Teste seus conhecimentos com 13 exercícios resolvidos sobre cilindros. Se prepare para o ENEM e vestibulares com as questões comentadas e tire suas dúvidas.
Exercício 1
Calcule o volume do cilindro e marque a alternativa que mais se aproxima do resultado. Dado: considere π = 3,14.
a) Volume = 6000 cm³.
b) Volume = 5000 cm³.
c) Volume =
4000 cm³.
d) Volume = 3000 cm³.
e) Volume = 2000 cm³.
Ver Resposta
Resposta: b) Volume = 5000 cm³.
Resolução
Para determinar o volume do cilindro, multiplicamos a área da base (quadriculada) pela altura.
Da imagem temos o diâmetro = 16 cm e a altura = 25 cm.
Dados:
π = 3,14
Raio da base: r = d/2 = 16/2 = 8 cm
Altura: h = 25 cm
Passo 1: cálculo da área da base.
Como a base é uma circunferência, sua área é obtida pela equação:
Passo 2: cálculo do volume.
O volume do cilindro é dado pela multiplicação entre a área da base (Ab) e sua altura (h).
Portanto, o volume é de cerca de 5000 cm³. Essa é a melhor aproximação.
Exercício 2
No lava jato Limpeza Total, houve um grande movimento hoje, tendo recebido 23 clientes para lavagem completa. No entanto, ao começar a lavar o próximo carro, a água acabou. Só então os funcionários se deram conta que a empresa fornecedora de água emitiu um alerta dizendo que devido a reparos e obras de manutenção, neste dia, não haveria abastecimento.
O dono do estabelecimento pediu um abastecimento de urgência com um caminhão pipa e a empresa fornecedora de água perguntou a capacidade do reservatório. Como era bem antigo, as indicações de capacidade havia apagado, sendo necessário fazer o cálculo a partir de suas medidas.
O reservatório é um cilindro de 4 m de altura e diâmetro de 1,80 m.
A empresa fornecedora de água possui cinco opções de entrega em caminhões pipa. Marque a opção que poderá ser solicitada pelo proprietário do lava jato, enchendo o máximo possível seu reservatório.
Dados: 1 m³ = 1 000 l
a) 12 000 l.
b) 11 000 l.
c) 10 000 l.
d) 9 000 l.
e) 8 000 l.
Ver Resposta
Resposta correta: c) 10 000 l.
Resolução
Devemos calcular o volume em metros cúbicos e depois transformar em litros.
O volume de um cilindro pode ser calculado pela multiplicação da área da base, pela altura.
Ideia 1: calcular a área da base.
Área da base: A = π.r²
Sendo o diâmetro igual a 1,80 m, o raio é 0,90 m.
A = 3,14 * 0,90²
A = 3,14 * 0,81
A = 2,5434 cm²
Ideia 2: calcular o volume do cilindro
V = área da
base * altura
V = π.r².h
V = 2,5434 x 4 = 10,1736 m³
Ideia 3: transformar o resultado de m³ para litros.
Como 1 m³ = 1000 l, basta multiplicar o resultado por 1000.
V = 10,1736 m³ x 1000 = 10 173,6 l
Dessa forma, o proprietário do lava jato poderá pedir o caminhão pipa com 10 000 l.
Exercício 3
Qual a área lateral de um cilindro reto que possui 502,4 cm³ de volume e diâmetro 8 cm.
Dado: π = 3,14.
a) 355,10
cm²
b) 251,20 cm²
c) 125,51 cm²
d) 375,30 cm²
e) 91,45 cm²
Ver Resposta
Resposta correta: b) 251,20 cm²
Resolução
Ideia 1: determinar a altura h e o raio r
Se o diâmetro são 8 cm, logo o raio são 4 cm.
Da fórmula do volume podemos determinar a altura.
Ideia 2: fórmula da área lateral
A área lateral de um cilindro reto de altura h é igual a de um retângulo de comprimento igual ao comprimento da circunferência do cilindro, multiplicado pela altura.
O comprimento de uma circunferência é obtida pela fórmula: 2.π.r
A área de um retângulo pode ser obtida pela multiplicação entre os valores da base e da altura.
Ideia 3: realizar o cálculo da área lateral
Área lateral do cilindro = 2.π.r.h
Área lateral =
2 . 3,14 . 4 . 10
Área lateral = 251,20 cm²
Portanto, a área lateral do cilindro é 251,20 cm².
Exercício 4
Um silo que armazena grãos de soja em uma fazenda, apresentou um problema em sua estrutura e precisa ser reparado com uma solda na parede. O silo é uma torre na forma de um cilindro de 10 m de altura e diâmetro de 6 m. Para realizar o serviço, o gerente decidiu esvaziar o silo, armazenando a produção temporariamente em caçambas de carretas na forma de paralelepípedos, com as medidas iguais a 12 m de comprimento, 2 m largura e 1,5 m de altura. Quantas caçambas são necessárias para armazenar todo o conteúdo?
Utilize π = 3,14.
a) 15 caçambas
b) 7 caçambas
c) 16 caçambas
d) 9 caçambas
e) 8 caçambas
Ver Resposta
Resposta correta: e) 8 caçambas
Resolução
Ideia 1: número de caçambas
O número de caçambas é o volume do silo, dividido pelo volume de uma carreta.
Ideia 2: volume do silo
Como o silo é um cilindro, seu volume é obtido pelo produto entre a área da base e sua altura.
Área da base
Sendo r o raio, igual a metade do diâmetro.
A = π.r²
A = 3,14 . 3²
A = 28,26 m²
Volume do silo
V = A . h
V = π.r².h
V = 28,26 . 10
V = 282,60 m³
Ideia 3: volume da caçamba
O volume da caçamba é o volume do paralelepípedo.
V = comprimento x largura x altura
V = 12 x 2 x 1,5 = 36 m³
Ideia 4: cálculo da quantidade de caçambas
Quantidade de caçambas = volume do silo / volume da caçamba
Quantidade de caçambas = 282,60 / 36
Quantidade de caçambas = 7,85
Conclusão
Serão necessárias 8 caçambas para armazenar os grãos.
Exercício 5
(Enem 2010). Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá
a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do
copo.
b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.
c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
Ver Resposta
Resposta correta: a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.
Resolução
Ideia 1: volume do copo
Como é um cilindro, o volume é dado por:
V = π.r².h
V = π.2².4 = 16π cm²
Ideia 2: volume da leiteira
V = π.r².H
V = π.4².20
V = π. 16 . 20 cm³ ou 16π x 20 cm³
Aqui percebemos que a leiteira tem 20 vezes o volume de 1 copo.
Volume da leiteira = volume de 20 copos
Conclusão:
Como cada copo será enchido até a metade, a leiteira deverá ser enchida até a metade.
Exercício 6
(Enem 2014) Uma empresa que organiza eventos de formatura confecciona canudos de diplomas a partir de folhas de papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um cilindro de madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas completas em torno de tal cilindro. Ao final, amarra-se um cordão no meio do diploma, bem ajustado, para que não ocorra o desenrolamento, como ilustrado na figura.
Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel enrolado, finalizando a confecção do diploma. Considere que a espessura da folha de papel original seja desprezível.
Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma?
a) πd
b) 2 πd
c) 4 πd
d) 5 πd
e) 10 πd
Ver Resposta
Resposta correta: d) 5 πd
Resolução
Como o papel foi enrolado 5 vezes, o comprimento da folha é igual a 5 vezes o comprimento da circunferência do cilindro.
Comprimento de uma circunferência é dado pela fórmula:
2 . π. r
O raio é a metade do diâmetro
r = d / 2
Substituindo na fórmula
Comprimento da folha = 5 . 2 . π . d/2
Comprimento da folha = 5πd
Exercício 7
(Enem 2015) O índice pluviométrico é utilizado para mensurar a precipitação da água da chuva, em milímetros, em determinado período de tempo. Seu cálculo é feito de acordo com o nível de água da chuva acumulada em 1 m², ou seja, se o índice for de 10 mm, significa que a altura do nível de água acumulada em um tanque aberto em formato de um cubo com 1 m² de área de base, é de 10 mm. Em uma região, após um forte temporal, verificou-se que a quantidade de chuva acumulada em uma lata de formato cilíndrico, com raio 300 mm e altura 1200 mm, era de um terço da sua capacidade.
Utilize 3,0 como aproximação para π.
O índice pluviométrico da região, durante o período do temporal, em milímetros, é de
a) 10,8.
b)
12,0.
c) 32,4.
d) 108,0.
e) 324,0.
Ver Resposta
Resposta correta: d) 108,0.
Ideia 1: volume de líquido na lata
Usando:
π = 3,0
r = 300 mm
h = 1200 mm
Ideia 2: despejando esse conteúdo em um cubo
O cubo deve possuir 1 m³ ou seja,
volume do cubo = altura x largura x comprimento
1 m³ = altura x 1 m x 1 m
Passando para milímetros e igualando ao volume de líquido calculado:
108 000 000 mm³ = altura x 1000 m x 1000 m
altura = 108 mm
Conclusão:
Assim, o índice pluviométrico medido foi de 108 mm.
Exercício 8
(Enem 2015). Uma fábrica brasileira de exportação de peixes vende para o exterior atum em conserva, em dois tipos de latas cilíndricas: uma de altura igual a 4 cm e raio 6 cm, e outra de altura desconhecida e raio de 3 cm, respectivamente, conforme figura. Sabe-se que a medida do volume da lata que possui raio maior, V1, é 1,6 vezes a medida do volume da lata que possui raio menor, V2.
A medida da altura desconhecida vale
a) 8 cm.
b) 10 cm.
c) 16 cm.
d) 20
cm.
e) 40 cm.
Ver Resposta
Resposta correta: b) 10 cm.
Resolução
V1 = 1,6 V2
Substituindo as fórmulas de volume do cilindro em V1 e V2:
Como o π aparece dos dois lados multiplicando, pode ser cancelado. Isolando x, temos:
Portanto, a altura x da lata mais alta é 10 cm.
Exercício 9
(Enem 2021) Uma loja de materiais de construção vende dois tipos de caixas-d’água: tipo A e tipo B. Ambas têm formato cilíndrico e possuem o mesmo volume, e a altura da caixa d’água do tipo B é igual a 25% da altura da caixa d’agua do tipo A.
Se R denota o raio da caixa d’água do tipo A, então o raio da caixa d'água do tipo B é
a) R/2
b) 2 R
c) 4 R
d) 5 R
e) 16 R
Ver Resposta
Resposta correta: b) 2 R
Resolução
O enunciado diz que a altura de B é 25% da altura de A. Ou, seja, A é quatro vezes mais alta que B.
Sendo a, a altura da caixa A e, b, a altura da caixa B:
a = 4b
Sendo R o raio da caixa tipo A e, r a medida do raio da caixa B.
Como os volumes são iguais:
VA = VB
Substituindo pelas fórmulas do volume dos cilindros, que é π.r².h, temos:
Eliminando os termos iguais, que multiplicam dos dois lados da equação:
Aplicando uma raiz quadrada aos dois lados da equação. (“jogando o expoente 2 de r para o lado esquerdo em forma de raiz quadrada”)
Isso significa que, o raio da caixa d’água do tipo B tem o dobro do comprimento do raio da caixa d’água A.
Exercício 10
(Fuvest). A uma caixa d'água de forma cúbica com 1 metro de lado, está acoplado um cano cilíndrico com 4 cm de diâmetro e 50 m de comprimento. Num certo instante, a caixa está cheia de água e o cano vazio.
Solta-se a água pelo cano até que fique cheio. Qual o valor aproximado da altura da água na caixa no instante em que o cano ficou cheio?
a) 90 cm.
b) 92 cm.
c) 94 cm.
d) 96 cm.
e) 98 cm.
Ver Resposta
Resposta correta: c) 94 cm
Resolução
Ideia 1: volume do cano
Sendo um cilindro, o volume é dado pelo produto entre a área de sua base e sua altura.
Volume = π.r².h
Nesse caso, sua altura será o comprimento de 50 m e a área da base igual a uma seção do cano.
O raio é a metade do diâmetro, e em metros, r = 0,02 m.
Volume do cano = π.0,02² . 50 = 0,02π
Ideia 2: volume da caixa
Sendo um cubo, altura = largura = comprimento
O enunciado diz que a medida dos lados do cubo é igual a 1 m.
Volume da caixa = 1 m³
Altura x largura x comprimento = 1 x 1 x 1 = 1 m³
Ideia 3: Nova altura
Como a quantidade de água do cano saiu da caixa, vamos fazer a subtração:
Novo volume de água na caixa = Volume da caixa - Volume do cano
Conforme a água sai da caixa, a única dimensão que pode mudar é a altura. A largura e comprimento continuam iguais a 1 m.
Altura x 1 x 1 = 1 - 0,02π
Fazendo π = 3
Altura = 1 - 0,06
Altura = 0,94
Conclusão
A nova altura (nível de água na caixa) é de 0,94 m.
Obs.: Mesmo considerando π = 3,1415 o resultado mais próximo ainda é a letra c. Veja:
Altura = 1 - 0,02 x 3,1415
Altura = 1 - 0,06283
Altura = 0,93717 (aproximadamente 0,94)
Exercício 11
(Cesgranrio) Um recipiente com a forma de um cilindro reto, cujo diâmetro da base mede 40 cm e altura 100/π cm, armazena um certo líquido, que ocupa 40% de sua capacidade. O volume do líquido contido nesse recipiente é, em litros, aproximadamente, igual a:
a) 16
b)
18
c) 20
d) 30
e) 40
Ver Resposta
Resposta correta: a) 16
Resolução
Ideia 1: volume do cilindro
V = π.r².h
Substituindo os valores
Ideia 2: volume do líquido
40 % de 40 000
Ideia 3: Transformando de cm³ para litros
Para a água, 1 000 cm³ = 1 litro
Então, 16 000 cm³ = 16 l
Conclusão
Portanto, 40% do volume do cilindro equivale a 16 litros.
Exercício 12
(FGV-SP) Um cilindro circular reto de altura igual ao diâmetro da base está inscrito em um cone circular reto. O cone tem diâmetro 10, altura 12 e seu eixo de revolução coincide com o do cilindro.
O diâmetro da base do cilindro é igual a
a) 16/3
b) 60/11
c) 6.
d) 25/4.
e) 7.
Ver Resposta
Resposta correta: b) 60 / 11
Resolução
Ideia 1: ilustrando e identificando triângulos semelhantes
Fazendo uma seção meridional, ou, observando uma vista lateral:
Tomando uma metade da figura, temos:
O triângulo maior formado pela metade cone, é semelhante ao menor verde pois, seus ângulos são iguais. (caso A,A,A).
Ideia 2: usando proporções
Do lado esquerdo dividimos a altura do cone pela metade de sua base, no caso, 5.
Do lado direito dividimos a altura do triângulo verde, que é D, pela sua base, que é 5, menos a metade do diâmetro do cilindro, que é D/2.
Ajustanto do lado direito, temos:
Podemos agora multiplicar cruzado
5 . 2D = 12 . (20 - D)
10D = 120 - 12D
22D = 120
D = 120 / 22
D = 60 / 11
Conclusão
Dessa forma, o diâmetro da base do cilindro é igual a 60/11.
Exercício 13
(PUC-PR). Um medicamento que dilata os vasos e artérias do corpo humano é ministrado e aumenta o diâmetro em 20% de determinada artéria.
Considerando que a artéria se assemelha a um cilindro circular reto, o fluxo sanguíneo nessa artéria aumenta em
a) 10%
b) 20%
c) 21%
d) 40%
e) 44%
Ver Resposta
Resposta correta: e) 44%
Resolução
Fluxo é a quantidade de massa que passa por uma área. Neste caso a quantidade de sangue que passa pela seção da artéria.
Ideia 1: A área da seção da artéria antes do medicamento
Como o raio é a metade do diâmetro, podemos escrever:
Ideia 2: A área depois do medicamento
Para aumentar em 20%, multiplicamos D por 1,2.
Ideia 3: comparando as áreas de antes e depois
Para isso vamos dividir a área 2 pela 1
Eliminando os termos semelhantes
Conclusão
Desso modo, D2 foi multiplicado por 1,44, ou seja, um aumento de 44%.
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Geometria espacial
Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.