Calcule o lado e o apótema de um quadrado inscrito numa circunferência de raio 6 √2 cm

O perímetro do quadrado corresponde a soma dos quatro lados dessa figura plana.

Lembre-se que o quadrado é um quadrilátero regular que apresenta lados com as mesmas medidas (congruentes). Assim, essa figura é composta por quatro ângulos retos (90°).

Cálculo do perímetro do quadrado

O perímetro do quadrado é calculado utilizando a fórmula:

ou

Onde,
P é o perímetro,
L é a medida do lado do quadrado

Exemplo
Um quadrado possui lado igual a 4 m. Calcule seu perímetro.

P = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 m

Saiba como calcular o Perímetro do Retângulo.

Fórmula da Área do quadrado

Diferente do perímetro, a área é a medida da superfície da figura. Assim, a área do quadrado é calculada pela fórmula:

Que tal saber mais sobre o tema? Leia Área e Perímetro.

Fique Atento!

A unidade de medida da área será sempre dada em cm2 ou m2.Isso porque ao multiplicar centímetro por centímetro (cm x cm) ou metro por metro (m x m), temos a medida elevada ao quadrado.

Note que no perímetro a unidade é centímetro (cm) ou metro (m), visto que é realizada uma soma e não uma multiplicação.

Diagonal do Quadrado

Ao passar uma linha entre uma extremidade e outra do quadrado ela forma dois triângulos retângulos, os quais apresentam um ângulo de 90°. Essa linha que corta a figura em duas metades é chamada diagonal.

Para calcular a diagonal do quadrado utiliza-se o Teorema de Pitágoras.

Logo,

d2 = L2 + L2
d2 = 2L2
d = √2L2
d = L√2

Quadrado Inscrito na circunferência

Quando um quadrado surge dentro de um círculo ele é chamado “quadrado inscrito”. Esse tipo de figura é muito comum aparecer em provas, vestibulares e concursos.

Para calcular as medidas dessa figura basta usar o Teorema de Pitágoras, em que r é o raio da circunferência e L o lado do quadrado.

Exercícios sobre perímetro do quadrado resolvidos

Exercício 1

Calcule o perímetro dos quadrados:

a) Um quadrado com 900 cm2 de área.

Ver Resposta

Primeiramente, vamos usar a fórmula da área para descobrir o valor dos lados desse quadrado.

A = L2
900 = L2
L = √900
L = 30 cm

Se o lado desse quadrado mede 30 cm, para encontrar o perímetro, basta somar esse valor quatro vezes:

P = 30 + 30 + 30 + 30
P = 120 cm

b) Um quadrado com lados de 70 m.

Ver Resposta

P = 4L
P = 4.70
P = 280 m

c) Um quadrado com diagonal de 4√2cm.

Ver Resposta

d = L√2
4√2= L√2
L = 4√2/√2
L = 4 cm

Agora, basta colocar na fórmula do perímetro:

P = 4L
P = 4.4
P = 16 cm

Exercício 2

Determine o valor do perímetro de um quadrado inscrito numa circunferência de raio 10 cm.

Ver Resposta

L = r√2
L = 10√2

Agora, basta colocar o valor do lado do quadrado na fórmula do perímetro:

P = 4L
P = 4.10√2
P = 40√2

Curiosidade

O quadrado é considerado um tipo de retângulo especial. No entanto, um retângulo não pode ser considerado um quadrado.

Saiba mais sobre outras figuras geométricas nos artigos:

• O que é um quadrado? Definição, fórmulas e exercícios
• Geometria Plana
• Geometria Espacial

Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.

Apótema é o segmento de reta que parte do centro de um polígono regular e forma um ângulo de 90º com a sua lateral. Para calcular o valor do apótema de um triângulo, quadrado ou hexágono é preciso circunscrever o polígono a uma circunferência. Veja!

Os cálculos que envolvem polígonos regulares estão presentes no Enem, nos vestibulares e no Encceja. Você já deve conhecer os principais elementos das figuras planas, que são os vértices, arestas, ângulos e diagonais.

Mas os polígonos regulares também possuem outro elemento chamado apótema. Nesta aula você vai ver o que é inscrição e circunscrição de polígonos, vai conhecer a definição de apótema e aprender a calcular o seu valor.

Polígonos regulares

Para que você entenda o que é apótema, é preciso saber o que é um polígono regular e também que ele pode ser inscrito ou circunscrito em uma circunferência. Primeiramente, vamos à definição: polígono regular é aquele que tem todos os lados e ângulos congruentes.

Ou seja: todos os lados tem o mesmo valor e todos os ângulos internos também possuem o mesmo valor. Observe os exemplos:

Polígono regular inscrito e circunscrito

Já vimos que o polígono regular tem os lados iguais e os ângulos também iguais. Em seguida vamos entender o que é inscrição e circunscrição de polígonos.

Polígono inscrito

O polígono inscrito na circunferência é o aquele cujos vértices ficam dentro da circunferência. Também podemos dizer que a circunferência está circunscrito ao polígono. Por fim, é importante lembrar que as arestas da figura são as cordas da circunferência.

Polígono circunscrito

Enquanto isso, polígono circunscrito à circunferência é aquele cujos lados são tangentes à circunferência. Também podemos dizer que a circunferência está inscrita ao polígono.

O cálculo do apótema

Apótema é o segmento de reta que parte do centro de um polígono e forma um ângulo de 90º com a sua lateral. Dessa maneira, podemos dizer que o apótema é perpendicular ao lado do polígono.

Veja na figura abaixo que o segmento em verde do hexágono é o apótema do mesmo. Ele se origina a partir do centro do hexágono e termina tocando um de seus lados:

Outra possibilidade de definição de apótema é o raio da circunferência inscrita em um polígono. Para que você entenda melhor, pense na circunferência e no seu raio.

O raio é a medida do centro da circunferência até um ponto qualquer na mesma. Pois bem, com o apótema podemos pensar quase o mesmo, com a diferença de que ele não é a medida de um ponto qualquer do polígono, mas sim a medida de seu centro até um de seus lados.

Veja agora com o professor Lucas Borguezan, do canal do Curso Enem Gratuito, como fazer o Cálculo do Apótema em Polígonos:

Em seguida, você pode ver a figura de um quadrado, de um hexágono e de um triângulo com circunferências inscritas. Observe em seguida que a linha vermelha é tanto o raio da circunferência quanto o apótema dos polígonos.

Generalidades dos Polígonos na Geometria Plana:

• O centro de um polígono regular é o centro da circunferência circunscrita;
• O apótema de um polígono regular é o raio da circunferência circunscrita;
• Apótema de um polígono regular é a distância do centro a qualquer lado, desde que forme um ângulo de 90º.
  

Resumo sobre os Poligonos

Veja um resumo simples e rápido com o professor Sérgio Sarkis do canal Curso Enem Gratuito e em seguida confira o conteúdo sobre apótema:

Para que serve o apótema

O apótema é muito útil na geometria plana e na geometria espacial. Com ele você pode calcular o raio de uma circunferência inscrita num polígono regular e calcular a distância de um dos lados do polígono até seu centro. Além disso, você pode descobrir a distância entre um ponto médio de uma corda até o centro de sua circunferência.

Como calcular o apótema do Triângulo

Em seguida você pode conferir um resumo com os principais polígonos regulares e suas respectivas fórmulas para calcular o apótema, a área, o perímetro e o raio.

• Área: A =  (L².√3)/4 ou A = (3.L)/2 . a
• Perímetro: P = 3.L
• Altura: h = (L.√3)/2
• Apótema: a = (L.√3)/6 = R/2
• Raio da circunferência inscrita: r = (L.√3)/6
• Raio da circunferência circunscrita: R = (L.√3)/3

Apótema do quadrado

• Área: A = L² ou A = 2.L.a
• Perímetro: P = 4.L
• Diagonal: D = L.√2
• Apótema: a = L/2
• Raio da circunferência inscrita: r = L/2
• Raio da circunferência circunscrita: R = D/2 = L.√2/2

Apótema do hexágono

• Área: A= (6.L².√3)/4 = (3L²√3)/2 ou A = 3 .L.a
• Perímetro: P = 6.L
• Apótema: a = (L√3)/2
• Raio da circunferência inscrita: r = (L√3)/2
• Raio da circunferência circunscrita: R = L

Exercícios sobre apótema

1 – (UECE/2016)    

A razão entre as áreas de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência e a área de um hexágono regular cuja medida do apótema é 10 m circunscrito à mesma circunferência é

a) 3/8.

b) 5/8.

c) 3/7.

d) 5/7.

2 – (UECE/2019)    

Em um plano, considere um círculo cuja medida do raio é igual a 0,5 m, um quadrado Q circunscrito ao círculo e um quadrado q inscrito no mesmo círculo. Podemos afirmar corretamente que a medida, em m2, da área da região do plano interior a Q e exterior a q é

a) 0,15π.

b) 0,25π.

c) 0,50.

d) 0,35.

3 – (UNIRG TO/2012)    

Em uma determinada construção o engenheiro responsável dá um problema de cálculo de área de uma estrutura para ser resolvido por seu estagiário. A estrutura é representada na figura a seguir. O problema consiste em determinar o lado do quadrado. Este quadrado está circunscrito por uma circunferência cuja medida da área é 7.500 m2.

Sabendo-se que os lados do quadrado tangenciam a circunferência, e que o estagiário resolveu corretamente o problema. Então, o valor do lado do quadrado é:

(considere π = 3)

a) 25 m

b) 50 m

c) 75 m

d) 100 m

4- (FRANCO)

O lado do quadrado inscrito numa circunferência mede 4 cm. O lado do triângulo equilátero inscrito na mesma circunferência mede:

a) 2√3

b) 2√6

c) 3√2

d) 6√2

5- (FRANCO)

O perímetro de um quadrado inscrito numa circunferência cujo apótema mede 3(1/2) cm é:

a) 24 cm

b) 26 cm

c) 28 cm

d) 30 cm

GABARITO: 

1. A
2. C
3. D
4. B
5. C

Como calcular o apótema de um quadrado inscrito numa circunferência?

Como calcular o lado de um quadrado inscrito na circunferência?

Quanto mede o apótema do quadrado inscrito?

Qual é o apótema de um quadrado?