. a. Estabeleça as condições exigidas para se aplicar a distribuição binomial? b. Qual é a probabilidade de caras em lançamentos de uma moeda honesta? c. Qual é a probabilidade de menos que caras em lançamentos de uma moeda honesta? a. A distribuição binomial é usada para encontrar a probabilidade de X números de ocorrências ou sucessos de um evento, P(X), em n tentativas do mesmo experimento quando () existirem somente resultados mutuamente exclusivos, () as n tentativas são independentes, e () a probabilidade de ocorrência ou sucesso, p, permanece constante em cada tentativa b.!!! Em muitos livros, p(a probabilidade de fracasso) é definida como q. Aqui n =, X =, p = ½, e q = ½. Substituindo estes valores na equação acima, obtemos:!!!!!!...... 0 0, No Excel poderíamos construir uma planilha para resolver este item do problema assim: A B C Descrição O número de tentativas bem-sucedidas O número de tentativas independentes 0, A probabilidade de sucesso em cada tentativa Fórmula Descrição (resultado) 0,00 <--=DISTRBINOM(A;A;A;FALSO) A probabilidade de exatamente de tentativas serem bem-sucedidas (0,00) Você poderia também usar o procedimento que desenvolvemos em Javascript para a realização deste cálculo. Assim Bertolo Página O link é: http://www.bertolo.pro.br/finest/estatistica/distribuicaoprobabilidades/binomial.htm c. P(X < ) = P(0) + P() + P()! 0 0! 0!! 0!!...... 0,0!!!!!!...... 0,!!!!!!...... 0 0, Então, P(X < ) = P(0) + P() + P()= 0,0 + 0, + 0, = 0, Numa planilha Excel teríamos: A B C D 0 0, 0,0 0, 0, <--=DISTRBINOM(C;$A$;$A$;FALSO) 0, <--=DISTRBINOM(C;$A$;$A$;VERDADEIRO). a. Suponha que a probabilidade dos pais terem um filhoa com cabelos loiros seja ¼. Se houverem crianças na família, qual é a probabilidade de que metade delas terem cabelos loiros? b. Se a probabilidade de atingir um alvo num único disparo é 0,, qual é a probabilidade de que em disparos o alvo seja atingido no mínimo vezes? a. Aqui n =, X =, p = /, e q = /. Substituindo estes valores na fórmula binomial, obtemos!!!!!!...... 0 0 09 09 0, No Excel poderíamos construir uma planilha para resolver este item do problema assim: Outras distribuições poderão ser calculadas neste site: http://www.bertolo.pro.br/finest/estatistica/index.html Bertolo Página A 0, B Fórmula 0,8 <--=DISTRBINOM(A;A;A;FALSO) Você poderia também usar o procedimento que desenvolvemos em Javascript para a realização deste cálculo. Assim O link é: http://www.bertolo.pro.br/finest/estatistica/distribuicaoprobabilidades/binomial.htm b. Aqui n =, X, p = 0, e p = 0, P(X ) = P() + P()!!! 0, 0,... 0,0, 0,089 0,0...!!! 0, 0, 0, 0, 0, 0,008 P(X ) = P() + P() = 0,0 + 0,008 = 0,08 Outras distribuições poderão ser calculadas neste site: http://www.bertolo.pro.br/finest/estatistica/index.html Bertolo Página . a. Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 0 tubos aleatoriamente de uma carga muito grande de tubos que se sabe que contém 0% de tubos defeituosos. Qual é a probabilidade de que não mais do que dos tubos extraídos sejam defeituosos? b. Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de itens aleatoriamente de um processo de fabricação sabido produzir 8% de itens aceitáveis. Qual a probabilidade de que 0 dos itens extraídos sejam aceitáveis? a. Aqui n = 0, X, p = 0, e p = 0,8 P(X ) = P(0) + P() + P() Assim, 0 0! 0! 0 0! 0, 0,8 0,0 0!! 0! 0, 0,8 0 0,0, 0,8 0!! 0! 0, 0,8 0,00, 0,00 P(X ) = P(0) + P() + P() = 0,0 + 0,8 + 0,00 = 0,8 ou,8% b. Aqui n =, X = 0, p = 0,8 e p = 0,. A probabilidade de X = 0 itens aceitáveis com p = 0,8 é igual a probabilidade de X = itens defeituosos com p = 0,. Mas fazendo os cálculos encontramos: A B C D 0 0 0, 0,08 0,8 0,0989888 <--=DISTRBINOM(C;$A$;$A$;FALSO) 0,99 <--=DISTRBINOM(C;$A$;$A$;VERDADEIRO)!!! 0, 0,8 00 0,000090,98 0,09 ou,% A 0 0,8 Fórmula 0,089 <--=DISTRBINOM(A;A;A;FALSO) B. a. Se moedas honestas forem lançadas simultaneamente ou moeda honesta for lançada vezes, calcule a distribuição de probabilidade completa e desenhe a num gráfico b. Calcule e trace o gráfico da distribuição de probabilidade para uma amostra de itens tomada aleatoriamente de um processo de produção sabido produzir 0% de itens defeituosos a. Usando n = ; X = 0Ca, Ca, Ca, Ca ou Ca; P = /, obtemos: Bertolo Página A B C D E F 0 0, 0,0 0, 0, 0, 0,0 <--=DISTRBINOM(C;$A$;$A$;FALSO) <--=DISTRBINOM(C;$A$;$A$;VERDADEIRO) Probabilidade 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Figura Distribuição de Probabilidades de Caras no Lançamento de Moedas Honestas. Note na figura que quando p 0,, a distribuição de probabilidade é simétrica. 0, 0,0 0,0 0,0 0 Número de Caras b. Usando n = ; X = 0,,,, ou defeituosas; p = 0,, obtemos A B C D E F G 0 0, 0,80 0,0 0,08 0, 0,08 0,00 <--=DISTRBINOM(C;$A$;$A$;FALSO) <--=DISTRBINOM(C;$A$;$A$;VERDADEIRO) Probabilidade 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,80 0,0 0,08 0, Figura Distribuição de Probabilidades de Itens Defeituosos numa amostra de itens extraídos aleatoriamente de um processo de produção que se sabe produzir 0% de itens defeituosos. Note na figura que quando p 0,, a distribuição de probabilidade é assimétrica para a direita. 0,0 0 0,08 0,00 Número de Caras. Calcule o valor esperado e o desvio padrão e determine a simetria ou assimetria da distribuição de probabilidade de a. Exercício a. b. Exercício b. c. Exercício a. d. Exercício b. a. E(X) = μ = n.p =.(/) = / =, filhos loiros. σ X =,,0 Bertolo Página Como p < 0,, a distribuição de probabilidade de crianças loiras é assimétrica à direita. b. E(X) = μ = n.p =.(0,) =, disparos. σ X = 0,0, 0,8 0,9 Como p < 0,, a distribuição de probabilidade é assimétrica à direita. c. E(X) = μ = n.p = 0.(0,) = tubos defeituosos. σ X = 00,0,8,, Como p < 0,, a distribuição de probabilidade é assimétrica à direita. d. E(X) = μ = n.p =.(0,8) =, itens aceitáveis. σ X = 0,80,,9,8 á Como p > 0,, a distribuição de probabilidade é assimétrica à esquerda. Bertolo Página
"Em nossas loucas tentativas, renunciamos ao que somos pelo que esperamos ser".William Shakespeare
Exemplo: Calcule o fatorial dos números 0,1,2,3,4 e 5 . 0! = 1
1! = 1
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120.
Observação: O zero não entra nesta definição, pois se multiplicarmos todo o produto de n até 1 por zero teremos zero como resultado.
O que é uma distribuição binomial?
Vamos entender as caraterísticas de um experimento binomial
Um experimento binomial é um ensaio estatístico que tem as seguintes propriedades:
Mas o que é um ensaio independente?
Um ensaio em um experimento é independente se a probabilidade de cada resultado possível não muda de ensaio para ensaio. Por exemplo, se você lança uma moeda para o alto cinquenta vezes, cada lançamento é um ensaio independente, porque o resultado de um lançamento (cara ou coroa) não afeta a probabilidade de se obter cara ou coroa no próximo lançamento.
Onde :
n = número de experimentos executados;
p = é o valor da probabilidade do que se quer que aconteça, ou seja, é a probabilidade de sucesso.
k = é o numero de vezes que a pergunta do exercício pede que ocorra.
q = probabilidade de fracasso.
Solução
1.1-para calcular a probabilidade de uma peça defeituosa,a gente tem que saber que o nosso k(número de sucessos nos n experimentos)vai ser igual a 1 porque a gente quer saber somente a probabilidade de sair uma peça e só, então : como k=1,p=0,1 e n= 10 teremos:
Substituindo na Fórmula , vem : 
1.2- Já que vamos calcular a probabilidade para nenhuma peça defeituosa,o nosso k vai ser igual a 0(nenhuma peça=nada)então : n=10,k=0,p=0,1 e q= 1-0,1=0,9
1.3- o nosso objetivo é calcular a probabilidade para duas peças defeituosas,isso significa que o nosso número de sucesso (o que a gente deseja calcular) é igual a k=2, então : como n=10,p=0,1 e q=0,9 teremos:
1.4- Sabendo que vamos calcular a probabilidade de ter no mínimo 2 peças defeituosas , quer dizer que a gente não quer saber a probabilidade para nenhuma ou uma peça defeituosa.tendo em conta que a gente quer no mínimo 2 peças, podemos concluir que a probabilidade de sucesso será a probabilidade para k=2+k=3+k=3+k=4+k=5+k=6+k=7+k=8+k=9 + k=10. A gente pode notar que calculando a probabilidade desses 8 ks vai dar muito trabalho então , a gente pode calcular o que não quer que é o k=0 e k=1,porque o somatório do que a gente quer e o que a gente não quer tem que ser igual a 1 (100%). Quero + não Quero=1 ou seja: 1-não Quero=Quero. Mas a probabilidade para k=0 e k=1 a gente já calculou nos exercícios anteriores ou seja:0,3486 e 0,3874 respectivamente. Então:
1.5- Finalmente a gente quer saber a probabilidade de no máximo ter 2 peças defeituosas . isso quer dizer que o nosso interesse está em k=0 + K=1 + K=2. Sempre que você ver na prova dizendo no máximo x, quer dizer que é do x para zero. A probabilidade para x=0,x=1 e x=2 a gente já fez anteriormente ,um Ctrl c+ Ctrl v basta. então: OBS: Para você fazer fácil na calculadora siga a fórmula : Digite o valor de n, clique em nCr, digite o valor de k. depois de obter o valor, multiplique com o p elevado a k e o 1-p elevado a n-k . Exercício 2 Considere que a probabilidade de nascimento de homens e mulheres é igual. Determine a probabilidade de um casal com 6 filhos ter 4 homens e 2 mulheres.Solução A 1ª coisa a fazer é saber o número total do experimento(n) que neste caso será o número total de filhos,a probabilidade de sucesso(p) e posteriormente o fracasso(q=1-p),ou seja n= 6 filhos. Mas o exercício não deu a probabilidade de sucesso(P)nem a probabilidade de fracasso (q), mas passou pra gente algo extremamente interessante, que a probabilidade de nascimento de homens e mulheres é igual.Se é igual então temos 50% de sucesso(50% de acontecer) e 50% de fracasso(50% de não acontecer)..nesse caso é como se fosse em uma moeda,sempre teremos 50% de sair cara ou coroa. Resumindo: n=6,p=0,5 e q=0,5 Depois de encontrarmos os valores de n,p e q podemos prosseguir : A probabilidade para o casal ter 4 homens e 2 mulheres será :
Substituindo na fórmula, teremos :
A probabilidade para o casal ter 4 homens e duas mulheres é de 23,44%. Se você quiser calcular a média,variância e desvio padrão utilize as fórmulas : Média(x)=n.p ; var(x)=n.p.q ; Dp= raiz da variância. Exercício 3
Resumindo: n=20,k=8,p=0,5 e q=0,5 A probabilidade de saírem 8 caras será :
Substituindo os valores teremos : Fazendo pela calculadora : Digite o valor de n=20, clique em nCr, digite o valor de k=8. depois de obter o valor, multiplique com o p=0,5 elevado a k=8 e o q elevado a 12.
Exercício 4 Uma prova tipo teste tem 50 questões independentes. cada questão tem 5 alternativas. Apenas uma das alternativas é a correta. Se um aluno resolve a prova respondendo a esmo as questões, qual é a probabilidade de tirar nota 5 ? Essa questão é um grande quebra cabeça das galaxias,mas vamos lá: A primeira coisa a fazer é saber o número total do experimento(n) que neste caso vai ser o número total de questões n=50. A Segunda coisa a saber é a probabilidade de sucesso(p)que neste caso vai ser p=1/5, sabe porquê? supondo que a galera do bonde da stella vai fazer uma prova. Só terá sucesso(acerto)em uma das 5 alternativas existentes...do mesmo jeito ,se fosse 2 alternativas corretas a probabilidade seria de p=2/5. Já que p=1/5 o q=1-1/5=4/5. O nosso número de sucessos(k)vai ser k=25, porque se a gente fosse calcular a probabilidade para tirar nota 10 séria k=50(acertando todas as questões), mas como o nosso objetivo é calcular nota 5(metade das questões)o nosso k vai ser igual a 25. Resumindo:n=50, k=25, p=1/5 e q=4/5
Suponha que a probabilidade de um casal ter um filho com cabelos loiros seja 1/4.Se houverem 6 crianças na família , qual é a probabilidade de que metade delas tenham cabelos loiros. Cara, para resolver esse trem, a gente precisa entender o seguinte : -A probabilidade de sucesso é p=1/4 então , q=1-p=3/4; -o número de vezes que a pergunta pede quer que ocorra o sucesso k,ou seja,o que a gente quer saber é a metade das 6 crianças então,k=6/2=3. Resumindo:n=6,p=1/4,q=3/4 e k=3
Substituindo na fórmula , teremos:
Exercício 6 Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 15 itens aleatoriamente de um processo de fabricação sabendo que produz 85% de itens aceitáveis. Qual é a probabilidade de que 10 dos itens extraídos sejam aceitáveis ? Vamos entender o seguinte : -A probabilidade de sucesso é p=0,85 então , q=1-p=0,15; -o número de vezes que a pergunta pede quer que ocorra o sucesso k,ou seja,o que a gente quer saber é a probabilidade dos 10 itens serem aceitáveis então: k=10. Resumindo:p=0,85,q=0,15 ,k=10 e n=15.
Substituindo na fórmula , teremos:
A probabilidade de que um carro , indo de São Paulo a Lins tenha, no decorrer da viagem , um pneu furado é 0,05. Achar a probabilidade de que entre 10 carros ,indo todos de São Paulo a Lins exatamente um carro tenha um pneu furado . Para qualquer tipo de exercício que fala de distribuição binomial ,a primeira coisa a fazer é achar o número total(n) da situação que a gente tá resolvendo que neste caso vai ser n=10 carros. -Se a nossa probabilidade de um pneu furar é p=0,05 então q=1-p=0,95. -agora vamos responder uma pergunta, o que a gente deseja calcular ? a gente deseja calcular a probabilidade de que exatamente um carro tenha um pneu furado então : k=1.
Resumindo : n=10,p=0,05,q=0,95 e k=1. Fórmula
Exercício 8 Registros hospitalares mostram que dos doentes que sofrem de uma determinada doença, 7 5% morrem da doença. Qual é a probabilidade de que 6 pacientes selecionados aleatoriamente,4 consigam se recuperar? Este é um binômio distribuição, pois há apenas dois resultados (o paciente morre, ou não). Deixe X = número que recuperar. Aqui, n = 6 , x =4 , p = 0. 2 5 (sucesso, ou seja, eles vivem), q = 0. 7 5 (falha, ou seja, eles morrem). A probabilidade de que 4 consigam se recuperar: Resumindo : n = 6 ,k=4 ,p=0,25 e q = 0,75
Substituindo os valores , vem :
Uma fabricante de pistões de metal que se encontra em São Paulo-BR ,tem em média 12% de seus pistões rejeitados porque são ou acima ou abaixo. Qual é a probabilidade de que em um lote de 10 pistões contenha não mais do que 2 rejeições? Seja n=10 ( total de pistões ) , q=0,88, p=0,12 teremos : Como as rejeições não podem passar de duas ,significa que vamos calcular a probabilidade para nenhuma rejeição, uma rejeição e duas rejeições e posteriormente fazer o somatório. Cálculo da probabilidade para nenhuma rejeição
Cálculo da probabilidade para uma rejeição Cálculo da probabilidade para duas rejeições Então ,a probabilidade de conseguir não mais do que 2 rejeições será : Substituindo os valores , vem que : Assim, a probabilidade para obter não mais do que duas rejeições é de 0,89131 ou 89,31% Num teste tipo certo/errado, com 50 questões, qual é a probabilidade de que um aluno acerte 80% das questões, supondo que ele as responda ao acaso ?Cada resposta tem probabilidade de sucesso 0,50, porque estamos perante um exercício certo/errado. Desse modo, o número de respostas corretas(x), tem distribuição binomial com n = 50 e p = 0,50. Acertar 80% das questões significa: 0,8*50 = 40 questões que vai ser o nosso k . Resumindo : n=50, k=40,p=0,5, q=0,5 Também pode resolver pela calculadora FAÇA A PROVA OU SIMULADO
a) A probabilidade de exatamente duas caras ocorrerem b) A probabilidade de ocorrerem pelo menos 4 caras Um time D tem 2/3 de probabilidade de vitória sempre que joga . Se esse time disputar 4 partidas ,encontre a probabilidade desse time vencer : a) pelo menos uma partida . b) mais que a metade das partidas SOLUÇÃO
Esta lista de exercícios , é resultado de um estudo amplo com o objetivo de descomplicar a análise de espaço amostral e probabilidade de eventos sem utilizar aqueles métodos como Diagrama em árvore e tabela de dupla entrada (produto cartesiano) que muitos professores utilizam para dificultar um pouco o entendimento de probabilidade. Os exercícios estão divididos em 3 seções : Seção de exercícios Básicos ,Seção de exercícios com um certo grau de dificuldade e uma seção sobre prova teste ou simulado. Definições Espaço amostral (S) É o espaço de amostragem de todos os elementos de um experimento probabilístico . Por exemplo: no lançamento de uma moeda,os elementos pertencentes a uma moeda, são : a cara e a coroa, somente é possível obter ou cara ou coroa e o nosso espaço amostral será : S ={ cara, coroa }, um outro exemplo bacana é o lançamento de um dado que pegando o mesmo raciocino , todos os elementos pertencentes a um determinado dado, são os números { 1,2,3,4,5,
A média , mediana e moda,são medidas de posição ou medidas de tendencia central que fazem parte de um ramo muito importante da estatística, que é a estatística descritiva . A Estatística Descritiva permite-nos resumir, descrever e compreender os dados de uma distribuição usando medidas de tendência central (média, mediana e moda) e medidas de dispersão (valores mínimo e máximo, desvio padrão e variância). Muitas vezes , a média ,ela é um pouco injusta com a gente sabe porquê ? Imagine o seguinte : Estamos em uma festa com duas pessoas(Pedro e Niko ) e só tem 2 bifes . Só que acontece o seguinte : o pedro por ser guloso vai escondido e come os 2 bifes...Em media ,cada um deles comeu um bife porque a média diz-nos que havia um bife para cada pessoa mas não nos diz como é que os bifes foram distribuídos. Esta é uma das razões pelas quais os dados estatísticos que se apresentam em relatórios de investigação terem frequentemente duas ou mais medidas descritivas associadas. Por
Definição A Integral definida é um tipo de integral que tem um valor inicial que denominamos de limite inferior e um valor final que chamamos de limite superior . Resumidamente a integral definida entre a e b é a integral indefinida em b menos a integral indefinida em a . Teorema fundamental do cálculo Muitas vezes , a gente ouve falar do teorema fundamental do cálculo e tem dificuldade de entender, porque nem todo professor tem paciência de explicar todo esse trem , mas vamos nessa ! O teorema fundamental do cálculo é a base das duas operações centrais do cálculo, diferenciação e integração, que são inversas uma da outra . Isto quer dizer que se uma função contínua é primeiramente integrada e depois diferenciada (ou vice-versa), volta-se na função original. Exemplo :Seja f(x)=2x, Calcule a sua integral e derive o resultado para chegar a função original 2x. Sabendo que a constante c é um número , vamos derivar o resultado para chegar no função original. Depo
Para calcular a derivada de uma função que seja derivável, em determinado ponto do seu domínio, podemos sempre usar a definição. Mas, dependendo da função, isto pode significar bastante trabalho e pode ser evitado usando regras de diferenciação, evitando assim complicados cálculos de limites. Em que consistem as regras de derivação ? Resumidamente podemos afirmar que se o cálculo de derivadas usando a definição é meio complexo e gasta mais tempo , usando as regras de diferenciação as coisas ficam um pouco mais tranquilas devido a rapidez na execução e obtenção dos resultados. Entretanto, aplicar as regras de derivação consiste em usar estes conhecimentos para, a partir das derivadas de funções mais simples, determinar as derivadas de funções que delas se obtêm por meio das operações. Simbologia A derivada de uma função f, na variável x , é uma função, que representamos por f ' . Regras a seguir : Sejam f e g funções diferenciáveis : Está regra afirma que
O teorema de integral definida para o cálculo de área , diz que : Se f e g são funções definidas e contínuas em [a, b] e tais que f (x) ≥ g(x), . Então a área da região A limitada pelos gráficos de f(x) e g(x) e pelas retas x = a e x = b é dada por: Graficamente Seção de exercícios Determine a área limitada pelas curvas Exercício 1 Solução Primeiro ,vamos calcular as raízes (pontos de interseção) igualando as duas funções : Sempre que temos uma situação como essa, devemos colocar o expoente 2 nas duas funções. Agora, vamos ter que entender o gráfico de cada função envolvida Representando graficamente as curvas, teremos : Calculando a área Exercício 2 Solução Vamos calcular as raízes (pontos de interseção) igualando as duas funções : Chegamos numa equação do segundo grau , e vamos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes ou pontos de interseção (x 1 e x 2 ). De acordo com a nossa equação ... a = |
Distribuição binomial Exercícios resolvidos doc
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