As propriedades das potências são aplicadas no estudo de potenciação de números reais. Essas propriedades são técnicas desenvolvidas com o objetivo de facilitar as operações entre os números que possuem expoentes, sendo muito úteis nas áreas de estudos da Física, Química e Biologia, além de serem também aplicadas constantemente no trabalho com notações científicas.
Existem várias propriedades aplicadas quando temos divisão ou multiplicação de potências de mesma base e potência de potência. Também há casos particulares estudados, como as potências de expoente um, expoente zero e expoente fracionário.
Leia também: Notação científica – o uso de potências de base dez para representar números
1ª propriedade – Multiplicação de potências de mesma base
Para simplificar a multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes.
Exemplo 1:
54· 5² = 5·5·5·5·5·5 = 56
Logo, temos que:
54· 5² = 54+2=56
Se necessário, é possível encontrar a potência de 56 realizando a multiplicação sucessiva de 5 por ele mesmo 6 vezes, porém, no uso da propriedade, o interesse é representar a multiplicação de duas ou mais potências como uma potência só.
Exemplo 2:
2³ · 25 · 22=23+5+2=210
2ª propriedade – Divisão de potências de mesma base
Na divisão de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos o expoente do numerador pelo expoente do denominador.
Exemplo 1:
Logo, temos que:
28 : 25 = 28-5 = 2³
Note que realizar a simplificação é bem mais prático do que resolver essas potências de forma separada e depois fazer a divisão. Como ressaltado anteriormente, a intenção das propriedades é simplificar e facilitar as contas com potências.
Exemplo 2:
Ao calcular a potência de uma potência, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes.
Exemplo 1:
(5³)² = (5 · 5 · 5)² = (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 56
Logo, temos que:
(5³)² =53 · 2 = 56
Assim como as duas propriedades anteriores, a aplicação dessa propriedade ajuda a realizar essa operação de forma mais rápida
Exemplo 2
(45)-3 = 45 · (-3) = 4-15
4ª propriedade – Potência de um produto
Dado um produto de dois números reais elevados a um expoente, podemos elevar cada um dos fatores a esse expoente.
Exemplo:
(2 · 4)3=(2 · 4)(2 · 4)(2 · 4) = 2 · 2 · 2 · 4 · 4 · 4 = 23 · 43
Logo, temos que:
(2 · 4)3 = 23 · 43
5ª propriedade – Potência do quociente
Conhecida como potência de um quociente e análoga à propriedade anterior, sempre que houver uma potência de um quociente, podemos calcular a potência do dividendo e a potência do divisor.
Exemplo:
(6 : 4)² = (6 : 4) · (6 : 4) = 6² · 4²
Logo, temos que:
(6 : 4)² =6² : 4²
Casos particulares de potência
Existem alguns casos particulares de potência que merecem ser ressaltados, já que conhecer cada um deles é tão importante quanto o domínio das próprias propriedades. São eles:
-
potência de uma fração;
-
potência de expoente igual a 0;
-
potência de expoente igual a 1;
-
potência com o expoente negativo;
-
potência com expoente fracionário.
→ Potência unitária
Todo número elevado a um é ele mesmo.
Exemplos:
a) 123¹ = 123
b) 0,54¹ = 054
→ Potência de expoente zero
Todo número diferente de zero elevado a zero é igual a um. Nesse caso existe uma restrição para a base, pois a potência 00 é uma indeterminação, ou seja, não possui uma resposta nos números reais, assim como a divisão do número zero.
Exemplos:
100= 1
0,750= 1
1923923120 = 1
→ Potência de uma fração
Como consequência da propriedade da potência de um quociente, lembrando que a fração é uma divisão, ao calcular uma potência de uma fração, podemos separar a potência desta forma:
Exemplos:
Leia também: Potências com expoente fracionário e decimal
→ Potência com um expoente negativo
Para calcular a potência de um expoente negativo, escrevemos o inverso da base e trocamos o sinal do expoente.
Quando a base da potência for um número inteiro, basta escrevermos um sobre a base.
Exemplo:
Quando a base for um número decimal, é necessário realizar a sua representação como uma fração. Quando a base é uma fração, para encontrar o inverso de uma fração, invertemos o numerador com o denominador.
Exemplo:
→ Potência com expoente fracionário
Quando o expoente é fracionário, podemos transformar essa potência em uma radiciação.
Exemplo:
Leia também: Resolvendo raízes por meio da fatoração
Exercícios resolvidos
1) Simplificando a expressão (a3 · b-7 · a2) : (a2 · b-4)2, encontraremos:
a) a/b
b) ab
c) b
d) a²b
Resolução:
Letra B. Usando as propriedades de multiplicação de potência de mesma base, potência de potência e divisão de potência de mesma base, temos que:
(a³ · b-7 · a²) : (a² · b-4)²
(a3+2 · b-5 ) : (a2.2 · b-4.2)
(a5 · b-7 ) : (a4 · b-8)
a5-4 · b-7 - (-8)
a1 · b-7 +8
a1 · b1
a .b
02) (IFG) O valor da expressão aritmética abaixo é equivalente a:
a) 8/17
b) -8/17
c) 16/17
d) -16/17
Resolução:
Letra D.
Resolvendo primeiro o numerador, temos que:
Agora vamos resolver o denominador:
Como temos uma divisão do numerador pelo denominador, vamos multiplicar pelo inverso da segunda fração:
A potenciação é uma operação matemática que representa a multiplicação sucessiva de um número por ele mesmo. Ao multiplicar o 3 por ele mesmo 4 vezes, isso pode ser representado pela potência 3 elevada a 4: 34.
Essa operação possui propriedades importantes que facilitam o cálculo das potências. Assim como a multiplicação possui a divisão como operação inversa, a potenciação possui a radiciação como operação inversa.
Cada elemento da potenciação recebe um nome específico:
an = b
a → base
n→ expoente
b→ potência
Leia também: Potenciação e radiciação de frações
Como ler uma potência?
Saber ler uma potência é uma tarefa importante. A leitura é sempre feita começando pelo número que está na base elevado ao número que está no expoente, como nos exemplos a seguir:
Exemplos:
a) 4³ → Quatro elevado a três, ou quatro elevado à terceira potência, ou quatro elevado ao cubo.
b) 34 → Três elevado a quatro, ou três elevado à quarta potência.
c) (-2)¹ → Menos dois elevado a um, ou menos dois elevado à primeira potência.
d) 8² → Oito elevado a dois, ou oito elevado à segunda potência, ou oito elevado ao quadrado.
As potências de expoente 2 podem ser chamadas também de potências elevadas ao quadrado, e as potências de grau 3 podem ser chamadas de potências elevadas ao cubo, como nos exemplos anteriores.
Cálculo de potências
Para encontrar o valor de uma potência, precisamos realizar as multiplicações como nos exemplos a seguir:
a) 3²= 3 · 3 = 9
b) 5³= 5·5·5 = 125
c) 106 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 1 000 000
Existem alguns tipos específicos de potência.
1º caso – Quando a base for diferente de zero, podemos afirmar que todo número elevado a zero é igual a 1.
Exemplos:
a) 100=1
b) 12930=1
c) (-32)0=1
d) 80=1
2º caso - Todo número elevado a 1 é ele mesmo.
Exemplos:
a) 9¹ = 9
b) 12¹ = 12
c) (-213)¹= - 213
d) 0¹ = 0
3º caso - 1 elevado a qualquer potência é igual a 1.
Exemplos:
a) 1²¹ = 1
b) 1³ = 1
c) 1500=1
4º caso - Base de uma potenciação negativa
Quando a base é negativa, separamos em dois casos: quando o expoente for ímpar, a potência será negativa; quando o expoente for par, a resposta será positiva.
Exemplos:
a) (-2)³ = (-2) · (-2) · (-2) = - 8 → Note que o expoente 3 é ímpar, logo a potência é negativa.
b) (-2)4= (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = 16 → Note que o expoente 4 é par, por isso a potência é positiva.
Leia também: Potências com expoente negativo
Potência com expoente negativo
Para calcular a potência com expoente negativo, escrevemos o inverso da base e trocamos o sinal do expoente.
Propriedades da potenciação
Além dos tipos de potenciação mostrados, a potenciação possui propriedades importantes para facilitar o cálculo de potência.
→ 1ª propriedade – Multiplicação de potências de mesma base
Ao realizarmos uma multiplicação de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.
Exemplos:
a) 24· 23 = 24+3=27
b) 5³ · 55 · 52= 53+5+2 = 510
→ 2ª propriedade – Divisão de potências de mesmo base
Quando encontramos uma divisão de potência de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes.
Exemplos:
a) 37 : 35 = 37-5 = 32
b) 23 : 26 = 23-6 = 2-3
→ 3ª propriedade – Potência de potência
Ao calcular a potência de uma potência, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes.
Exemplos:
a) (5²)³ = 52·3 = 56
b) (35)4 = 35·4 = 3 20
→ 4ª propriedade – Potência de um produto
Quando há uma multiplicação de dois números elevada a um expoente, podemos elevar cada um desses números ao expoente.
Exemplos:
a)(5 · 7)3 = 53 · 73
b)( 6·12)8 = 68 · 128
→ 5ª propriedade – Potência do quociente
Para calcular potências de um quociente ou até mesmo de uma fração, o modo de realizar é muito parecido com a quarta propriedade. Se há uma divisão elevada a um expoente, podemos calcular a potência do dividendo e do divisor separadamente.
a) (8:5)³ = 8³ : 5³
Potenciação e radiciação
A radiciação é a operação inversa da potenciação, ou seja, ela desfaz o que foi feito pela potência. Por exemplo, ao calcularmos a raiz quadrada de 9, estamos procurando o número elevado ao quadrado que resulta em 3. Então, para entender uma delas, é fundamental que se domine a outra. Em equações, também é bastante comum o uso da radiciação para eliminar uma potência de uma incógnita, e também o contrário, ou seja, usarmos potenciação para eliminar a raiz quadrada de uma incógnita.
Exemplo
- Calcule o valor de x, sabendo que x³ = 8.
Para calcular o valor de x, é necessário realizar a operação inversa da potenciação, ou seja, a radiciação. Na realidade, estamos buscando qual é o número que, ao ser elevado ao cubo, tem como resultado o número 8.
Essa relação entre a radiciação e a potenciação torna fundamental dominar as regras de potenciação para avançar o aprendizado sobre a radiciação.
Leia também: Como calcular raízes usando potências?
Exercícios resolvidos
1) (PUC-RIO) O maior número abaixo é:
a) 331
b)810
c)168
d)816
e)2434
Resolução:
Realizar a comparação calculando cada um deles seria uma tarefa difícil, então vamos simplificar as alternativas,
a) 331 → já está simplificada
b) 8 = 2³ → (2³)10 = 230
c) 16 = 24 → (24)8 = 232
d) 81 = 34 → (34)6 = 324
e) 243=35 → (35)4 = 320
Logo, a maior das potências é a letra A.
2) A simplificação da expressão [310: (35. 3)2]- é igual a:
a)3-4
b)34
c)30
d)3²
e)3-2
Resolução:
[310: (35. 3)2]-2
[310: (36)2]-2
[310: 312]-2
[3-2]-2
34
Letra B.