Exerciciosextrair raiz quadrada pela decomposiçao de fatores primos

Dada a seguinte expressão:

Raízes exatas
Aplicando o uso da fatoração para o cálculo de raízes.

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3 Qual a medida da aresta de um cubo que possui volume igual a 729 cm³? A medida da aresta de um cubo que possui 729 cm³ de volume é igual a 9 cm. Raízes não exatas

As raízes que não possuírem como resultado um número inteiro positivo, terá como resultado um número irracional. Por exemplo:

Com o uso de uma calculadora podemos encontrar o resultado.
Simplificação de radicais

Exemplo 1

Simplifique o seguinte radical:

Exemplo 2

Exemplo 3

Para calcularmos outras raízes utilizamos a mesma ideia da raiz quadrada e da raiz cúbica.

Por Marcos Noé Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Simplificando Raízes Exatas Utilizando a Fatoração"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/raizes-1.htm. Acesso em 23 de junho de 2022.

Uma das estratégias mais usadas para calcular raízes é a fatoração. Para tanto, utiliza-se o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades de raízes. Assim, o radicando é decomposto em fatores primos, que são reagrupados para facilitar os cálculos. Antes de falarmos sobre o cálculo de raízes em si, precisamos relembrar o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades.

→ Teorema fundamental da aritmética

Todo número inteiro pode ser decomposto em uma multiplicação em que todos os fatores são primos. Essa decomposição é única, exceto, é claro, pela permutação de seus fatores. Os números inteiros que aparentemente não podem ser decompostos em fatores primos são os próprios números primos. Contudo, é possível dizer que a decomposição em fatores primos de um número primo tem como resultado um único fator, que é o próprio número.

Exemplos:

a) 192 = 25·3

b) 75 = 3·52

c) 300 = 2·3·52

→ Propriedades dos radicais para o cálculo de raízes

Para o cálculo de raízes por meio de fatoração, são utilizadas as duas propriedades seguintes:

A primeira garante que a raiz do produto é igual ao produto das raízes, e a segunda afirma que, quando o índice do radical é igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz é a base do radicando.

→ Cálculo de raízes não exatas por meio fatoração

Segue o passo a passo para calcular raízes não exatas (e exatas também) por fatoração:

Passo 1: Fatore o radicando

Se o radicando de uma raiz for um número inteiro, é possível reescrever esse número como produto de fatores primos, como garante o teorema fundamental da aritmética.

Passo 2: Reagrupe os fatores primos

Feito isso, reescreva os fatores primos em fatores cujo expoente seja igual ao índice do radicando.

Passo 3: Aplique a propriedade I

Cada fator precisa ficar dentro de um radical para que a segunda propriedade seja aplicada.

Passo 4: Aplique a propriedade II

Esse passo fará com que o radical seja simplificado à raiz de algum fator primo. Observe que é sempre mais fácil calcular a raiz de um fator primo do que de um número composto maior que ele.

Passo 5: Cálculo numérico

Se necessário, faça o cálculo numérico da raiz restante e multiplique todos os resultados.

Exemplo:

Sabendo que a raiz quarta de 2 é 1,19, calcule a raiz quarta de 2592.

Solução:

Pelo passo 1, devemos fazer a fatoração de 2592:

2592|2 1296|2 648|2 324|2 162|2 81|3 27|3 9|3 3|3

2592 = 25·34

Pelo passo 2, devemos reescrever os fatores primos com expoentes iguais a 4. Se sobrarem fatores insuficientes para isso, devemos escrevê-los com o maior expoente possível:

2592 = 25·34 = 24·2·34 = 34·24·2

Pelo passo 3, substituímos 2592 pela sua fatoração dentro do radical e fazemos o seguinte:

Já o quarto passo garante a simplificação dos dois primeiros fatores. Observe que já é possível substituir o último fator pelo seu valor numérico, que é 1,19.

Por fim, note que o quinto passo também já foi aplicado na imagem acima.

A radiciação é a operação inversa da potenciação. Em geral, utilizamos a simbologia abaixo para representá-la:

Nomes de cada elemento da radiciação

Apenas quando se tratar de raiz quadrada (índice 2) podemos deixar o espaço destinado ao índice em branco. O índice da fração indica quantas vezes é necessário multiplicar o número da potência por si mesmo até obter o valor do radicando. Por exemplo:

Exemplos de radiciações com índices 2, 3 e 4

Ao lidar com radicandos maiores, podem surgir dúvidas, pois o valor da raiz não aparecerá tão facilmente. Para situações como essas, devemos utilizar o processo de fatoração para obter a raiz. Vale lembrar que na fatoração há um número que deve ser dividido pelo menor número primo possível sucessivas vezes até que o quociente seja um. Vejamos como encontrar a raiz quadrada de 729:

Passo a passo da fatoração de 729

Nessa fatoração, começamos com o número do radicando, o 729, à esquerda. À direita, colocamos o menor primo que o dividirá. Novamente, à esquerda, coloca-se o número do quociente da divisão e repete-se esse processo até que o quociente seja 1. Como estamos procurando o resultado de uma raiz cujo índice é 2, agrupamos os números da direita em potências de expoente 2. Em seguida, colocamos essa multiplicação de potências dentro do radical, e aqueles números cujo o expoente é o mesmo do índice da raiz podem sair do radical sem o expoente. Vejamos outros exemplos:

Exemplos de radiciações através da fatoração

Treine o que você estudou com estes exercícios sobre cálculo de raízes por meio da fatoração!

Questão 1

Qual é a raiz cúbica de 3375?

a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

e) 16

Questão 2

Em função de √2, qual é o resultado da expressão a seguir?

a) 22√2

b) 16√2

c) 32√2

d) 21√2

e) 18√2

Questão 3

Quais são as raízes da equação x2 + 16x – 36 = 0?

a) 2 e 3

b) 20 e 20

c) 2 e 20

d) 20 e – 20

e) 2 e – 18

Questão 4

Um lote quadrado possui 1600 m2 de área. Qual é a medida do comprimento desse lote quadrado?

a) 40 m

b) 42 m

c) 44 m

d) 46 m

e) 48 m

Resposta - Questão 1

Para calcular essa raiz, utilizaremos o método da fatoração:

Em vez de multiplicar todos os fatores obtidos, como é feito para encontrar o mínimo múltiplo comum, reescreva esses fatores agrupando-os em potências de 3 sempre que possível, como foi feito acima.

Para finalizar, substitua 3375 por 33·53 no radical para obter a seguinte raiz e prossiga utilizando as propriedades dos radicais.

Gabarito: Letra D.

Resposta - Questão 2

Primeiramente, decomponha 2048 e 512. Após isso, reescreva os fatores primos em potências de 2, se possível.

Por fim, utilize as mesmas propriedades do exercício anterior para simplificar os cálculos e subtraia os resultados. Observe:

Gabarito: Letra B.

Resposta - Questão 3

Utilizando o método de Bhaskara, calcularemos o discriminante:

Tendo em vista que precisaremos calcular a raiz de 400 para usar seu resultado na fórmula de Bhaskara, seguem os respectivos cálculos:

Agora resta apenas calcular as raízes:

Dessa maneira, as raízes são 2 e –18.

Gabarito: Letra E.

Resposta - Questão 4

A medida do lado de um quadrado sempre pode ser obtida a partir da raiz quadrada de sua área. Portanto, basta calcular a raiz quadrada de 1600 para obter a medida em questão. Utilizando o método da fatoração, teremos:

Para finalizar, substitua 1600 no radical pelo produto encontrado na fatoração anterior, como ilustrado na imagem seguinte:

Portanto, o comprimento do lote é 40 m.

Gabarito: Letra A.

Resolvendo raízes por meio da fatoração

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