Observe a expressão algébrica abaixo qual e o valor numérico dessa expressão para y = 2

Pergunta Unicesumar entrega para amanhã alguem sabe ??, Observe a expressão algébrica abaixo: Qual é o valor numérico dessa expressão algébrica para x = 5, y = 4 e z = 2: *​

As expressões algébricas são aquelas expressões matemáticas que possuem números e letras, também conhecidas como variáveis. Utilizamos as letras para representar valores desconhecidos ou até mesmo para analisar o comportamento da expressão de acordo com o valor dessa variável. As expressões algébricas são bastante comuns no estudo das equações e na escrita de fórmulas da Matemática e áreas afins.

Caso a expressão algébrica possua um único termo algébrico, ela é conhecida como monômio; quando possui mais de um, é chamada de polinômio. É possível também calcular operações algébricas, que são as operações entre expressões algébricas.

Leia também: Frações algébricas – expressões que apresentam pelo menos uma incógnita no denominador

O que é uma expressão algébrica?

Definimos como expressão algébrica uma expressão que contém letras e números, separados por operações básicas da Matemática, como a adição e a multiplicação. As expressões algébricas são de grande importância para o estudo mais avançado da Matemática, tornando possível o cálculo de valores desconhecidos nas equações ou até mesmo o estudo de funções. Vejamos alguns exemplos de expressões algébricas:

a) 2x²b + 4ay² + 2
b) 5m³n8
c) x² +2x - 3

As expressões algébricas recebem nomes particulares dependendo da quantidade de termos algébricos que possuem.

Uma expressão algébrica é conhecida como monômio quando ela possui somente um termo algébrico. Um termo algébrico é aquele que possui letras e números separados apenas por uma multiplicação entre eles.

Um monômio é dividido em duas partes: o coeficiente, que é o número que está multiplicando a letra, e a parte literal, que é a variável com o seu expoente.

Exemplos:

a) 2x³    → coeficiente é igual a 2 e a parte literal é igual a x³. b) 4ab → coeficiente é igual a 4 e a parte literal é igual a ab.

c) m²n →  coeficiente é igual a 1 e a parte literal é igual a m²n.

Quando as partes literais de dois monômios são iguais, eles são conhecidos como monômios semelhantes.

Exemplos:

a) 2x³ e 4x³ são semelhantes. b) 3ab² e -7ab² são semelhantes.

c) 2mn e 3mn² não são semelhantes.

Veja também: Adição e subtração de frações algébricas – como calcular?

Polinômios

Quando a expressão algébrica possui muitos termos algébricos, ela é conhecida como polinômio. Um polinômio nada mais é do que a soma ou a diferença entre monômios. É bastante comum o uso de polinômios no estudo de equações e funções, ou na geometria analítica, para descrever as equações de elementos da geometria.

Exemplos:

a) 2x² + 2x + 3 b) 2ab – 4ab² + 2a  - 4b + 1 c) 5mn  - 3

d) 4y² + x³ – 4x + 8

Simplificação de expressões algébricas

Em uma expressão algébrica, quando há termos semelhantes, é possível realizar a simplificação dessa expressão por meio de operações com os coeficientes dos termos semelhantes.

Exemplo:

5xy² + 10x – 3xy + 4x²y – 2x²y² + 5x – 3xy + 9xy² – 4x²y + y

Para simplificar, vamos identificar os termos semelhantes, ou seja, termos que possuem mesma parte literal.

5xy² + 10x – 3xy + 4x²y – 2x²y² + 5x – 3xy + 9xy² – 5x²y

Realizaremos as operações entre os termos semelhantes, então:

5xy² + 9xy² = 14xy²

10x + 5x = 15x

-3xy – 3xy = -6xy

4x²y -5x²y = -1x²y= -x²y

O termo -2x²y² não possui nenhum termo semelhante a ele, logo a expressão algébrica simplificada será:

-2x²y² + 14xy² + 15x – 6xy -x²y

Operações algébricas

Realizar adição ou subtração de expressões algébricas nada mais é do que simplificar a expressão, portanto só é possível operar com os termos algébricos que são semelhantes. Já na multiplicação, é necessário utilizar a propriedade distributiva entre os termos, conforme os exemplos a seguir:

Exemplo de adição:

(2x² + 3xy – 5) + (3x² – xy + 2)

Como é uma adição, podemos simplesmente remover os parênteses, sem alterar nenhum dos termos:

2x² + 3xy – 5 + 3x² – xy + 2

Agora vamos simplificar a expressão:

5x² +2xy – 3

Exemplo de subtração:

(2x² + 3xy – 5) – (3x² – xy + 2)

Para remover os parênteses, é necessário inverter o sinal de cada termo algébrico da segunda expressão:

2x² + 3xy – 5 –3x² + xy – 2

Agora vamos simplificar a expressão:

– x² + 4xy – 7

Exemplo de multiplicação:

(2x² + 3xy – 5) ( 3x² – xy + 2)

Aplicando a propriedade distributiva, encontraremos:

 6x4 – 2x³y + 4x² + 9x³y – 3x²y² +6xy – 15x² – 5xy + 10

Agora vamos simplificar a expressão:

6x4 + 7x³y – 11x² –3x²y² + xy + 10

Acesse também: Como fazer a simplificação de frações algébricas?

Valor numérico das expressões algébricas

Quando conhecemos o valor da variável de uma expressão algébrica, é possível encontrar o seu valor numérico. O valor numérico da expressão algébrica nada mais é do que o resultado final quando substituímos a variável por um valor.

Exemplo:

Dada a expressão x³ + 4x² + 3x – 5, qual é o valor numérico da expressão quando x = 2.

Para calcular o valor da expressão, vamos substituir o x por 2.

2³ + 4 · 2² + 3 · 2 – 5

8 + 4 · 4 + 6 – 5

8 + 16 + 6 – 5

30 – 5

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Exercícios resolvidos

Questão 1 – A expressão algébrica que representa o perímetro do retângulo a seguir é:

A) 5x – 5 B) 10x – 10 C) 5x + 5 D) 8x – 6

E) 3x – 2

Resolução

Alternativa B.

Para calcular o perímetro, vamos somar os quatro lados. Sabendo que os lados paralelos são iguais, temos que:

P = 2(2x – 4) + 2 (3x – 1)

P = 4x – 8 + 6x – 2

P = 10x – 10 

Questão 2 – (Enem 2012) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).

Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por:

A) 2xy B)15 – 3x C) 15 – 5y D) -5y – 3x

E) 5y + 3x – xy

Resolução

Alternativa E.

Para calcular a área de um retângulo, calculamos a área encontrando o produto entre a base e a altura do retângulo. Analisando a parte perdida do forro, é possível dividi-la em dois retângulos, mas existe uma região que pertence aos dois retângulos, logo vamos ter que subtrair a área dessa região.

O retângulo maior tem base 5 e altura y, logo sua área é dada por 5y. O outro triângulo possui base x e altura 3, então sua área é dada por 3x. A região que pertence aos dois retângulos simultaneamente tem base x e altura y, então, como ela está sendo contada nos dois retângulos, vamos subtraí-la da soma das áreas. Assim, a área perdida é dada pela expressão algébrica:

5y + 3x – xy

Por Raul Rodrigues Oliveira
Professor de Matemática

As expressões algébricas são formadas por três itens básicos: números conhecidos, números desconhecidos e operações matemáticas. As expressões numéricas e algébricas seguem a mesma ordem de resolução. Dessa maneira, operações dentro de parênteses têm prioridade sobre as outras, assim como multiplicações e divisões têm prioridade sobre adições e subtrações.

Os números desconhecidos são chamados de incógnitas e normalmente são representados por letras. Alguns livros e materiais também os denominam de variáveis. Os números que acompanham essas incógnitas são chamados de coeficientes.

Assim sendo, são exemplos de expressões algébricas:

1) 4x + 2y

2) 16z

3) 22xa + y – 164x2y2

Valor numérico das expressões algébricas

Quando a incógnita deixa de ser um número desconhecido, basta substituir seu valor na expressão algébrica e resolvê-la do mesmo modo que as expressões numéricas. Para tanto, é preciso saber que o coeficiente sempre multiplica a incógnita que acompanha. Como exemplo, vamos calcular o valor numérico da expressão algébrica a seguir, sabendo que x = 2 e y = 3.

4x2 + 5y

Substituindo os valores numéricos de x e y na expressão, teremos:

4·22 + 5·3

Observe que o coeficiente multiplica a incógnita, mas, para facilitar a escrita, o sinal de multiplicação é omitido nas expressões algébricas. Para finalizar a resolução, basta calcular a expressão numérica resultante:

4·22 + 5·3 = 4·4 + 5·3 = 16 + 15 = 31

Vale dizer que duas incógnitas que aparecem juntas também estão sendo multiplicadas. Se a expressão algébrica acima fosse:

2xy + xx + yy = 2xy + x2 + y2

Seu valor numérico seria:

2xy + x2 + y2 = 2·2·3 + 22 + 33 = 12 + 4 + 9 = 25

Monômios

Monômios são expressões algébricas formadas apenas por multiplicação de números conhecidos e incógnitas. São exemplos de monômios:

1) 2x

2) 3x2y4

3) x

4) xy

5) 16

Perceba que números conhecidos são considerados monômios, assim como apenas as incógnitas. Além disso, o conjunto de todas as incógnitas e seus expoentes é chamado de parte literal, e o número conhecido é chamado de coeficiente de um monômio.

Todas as operações matemáticas básicas em monômios podem ser realizadas com alguns ajustes nas regras e algoritmos.

Adição e subtração de monômios

Só podem ser realizadas quando os monômios possuem parte literal idêntica. Quando isso acontecer, some ou subtraia apenas os coeficientes, mantendo a parte literal dos monômios na resposta final. Por exemplo:

2xy2k7 + 22xy2k7 – 20xy2k7 = 4xy2k7

Para mais informações, detalhes e exemplos sobre soma e subtração de monômios, clique aqui.

Multiplicação e divisão de monômios

A multiplicação de monômios não necessita de que as partes literais sejam iguais. Para multiplicar dois monômios, multiplique primeiro os coeficientes e, depois, multiplique incógnita a incógnita usando propriedades de potência. Por exemplo:

4x3k2yz·15x2k4y = 60x3 + 2k2 + 4y1 + 1z = 60x5k6y2z

A divisão é feita da mesma maneira, entretanto, dividem-se os coeficientes e utiliza-se a propriedade da divisão de potências de mesma base para a parte literal.

Para mais exemplos e detalhes, consulte o texto sobre divisão de monômios clicando aqui.

Polinômios

Polinômios são expressões algébricas formadas pela adição algébrica de monômios. Assim, um polinômio nasce quando somamos ou subtraímos dois monômios distintos. Atenção: todo monômio também é polinômio.

Veja alguns exemplos de polinômios:

1) 2x + 2x2

2) 2x + 3xy + 3y

3) 2ab + 16 – 4ab3

Adição e subtração de polinômios

É feita colocando-se lado a lado todos os termos semelhantes (monômios que possuem parte literal igual) e somando-os. Quando os polinômios não possuem termos semelhantes, eles não podem ser somados ou subtraídos. Quando polinômios possuem um termo que não é semelhante a nenhum outro, esse termo não é somado nem subtraído, apenas repetido no resultado final. Por exemplo:

(12x2 + 21y2 – 7k) + (– 15x2 + 25y2) =

12x2 + 21y2 – 7k – 15x2 + 25y2 =

12x2 – 15x2 + 21y2 + 25y2 – 7k =

– 3x2 + 46y2 – 7k

Multiplicação de polinômios

A multiplicação de polinômios sempre é feita com base na propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição (também conhecida como chuveirinho). Por meio dela, devemos multiplicar o primeiro termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo, depois o segundo termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo e assim sucessivamente até que todos os termos do primeiro polinômio tenham sido multiplicados.

Para isso, é claro, usamos as propriedades de potência quando necessário. Por exemplo:

(x2 + a2)(y2 + a2) = x2y2 + x2a2 + a2y2 + a4

Mais informações e exemplos sobre multiplicação, adição e subtração de polinômios podem ser encontrados clicando aqui.

Divisão de polinômios

É o procedimento mais difícil das expressões algébricas. Uma das técnicas mais usadas para dividir polinômios é muito parecida com a usada para divisão entre números reais: procuramos um monômio que, multiplicado pelo termo de grau mais alto do divisor, seja igual ao termo de grau mais alto do dividendo. Depois, basta subtrair do dividendo o resultado dessa multiplicação e “descer” o resto para continuar a divisão. Por exemplo:

(x2 + 18x + 81):(x + 9) =

x2 + 18x + 81 | x + 9
– x2 – 9x          x + 9  9x + 81  

– 9x – 81     

Para mais informações sobre divisão de polinômios e para obter mais exemplos clique aqui.

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática