da progressão geométrica (P.G.), pois nesta, os números são multiplicados pela razão, enquanto na progressão aritmética, eles são somados.

As progressões aritméticas podem apresentar um número determinado de termos (P.A. finita) ou um número infinito de termos (P.A. infinita).

Para indicar que uma sequência continua indefinidamente utilizamos reticências, por exemplo:

• a sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...) é uma P.A. infinita.
• a sequência (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) é uma P.A. finita.

Cada termo de uma P.A. é identificado pela posição que ocupa na sequência e para representar cada termo utilizamos uma letra (normalmente a letra a) seguida de um número que indica sua posição na sequência.

Por exemplo, o termo a4 na P.A (2, 4, 6, 8, 10) é o número 8, pois é o número que ocupa a 4ª posição na sequência.

Classificação de uma P.A.

De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em:

• Constante: quando a razão for igual a zero. Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4...), sendo r = 0.
• Crescente: quando a razão for maior que zero. Por exemplo: (2, 4, 6, 8,10...), sendo r = 2.
• Decrescente: quando a razão for menor que zero (15, 10, 5, 0, - 5,...), sendo r = - 5

Propriedades da P.A.

1ª propriedade:

Em uma P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Exemplo

2ª propriedade:

Considerando três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois termos.

Exemplo

3ª propriedade:

Em uma P.A. finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média aritmética entre termos equidistantes deste. Esta propriedade deriva da primeira.

Veja também: Média Aritmética

Fórmula do Termo Geral

Considere as afirmativas abaixo.

I - A sequência das áreas dos retângulos é uma progressão aritmética de razão 1.
II - A sequência das áreas dos retângulos é uma progressão aritmética de razão a.
III - A sequência das áreas dos retângulos é uma progressão geométrica de razão a.
IV - A área do enésimo retângulo (An) pode ser obtida pela fórmula An = a . (b + n - 1).

Assinale a alternativa que contém a(as) afirmativa(s) correta(s).

a) I.
b) II.
c) III.
d) II e IV.
e) III e IV.

Ver Resposta

Calculando a área dos retângulos, temos:

A = a . b
A1 = a . (b + 1) = a . b + a
A2 = a . (b + 2) = a . b. + 2a
A3 = a . (b + 3) = a . b + 3a

Pelas expressões encontradas, notamos que a sequência forma uma P.A. de razão igual a a. Continuando a sequência, encontraremos a área do enésimo retângulo, que é dada por:

An= a . b + (n - 1) .a
An = a . b + a . n - a

Colocando o a em evidência, temos:

An = a (b + n - 1)

Alternativa: d) II e IV.

Exercício 3

UERJ

Admita a realização de um campeonato de futebol no qual as advertências recebidas pelos atletas são representadas apenas por cartões amarelos. Esses cartões são convertidos em multas, de acordo com os seguintes critérios:

• Os dois primeiros cartões recebidos não geram multas;
• O terceiro cartão gera multa de R$500,00.
• Os cartões seguintes geram multas cujos valores são sempre acrescidos de R$500,00 em relação ao valor da multa anterior.

No quadro, indicam-se as multas relacionadas aos cinco primeiros cartões aplicados a um atleta.

Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o campeonato. O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões equivale a:

a)30 000
b)33 000
c)36 000
d)39 000

Ver Resposta

Resposta correta: b)33 000

A partir do terceiro cartão amarelo, o valor da multa cresce em uma P.A. com razão de R$500,00. Considerando o primeiro termo, a1, com o valor do terceiro cartão, de R$500,00.

Para determinar o valor total das multas, devemos utilizar a fórmula da soma dos termos da P.A.

Como o atleta possui 13 cartões amarelos mas, os dois primeiros não geram multas, faremos uma P.A. de 13- 2 termos, ou seja, 11 termos.

Dessa forma, temos os seguintes valores:

a1 = 500
n = 11
r = 500

Para descobrir o valor do n-ésimo termo, a11, usamos a fórmula do termo geral.

an = a1 + (n-1).r
a21 = 500 +(11-1) x 500
a21 = 500 + 10 x 500
a21 = 5500

Aplicando a fórmula da soma dos termos de uma P.A.

Rafael C. Asth

Professor de Matemática, licenciado e pós-graduado em ensino da Matemática e da Física. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

Quais dessas expressões permitem determinar cada termo da sequência numérica de acordo com a posição n que ele ocupa na sequência?

Quais são as expressões que permitem determinar cada termo dessa sequência de acordo com a posição n que ele ocupa 5 n 1 2 é 12 5 n 1 ); 5 n 1 2 é 5n 3 n 1 5 é 5n?

Quais são as expressões que permitem determinar cada termo dessa sequência de acordo com a posição n que ele ocupa 12 17 22

Qual dessas expressões algébricas permite determinar cada termo da sequência apresentada em função da posição n que ele ocupa nessa sequência I II III IV?