Como calcular derivada com raiz quadrada

Se você já estudou Cálculo, é provável que tenha aprendido a regra da potência para se encontrar a derivada de funções básicas. No entanto, quando a função contém uma raiz quadrada ou um radical, como no caso de

, essa regra fica difícil de ser aplicada. Com uma simples substituição do expoente, diferenciar essa função fica bastante fácil. Você poderá então aplicar a mesma substituição e usar a regra da cadeia para diferenciar várias outras funções envolvendo radicais.

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   Revise a regra da potência nas derivadas. A primeira regra que você provavelmente aprendeu no cálculo das derivadas é a regra das potências. Ela afirma que, para uma variável

   elevada a qualquer expoente
   , sua derivada ficará da seguinte maneira:[1] X Fonte de pesquisa Ir à fonte
   • Como exemplo, relembre os conceitos com as seguintes funções com derivadas:
     • Se
       , logo
       ;
     • Se
       , logo
       ;
     • Se
       , logo
       ;
     • Se
       , logo
       .

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   Reescreva a raiz quadrada em forma de expoente. Para encontrar a derivada de uma função de raiz quadrada, você precisa se lembrar de que a raiz quadrada de qualquer número ou variável também pode ser escrita em forma de expoente. O termo abaixo do radical será escrito como base e elevado ao expoente

   . Considere os exemplos seguintes:[2] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

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   Aplique a regra da potência. Se a função for a raiz quadrada mais simples,

   , aplique a regra da potência como se segue para encontrar a derivada:[3] X Fonte de pesquisa Ir à fonte
   • (escreva a função original);
   • (reescreva o radical em forma de expoente);
     • (ache a derivada pela regra da potência);
     • (simplifique o expoente).

4. 4

   Simplifique o resultado. A essa altura, é importante reconhecer que um expoente negativo indica fazer uso da recíproca, ou o que o número seria tendo o expoente positivo. Em outras palavras, o expoente

   significa que voc6e terá a raiz quadrada da base na forma do denominador de uma fração.[4] X Fonte de pesquisa Ir à fonte
   • Continuando a partir da função acima com a raiz quadrada de x, a derivada poderá ser simplificada como:

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   Revise a regra da cadeia em funções. Ela é usada nas derivadas quando a função original combina uma função dentro de outra. A regra da cadeia indica que, para duas funções

   e
   , a derivada da combinação de ambas pode ser calculada da seguinte forma:[5] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

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   Determine as funções para a regra da cadeia. Para usar essa regra, você precisa antes definir as duas funções que compõem a função combinada. Nas funções de raiz quadrada, a função externa

   será a raiz quadrada, enquanto a função interna será o que aparece abaixo do radical.[6] X Fonte de pesquisa Ir à fonte
   • Por exemplo, considere o cálculo para se encontrar a derivada de
     . Defina as duas partes como se segue:

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   Determine as derivadas de ambas as funções. Para aplicar a regra da cadeia à raiz quadrada de uma função, é necessário antes determinar a derivada da função geral, mais externa:[7] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

   • ;
   • A seguir, determine a derivada da segunda função, mais interna:

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   Combine as funções na regra da cadeia. Relembre a regra da cadeia,

   , e combine as derivadas como a seguir:[8] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

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   Aprenda o atalho para derivadas de qualquer função com radical. Ao tentar encontrar a derivada da raiz quadrada de uma variável ou função, você pode aplicar um padrão simples. Ela sempre será a derivada do radicando dividida pelo dobro da raiz quadrada original. Simbolicamente, isso pode ser exibido da seguinte forma:[9] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

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   Encontre a derivada do radicando. Esse é o termo ou a função abaixo do sinal da raiz. Para aplicar esse atalho, determine qual é a derivada apenas do radicando. Considere os seguintes exemplos:[10] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

   • Na função
     , o radicando é
     . Sua derivada será
     .
   • Na função
     , o radicando é
     . Sua derivada será
     .
   • Na função
     , o radicando é
     . Sua derivada será
     .

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   Escreva a derivada do radicando em forma de numerador de uma fração. A derivada de uma função com radical envolverá uma fração. Seu numerador representa a derivada do radicando. Para os exemplos acima, a primeira parte da derivada fica como a seguir:[11] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

   • Se
     , logo
     ;
   • Se
     , logo
     ;
   • Se
     , logo
     .

4. 4

   Escreva o denominador como o dobro da raiz quadrada original. Usando esse atalho, o denominador equivalerá a duas vezes a raiz quadrada original. Logo, para as três funções de exemplo acima, os denominadores das derivadas serão:[12] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

   • Para , logo
     ;
   • Para , logo
     ;
   • Para , logo
     .

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   Combine o numerador e o denominador para encontrar a derivada. Coloque ambas as metades da fração juntas e o resultado será a derivada da função original.[13] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

   • Para , logo
     ;
   • Para , logo
     ;
   • Para , logo
     .

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Categorias: Cálculo

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