Função é uma relação entre dois conjuntos A e B, não vazios, de forma que todo elemento de A tem um elemento correspondente em B e um elemento de A só possui um único correspondente no conjunto B. Show
Produto CartesianoChamamos de produto cartesiano, o produto A x B, sendo A e B conjuntos não vazios, tendo como resultado um conjunto de pares ordenados (x, y), onde x pertence a A e y pertence a B. Sendo assim, o produto cartesiano pode ser definido assim:
RelaçãoUma relação de R de A em B entre dois conjuntos A e B, não vazios, é um subconjunto de A x B. Exemplo: Dados os conjuntos A e B: Então:
Às duas relações de A em B poderiam ser:
DefiniçãoSeja dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos função a correspondência f ou relação binário entre os conjuntos A e B, nessa ordem, de forma que qualquer elemento x ∈ A possui um único correspondente y ∈ B, sendo a imagem de x. Podemos ilustrar a definição anterior através do diagrama de flechas para um melhor entendimento. Então, temos: Cada elemento do conjunto A está relacionado a um único elemento em B. Analisando a figura, podemos definir o seguinte:
Funções definidas por fórmulasÉ frequentemente encontrado algumas funções definidas por fórmulas. Exemplo: Sejam os conjuntos A e B:
Seja f a função que associa cada elemento de A acrescido de 1. Dessa forma, sendo x um elemento de A e y um elemento de B, que corresponde a imagem no conjunto B, temos a seguinte expressão:
Podemos ver melhor no diagrama de flechas abaixo: A variável x é chamada variável independente, e y, a variável dependente. Portanto, a variável y é dita em função de x, e assim escrevemos y = f(x). Domínio e ImagemSabendo que toda função f de A em B é uma relação binária, isto é, para cada elemento em A existe somente um elemento em B relacionado a ele, então f tem um domínio e uma imagem. O domínio é o conjunto D, formados pelos elementos x ∈ A, de forma que existe y ∈ B, tal que o par ordenado (x, y) ∈ f. O conjunto A é o domínio, o conjunto de partida, assim temos que: A imagem de uma função é o conjunto Im formado pelos elementos y ∈ B de forma que existe x ∈ A tal que o par ordenado (x, y) ∈ f. O conjunto Im é subconjunto do contradomínio B, isto é: Veja na imagem abaixo:
O domínio D é igual ao conjunto A e o conjunto imagem Im é subconjunto do contradomínio B. Gráficos de FunçõesO gráfico de f: R → R é formado pelo conjunto de todos os pontos (x, y) do plano cartesiano de forma que y = f(x). Exemplos de gráficos de funções: Como construir o gráfico?Para construir o gráfico de uma função, devemos atribuir valores para a variável que representa um valor do domínio da função e com isso encontraremos o valor que representa a imagem para aquele elemento do domínio. Exemplo: Seja a função f: A → R, tal que f(x) = 2x – 2. Sendo A = [0, 5], represente esta função no plano cartesiano e desenhe o seu respectivo gráfico. Resolução: Para encontrar os pares ordenados (x, y) do plano cartesiano, devemos atribuir os valores do domínio A que estão no intervalo [0, 5]. Assim:
Esses valores formam a seguinte tabela: Onde:
Marcando os valores dos pares (x, y) no plano cartesiano e traçando uma reta que passa pelos pontos formados pelos pares ordenados (x, y), temos o seguinte gráfico: Reconhecimento do Gráfico de uma FunçãoVamos observar os seguintes gráficos e fazer uma discussão a respeito deles: O gráfico I não representa o gráfico de uma função, pois os elementos do domínio da função no eixo x estão relacionados com mais de um elemento do eixo y. Como sabemos pela definição, cada elemento do domínio só pode está relacionado a um único elemento do conjunto imagem. O gráfico II representa o gráfico de uma função, pois para cada elemento em x, existe somente um elemento em y. Isto é, cada elemento do domínio está relacionado a apenas um elemento da imagem. Domínio e Imagem de uma Função a partir do seu GráficoConsidere o seguinte gráfico de uma função qualquer: Pelo gráfico acima, podemos afirmar que a função possui um domínio limitado no intervalo [1, 3], para valores no eixo x (eixo das abcissas). Os valores do intervalo [1, 4], no eixo y (eixo das ordenadas), é a imagem da função. Dessa forma, temos que:
Estudo do SinalAo estudar o sinal de uma função conseguimos determinar quando a função assume valores correspondentes em y negativos, nulos ou positivos, para quais valores de x. Exemplo: Seja o gráfico de uma função f: R → R: Pelo gráfico temos que:
Função Crescente, Decrescente e ConstantePodemos classificar as funções de acordo com seu gráfico em: crescente, decrescente e constante.
Tipos de FunçõesPodemos classificar as funções segundo as propriedades específicas que elas possuem. Essas propriedades retratam o comportamento que elas terão em certas condições. Injetora ou InjetivaUma função f: A → B é injetora ou injetiva se, e somente se, os elementos distintos em A possuem elementos distintos em B. Como podemos ver pelo diagrama de flechas que todo elemento de B possui somente uma flecha apontada para ele. Sobrejetora ou SobrejetivaTemos que f : A → B é sobrejetora ou sobrejetiva se, e somente se, todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A. Pelo diagrama de flechas vemos que todos os elementos de B é atingido por pelo menos uma flecha de pelo menos um elemento de A. Bijetora ou BijetivaUma função f : A → B é bijetora ou bijetiva se, e somente se, ela for injetora e sobrejetora. Isto é, todos os elementos de B é imagem de apenas um elemento de A. Como vemos no diagrama de flechas que todos os elementos de B é imagem de apenas um elemento de A, assim sendo injetora e sobrejetora e, portanto, é bijetora. CompostaSejam os conjuntos A, B e C, e duas funções f : A → B e g : B → C, chamamos de composta uma função h = gof: A → C, definida por R = gof(x) = g(f(x)). Exemplo:
InversaSeja f : A → B, definimos a inversa de f por f-1: B → A. Ou seja, é a função que leva os elementos da imagem de f aos elementos do domínio de f. Dessa forma, f : A → B é inversível ⇔ f é bijetora. Leia mais sobre função inversa. ModularTemos uma função modular quando os seus números são sempre positivos. O módulo é representado por duas barras verticais. Exemplo:
Leia mais sobre função modular. ParUma função é chamada par quando f(x) = f(-x), ou seja, os elementos opostos do domínio tem imagens iguais. Exemplo: ÍmparUma função é chamada ímpar quando f(x) = -f(-x), ou seja, os elementos opostos do domínio tem imagens opostas. Exemplo: Afim ou Polinomial do Primeiro GrauA função afim é do tipo polinomial do primeiro grau se for definida como: f : R → R tal que f(x) = ax + b, com a e b números reais e a ≠ 0. Exemplos:
Quadrática ou Polinomial do Segundo GrauA função quadrática é do tipo polinomial do segundo grau se for definida como: f : R → R tal que f(x) = ax² + bx + c, com a ∈ R, b ∈ R e c ∈ R e a ≠ 0. Exemplos:
ExponencialUma função exponencial é definida da seguinte forma: f : R → R*+ tal que f(x) = ax, com 0 < a ≠ 1. Exemplos:
ExercíciosVeja os exercícios no link a seguir: |