Grandezas inversamente proporcionais exercícios resolvidos

Se a bandeira apresenta 2 metros de comprimento, sendo as medidas proporcionais a 10 e 7, temos que estabelecer uma proporção, ou seja:

5) Os números positivos x, y e z são inversamente proporcionais a 10, 1 e 5.

Sabendo-se que y - z2 - 2x = 0, determine x + y + z .

Se x, y e z são inversamente proporcionais a 10, 1 e 5, então podemos dizer que x, y e z são diretamente proporcionais aos seus inversos multiplicativos, ou seja:

x, y e z são diretamente proporcionais a 1/10, 1/1 e 1/5.

Assim, poderemos escrever a seguinte relação de proporcionalidade direta:

x / (1/10) = y / (1/1) = z / (1/5)

Daí, vem, após efetuarmos as divisões indicadas:

10x = y = 5z

Temos então:

10x = 5z, de onde tiramos: z = 2x (dividindo ambos os membros por 5).

10x = y, de onde tiramos: y = 10x

Substituindo os valores acima na expressão dada y - z2 - 2x = 0, vem:

10x - (2x)2 - 2x = 0

10x - 4x2 - 2x = 0

8x - 4x2 = 0

Dividindo ambos os membros por 4, vem:

2x - x2 = 0

Colocando x em evidencia, vem: x(2 - x) = 0 e, portanto, x = 0 ou x = 2.

Como o enunciado do problema diz que x é positivo, vem que somente o valor x = 2 serve. Ora, se x = 2, então 

y = 10x = 10(2) = 20 e z = 2x = 2(2) = 4.

Assim, a soma x + y + z = 2 + 20 + 4 = 26.

6) Se João correr a uma velocidade de 4,0 km/h, ele completa uma certa distância em 6 minutos. Em 8 minutos, com a mesma distância, sua velocidade será:

a) 5,3 km/h       b) 5,2 km/h       c) 7,6 km/h        d) 3,0 km/h

O primeiro passo é identificar a proporcionalidade inversa entre as grandezas, velocidade e tempo. É fácil perceber que quanto mais veloz é um móvel menor é o tempo gasto para percorrer uma determinada distância. Quanto maior a velocidade menor é o tempo, essa característica garante a proporcionalidade inversa.

O segundo passo é montar a regra de três e calcular a velocidade de João se ele percorrer a distância proposta em 8 minutos, tem-se:

Se João percorrer a mesma distância em 8 minutos sua velocidade será 3,0 km/h. Alternativa D.

7) Determine quantos quilômetros esse automóvel percorre, em média, com 1 litro desse combustível.

Solução:

A razão de duas ou mais grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as suas medidas, consideradas na mesma unidade. O conceito de razão nos permite fazer comparações de grandeza entre dois números. Indica explicitamente quantas vezes o primeiro número contém o segundo (não necessariamente um valor inteiro). Toda fração é também uma razão, mas nem toda razão pode ser expressa como uma fração. A fração é uma forma de expressar o quociente de dois números inteiros enquanto que a razão é o resultado do quociente entre dois números. A igualdade entre razões denomina-se proporção.

Se o quilômetro percorrido aumenta, o consumo médio de combustível (em litros) também aumenta na mesma proporção (grandezas diretamente proporcionais). Dizemos que 12,5 litros está para 100 km assim como 1 litro está para x km.

Seja a proporção: 12,5 /100 = 1/x , onde x é o valor procurado.

Multiplicando "em cruz", segue que: 12,5x = 100

x = 100/12,5 = 1000/125 = 8

Logo, com 1 litro, esse automóvel percorre em em média 8 km.

8) Na bula de um determinado remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg do "peso" da criança. Se uma criança tem 12 kg, qual a dosagem correta?

Solução: 

Se o peso da criança aumenta, a dosagem também aumenta na mesma proporção (grandezas diretamente proporcionais), ou seja, 5 gotas está para 2 kg assim como x gotas está para 12 kg. Portanto, temos a proporção: 5/2 = x/12.

Multiplicando "em cruz", segue que 2x = 60.

Logo x = 60/2 = 30 gotas.

9) (TRE) Para executar a tarefa de manutenção de 111 microcomputadores, três técnicos judiciários dividiram o total de microcomputadores entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 24, 30 e 36 anos. Assim sendo, quanto recebeu o técnico de 30 anos?

Resolução:

Sendo A a parte do mais novo, B a parte que cabe ao do meio, C a parte do mais velho, vamos usar um método conhecido como: DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. Desse modo, temos a proporção:

C = 1080/36 = 30 .

Assim, o técnico de 30 anos recebeu 36 computadores.

10) (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50cm, a sombra da pessoa passou a medir quanto?

Solução: 

Temos que  2,00 m = 200 cm e 1,80 m = 180 cm. Como a altura e a sombra são grandezas diretamente proporcionais, temos a proporção:

180/60 = H/200, onde H é a altura do poste.

Vem que, 3 = H/200 , o que implica em: H = 3 × 200 = 600 cm. Mais tarde teremos a proporção:

180/x = 600/(200-50) = 600/150 = 4.

Então, 180 = 4x. Logo: x = 180/4 = 45 cm.

Este problema poderia ser resolvido de outra maneira.

Observe que a sombra do poste diminuiu de 50/200 = 1/4.

Então a sombra da pessoa também diminuiu de 1/4.

Segue que a sombra da pessoa diminuiu de 1/4 × 60 = 15.

Logo, a sombra da pessoa passou a medir: 60 - 15 = 45 cm.

11) Um garoto de 1m de altura projeta uma sombra de 0,5 m. No mesmo instante, um edifício projeta uma sombra de 9 m. Qual é altura do edifício?

Solução: 

Seja H a altura do edifício. A altura e a sombra são grandezas diretamente proporcionais. Então, temos a proporção: 1 / 0,5 = H / 9. O que implica em H = 9 / 0,5 = 90 / 5 = 18 m
Por outro lado, como a sombra e a altura formam um ângulo de 90 graus, segue que a sombra e a altura são catetos de um triãngulo retângulo. Logo, temos dois triângulos retângulos semelhantes.

(A) 18                 (B) 15            (C) 12              (D) 9              (E) 6

13) (Prova Técnico Judiciário ? Área Administrativa ? 4ª Região) - No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de dois técnicos judiciários do Tribunal Regional Eleitoral de uma certa circunscrição judiciária.

Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no Tribunal. Se João digitou 27 laudas, o total de laudas do processo era:

a) 40

b) 41

c) 42

d) 43

e) 44

Solução:

Uma razão é uma divisão entre duas grandezas. Exemplo: a velocidade é uma razão determinada pela divisão entre a grandeza distância e a grandeza tempo.

Na questão proposta na prova, exige-se do candidato o conhecimento do que é uma divisão proporcional.

É preciso conhecer, portanto, o que são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

Recapitulando:

Uma pessoa vai de SP a MG  (percorrendo uma distância hipotética de 800 km) em 8h, fazendo a velocidade média de 100 km/h.

Se ao invés de ir para MG, resolvesse aumentar minha viagem para outra cidade mais distante, ou seja, crescendo a quilometragem percorrida para 1600 km, será que o tempo de viagem seria menor ou maior ? Considerando uma mesma velocidade?

De fato, levaria mais tempo, e ainda é possível afirmar que se a distância aumentou para o dobro (de 800 para 1600), o tempo também irá aumentar (de 8horas para 16 horas) e isto é possível verificar através das seguintes expressões:

D = V/T

(SP => MG) 800 = 100/T, logo T = 8 horas

(MG => Outra Cidade) 1600 = 100/T, logo T = 16 horas

É possível  afirmar que distância e tempo são grandezas diretamente proporcionais.

Se diminuir a velocidade do carro pela metade será que eu vou levar mais ou menos tempo para viajar, considerando a mesma distância?

Se velocidade do carro diminuir, torna-se claro que vou levar menos horas para viajar, e portanto, quanto menos rápido for o carro mais tempo eu levo.

Desse modo é possível afirmar que a velocidade e o tempo são grandezas inversamente proporcionais.

Se duas grandezas são diretamente proporcionais, então quando uma aumenta a outra aumenta proporcionalmente e entre elas existe uma relação direta de proporcionalidade (m), desta forma:

A/B = m

Assim, se duas grandezas são inversamente proporcionais, então quando uma aumenta a outra diminui proporcionalmente e posso afirmar que entre elas existe uma relação inversa de proporcionalidade (m), desta forma:

A.B = m

No problema, as laudas devem ser divididas na relação direta das idades de João e Maria, e na relação inversa de seus tempos de serviço no Tribunal:

Logo:

Para x = 27

Substituindo x = 27

2y/5 = 6

y = 30/2 = 15

O número total de laudas é dado pela soma das laudas de João (x=27) com as de Maria (y=15) perfazendo o total de 42 laudas

Resposta: Letra ?c?