Escrito por: Chance E. Gartneer
Escrito em: November 20, 2021
A esfera é um círculo tridimensional que conserva muitas das propriedades e características de um círculo bidimensional. Uma das propriedades compartilhadas é o raio e o centro da esfera, que são inter-relacionados. É possível encontrá-los através de uma equação de forma padrão de três variáveis. Aprender a maneira correta e eficiente de encontrar o centro e o raio da esfera pode ajudá-lo a entender melhor as propriedades da esfera e as propriedades gerais de geometria tridimensional.
Reorganize a ordem dos termos, de modo que os termos com a mesma variável fiquem juntos. Por exemplo, se a equação for x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + 4x - 4z = 0, então a reorganização dos termos resultaria em x ^ 2 + 4x + y ^ 2 + z ^ 2 - 4z = 0.
Step 2
Adicione parênteses em torno dos termos com as mesmas variáveis para separá-los. Por exemplo, mude x ^ 2 + 4x + y ^ 2 + z ^ 2 - 4z = 0 para (x ^ 2 + 4x) + y ^ 2 + (z ^ 2 - 4z) = 0.
A expressão y pode permanecer como está, já que existe apenas um termo variável y.
Complete os quadrados dos termos entre parênteses. Completar o quadrado significa adicionar números para ambos os lados da equação, de modo que o termo possa ser tomado como um binômio, ou um polinômio para a potência de 2. Por exemplo, (x ^ 2 + 4x) + y ^ 2 + (z ^ 2 - 4z) = 0 torna-se (x ^ 2 + 4x + 4) + y ^ 2 + (z ^ 2 - 4z + 4) = 0 + 4 + 4.
Step 4
Fatore as expressões entre parênteses. Para o exemplo, a expressão x ^ 2 + 4x + 4 pode ser tida em conta (x +2) ^ 2 e a expressão z ^ 2 - 4z + 4 pode ser tida em conta (z-2) ^ 2. A equação agora se lê (x 2) ^ 2 + y ^ 2 + (z-2) ^ 2 = 8.
Step 5
Encontre a raiz quadrada do lado não variável da equação. Para o exemplo, a raiz quadrada de 2 8 é √ 2. Esse é o raio da esfera.
Step 6
Defina cada termo variável igual a zero e resolva. Para (x 2) ^ 2 = 0, a equação torna-se 2 x = 0 e x = -2. Para y ^ 2 = 0, y = 0. Para (Z-2) ^ 2 = 0, a equação torna-se z-2 = 0 e z = 2. O centro da esfera é representado por essas três coordenadas e é escrito como (-2,0,2).
O raio mede exatamente metade do diâmetro. Sendo assim, a fórmula é r = D/2. Essa fórmula é idêntica ao método usando para calcular o raio de um círculo usando seu diâmetro. Caso tenha uma esfera com um diâmetro de 16 cm, encontre o raio dividindo 16/2, chegando ao resultado final de 8 cm.
Quais os principais elementos da esfera?
Entre os elementos de uma esfera, podemos citar: polos, meridianos, paralelos, entre outros. As esferas são obtidas pelo giro de um semicírculo ao redor do diâmetro, por isso, são chamadas de sólido de revolução.
Como calcular o raio do planeta?
Eratóstenes obteve 40.000 quilómetros de perímetro e sabemos actualmente que são 40.075 quilómetros. A diferença foi mínima”, diz Paulo Jorge Lourenço, acrescentando que depois, para se obter o raio, é só dividir o perímetro por dois Pi (3,14). Eratóstenes chegou assim ao valor de 6369 quilómetros.
Como calcular o diâmetro através do comprimento?
Em qualquer região circular basta dividirmos o comprimento da mesma, pela medida do diâmetro, que encontraremos o valor correspondente a 3,14 aproximadamente. Com base nessa descoberta, o comprimento de uma região limitada por uma circunferência é calculada através da expressão matemática C = 2 * π * r.
O que é uma esfera e seus elementos?
A esfera é um sólido geométrico formado pelo giro de 180° de uma circunferência. Seus elementos são secção, superfície, meridianos, entre outros. Uma esfera é um sólido geométrico formado pelo giro de 180° de uma circunferência em torno do seu próprio eixo central, também chamado de eixo de rotação.
Como mede o raio da esfera?
- Como o raio da esfera mede 10 centímetros, basta substituirmos essa medida por esse número na expressão: Questão 2. (Enem) O núcleo de uma bomba atômica tem o formato de uma esfera de raio r = 7,15 cm. Assim, o volume da esfera e a massa de urânio 235 que essa esfera comporta serão iguais aproximadamente a:
Como encontrar o raio da superfície?
- Encontre o raio com a ajuda da área da superfície. Use a fórmula r = √ (A/ (4π)). A área da superfície pode ser encontrada por meio da equação A = 4πr 2. A fórmula √ (A/ (4π)) = r significa que o raio da esfera equivale à raiz quadrada da área da superfície dividida por 4π.
Qual é o fuso de uma esfera?
- O fuso é a superfície formada pela rotação de uma semicircunferência quando essa rotação (θ) é menor que 360º, ou seja, quando 0 < θ < 360º. Como o fuso é parte da superfície de uma esfera, calculamos a sua área, que pode ser deduzida por regra de três, gerando a seguinte fórmula:
Qual o diâmetro de uma esfera?
- Aprenda as fórmulas que usam o raio para encontrar a distância, circunferência, área da superfície e o volume. D = 2r. Assim como nos círculos, o diâmetro de uma esfera equivale ao dobro do raio. C = πD ou 2πr. Assim como nos círculos, a circunferência de uma esfera equivale a π vezes o diâmetro.
Volume da esfera é calculado com base no raio (r), que, em suma, é o único elemento constituinte desse sólido. Existe mais de uma maneira de construir-se uma esfera. Nesse sentido podemos pensar, por exemplo, na sobreposição de circunferências, na qual os raios variam ou pela revolução de um semicírculo ou pelo conjunto de pontos do espaço, em que a distância desses pontos até o centro da esfera é sempre menor ou igual ao raio.
Leia também: Noções primitivas de geometria: ponto, reta, plano e espaço
O que é uma esfera?
Do estudo da circunferência sabemos que o diâmetro é o dobro do valor do raio. Assim, definimos uma esfera como sendo um sólido tridimensional restringido por uma superfície de rotação que possui todos os pontos equidistantes, ou seja: possui a mesma distância de um ponto do seu interior, ponto esse que chamamos de origem.
A superfície da esfera é obtida a partir da revolução (rotação) de uma semicircunferência em torno do diâmetro.
Leia também: Elementos do Círculo e da circunferência
Regiões da esfera
O ponto O é o centro da esfera e o segmento OB é chamado de raio da esfera.
Podemos dizer que os pontos do espaço que estão a uma distância do centro O maior que o raio r compõem o exterior da esfera. Matematicamente estamos dizendo que o conjunto de pontos P vai estar fora da esfera se:
dOP > r
De maneira análoga, os pontos do espaço que estão a uma distância do centro O menor que o raio r compõem o interior da esfera. Ou seja, o conjunto de pontos P para estarem dentro da esfera devem satisfazer a condição:
dOP < r
Os pontos do espaço cuja distância até o ponto O é exatamente igual ao raio compõem a superfície ou a “casca” da esfera.
dOP = r
Como calcular o volume da esfera?
Considere uma esfera de raio r.
O volume da esfera é dado pela relação seguinte:
V = 4 · π · r³
3
Veja também: Diferenças entre figuras planas e espaciais
Exercícios resolvidos
Questão 1. Calcule o volume da esfera cuja medida do raio é de 10 cm.
Solução
Como o raio da esfera mede 10 centímetros, basta substituirmos essa medida por esse número na expressão:
Questão 2. (Enem) O núcleo de uma bomba atômica tem o formato de uma esfera de raio r = 7,15 cm. Assim, o volume da esfera e a massa de urânio 235 que essa esfera comporta serão iguais aproximadamente a:
(Dados: π = 3,14 e densidade do U235 = 17 g/cm3)
a) 1530 cm3 e 26 kg
b) 1500 cm3 e 26 kg
c) 1530 cm2 e 24 kg
d) 1500 cm3 e 24 kg
e) 1530 cm3 e 24 kg
Solução
Sabemos que o volume da esfera é dado pela seguinte relação e substituindo o valor do raio que foi dado pelo enunciado temos:
No enunciado temos que a cada centímetro cúbico temos 17 g de urânio. Como encontramos um volume de 1530 cm³ de urânio, teremos que:
m = 1530 · 17 = 26010g
m ≈ 26 kg
Alternativa a