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vos e distintos de uma progressão aritmética. 22. As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x 1 1, 2x, x2 2 5 e estão em P.A., nessa ordem. Calcule o perímetro do triângulo. 23. Os números que exprimem o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão em P.A., nessa ordem. Quanto mede o lado do quadrado? 24. Mostre que, se (a, b, c) é uma P.A., então (a2bc, ab2c, abc2) também é. 006a023 C02 FME4.indd 10 13/08/13 13:51 114 | Fundamentos de Matemática Elementar PROGRESSÃO ARITMÉTICA 25. Prove que, se 1 1 1 x y y z z x1 1 1 , , é uma P.A., então (z2, x2, y2) também é. 26. Prove que, se (a, b, c) é uma P.A., então a2(b 1 c), b2(a 1 c), c2(a 1 b) também é. 27. Sabendo que (a, b, c) e 1 b , 1 c , 1 d são P.A., mostre que 2ad 5 c(a 1 c). 28. Sabendo que (α, β, γ, δ) é P.A., prove que: (δ 1 3β) (δ 2 3β) 1 (α 1 3γ) (α 2 3γ) 5 2(αδ 2 9βγ). IV. Fórmula do termo geral 9. Utilizando a fórmula de recorrência pela qual se define uma P.A. e admitindo dados o primeiro termo (a1), a razão (r) e o índice (n) de um termo desejado, temos: a2 5 a1 1 r a3 5 a2 1 r a4 5 a3 1 r an 5 an 2 1 1 r Somando essas n 2 1 igualdades, temos: a a a a a a a 2 3 4 1 2 3 � � � � � � � �... ... 1 2444 3444 n � � � �a n r n ( ) − 1 1 1 24444 34444 cancelam-se e, então, an 5 a1 1 (n 2 1) r, o que sugere o seguinte: 10. Teorema Na P.A. em que o primeiro termo é a1 e a razão é r, o n-ésimo termo é: an 5 a1 1 (n 2 1) r Solução Temos, por hipótese, b 2 a 5 c 2 b 5 r. Então: ab2c 2 a2bc 5 abc(b 2 a) 5 abcr 5 abc(c 2 b) 5 abc2 2 ab2c. 006a023 C02 FME4.indd 11 13/08/13 13:51 12 PROGRESSÃO ARITMÉTICA Fundamentos de Matemática Elementar | 4 Demonstração pelo princípio da indução finita: I) Para n 5 1, temos: a1 5 a1 1 (1 2 1) r (sentença verdadeira). II) Admitamos a validade da fórmula para n 5 p: ap 5 a1 1 (p 2 1) r (hipótese de indução) e provemos que vale para n 5 p 1 1: ap 1 1 5 ap 1 r 5 (a1 1 (p 2 1) r) 1 r 5 a1 1 [(r 1 1) 2 1] r Então an 5 a1 1 (n 2 1) r, ∀n N*. E X E R C Í C I O S 29. Calcule o 17º termo da P.A. cujo primeiro termo é 3 e cuja razão é 5. 30. Obtenha o 12º, o 27º e o 100º termos da P.A. (2, 5, 8, 11, ...). 31. Obtenha a razão da P.A. em que o primeiro termo é 28 e o vigésimo é 30. 32. Obtenha a razão da P.A. em que a2 5 9 e a14 5 45. 33. Obtenha o primeiro termo da P.A. de razão 4 cujo 23º termo é 86. 34. Qual é o termo igual a 60 na P.A. em que o 2º termo é 24 e a razão é 2? 35. Obtenha a P.A. em que a10 5 7 e a12 5 28. Solução Notando que a1 5 3 e r 5 5, apliquemos a fórmula do termo geral: a17 5 a1 1 16r 5 3 1 16 5 5 83 Solução a20 5 a1 1 19r ⇒ 30 5 28 1 19r ⇒ r 5 2 Solução Para escrever a P.A. é necessário determinar a1 e r. Temos: a a r a a r 10 1 12 1 7 9 7 1 8 11 8 ( )5 1 5⇒ 5− ⇒ 1 5 − ( )2 006a023 C02 FME4.indd 12 13/08/13 13:51 134 | Fundamentos de Matemática Elementar PROGRESSÃO ARITMÉTICA Resolvendo o sistema, temos: (2) 2 (1) ⇒ 2r 5 215 ⇒ r 5 2 15 2 (1) ⇒ a1 1 9 15 2 − 5 7 ⇒ a1 5 149 2 e, portanto, a P.A. é 149 2 , 134 2 , 119 2 , ... . 36. Determine a P.A. em que o 6º termo é 7 e o 10º é 15. 37. Qual é a P.A. em que o 1º termo é 20 e o 9º termo é 44? 38. Determine a P.A. em que se verificam as relações: a12 1 a21 5 302 e a23 1 a46 5 446. 39. Quantos números ímpares há entre 14 e 192? 40. Determine a relação que deve existir entre os números m, n, p e q, para que se verifique a seguinte igualdade entre os termos da mesma progressão aritmética: am 1 an 5 ap 1 aq. 41. Qual é o primeiro termo negativo da P.A. (60, 53, 46, ...)? 42. As progressões aritméticas 5, 8, 11, ... e 3, 7, 11, ... têm 100 termos cada uma. Determine o número de termos iguais nas duas progressões. Solução Temos: an 0 ⇒ a1 1 (n 2 1)r 0 ⇒ 60 1 (n 2 1) (27) 0 ⇒ n 2 1 60 7 ⇒ ⇒ n 67 7 ù 9,5. Concluímos que an 0 para n 5 10, 11, 12, ...; portanto, o primeiro termo negativo da P.A. é a10. 006a023 C02 FME4.indd 13 13/08/13 13:51 14 PROGRESSÃO ARITMÉTICA Fundamentos de Matemática Elementar | 4 43. O primeiro termo a de uma progressão aritmética de razão 13 satisfaz 0 a 10. Se um dos termos da progressão é 35, determine o valor de a. 44. A sequência (a1, a2, a3, ..., an) é uma progressão aritmética de razão 2 e pri- meiro termo igual a 1. A função f definida por f(x) 5 ax 1 b é tal que f(a1), f(a2), f(a3), ..., f(an) é uma progressão aritmética de razão 6 e primeiro termo igual a 4. Determine o valor de f(2). 45. Prove que, se (a1, a2, a3, ..., an) é P.A., com n 2, então (a22 2 a21, a23 2 a22, a24 2 a23, ..., a2n 2 a2n 2 1) também é. 46. Prove que, se uma P.A. apresenta am 5 x, an 5 y e ap 5 z, então verifica-se a relação: (n 2 p) x 1 (p 2 m) y 1 (m 2 n) z 5 0. 47. Prove que os termos de uma P.A. qualquer em que 0 não participa verificam a relação: 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 1 1 a a a a a a a a n a a n n n 1 1 1 1 5 2 2 … V. Interpolação aritmética Em toda sequência finita (a1, a2, ..., an 2 1, an ), os termos a1 e an são chamados extremos e os demais são chamados meios. Assim, na P.A. (0, 3, 6, 9, 12, 15) os extremos são 0 e 15 enquanto os meios são 3, 6, 9 e 12. Interpolar, inserir ou intercalar k meios aritméticos entre os números a e b significa obter uma P.A. de extremos a1 5 a e an 5 b, com n 5 k 1 2 termos. Para determinar os meios dessa P.A. é necessário calcular a razão, o que é feito assim: an 5 a1 1 (n 2 1) r ⇒ b 5 a 1 (k 1 1) r ⇒ r 5 b a k 2 11 Exemplo: Interpolar 5 meios aritméticos entre 1 e 2. Vamos formar uma P.A. com 7 termos em que a1 5 1 e a7 5 2. Temos: a7 5 a1 1 6 r ⇒ r 5 a a 7 1 6 2 1 6 1 6 2 5 2 5 Então a P.A. é 1 7 6 8 6 9 6 10 6 11 6 2, , , , , , . 006a023 C02 FME4.indd 14 13/08/13 13:51 154 | Fundamentos de Matemática Elementar PROGRESSÃO ARITMÉTICA E X E R C Í C I O S 48. Intercale 5 meios aritméticos entre 22 e 40. 49. Quantos meios aritméticos devem ser interpolados entre 12 e 34 para que a razão da interpoIação seja 1 2 ? 50. Intercale 12 meios aritméticos entre 100 e 200. 51. Quantos números inteiros e positivos, formados com 3 algarismos, são múlti- plos de 13? 52. De 100 a 1 000, quantos são os múltiplos de 2 ou 3? 53. Quantos números inteiros e positivos, formados de dois ou três algarismos, não são divisíveis por 7? 54. Quantos números inteiros existem, de 1 000 a 10 000, não divisíveis nem por 5 nem por 7? 55. Inscrevendo-se nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual é o sexto termo da P.A.? 56. Ao inserir n meios aritméticos entre 1 e n2, determine a razão da P.A.: 1, ..., n2. VI. Soma Vamos deduzir uma fórmula para calcular a soma Sn dos n termos iniciais de uma P.A. 11. Teorema 1 A soma dos n primeiros números inteiros positivos é dada por n(n 1) 2 1 . Solução Devemos obter a razão da P.A. com 7 termos (2 extremos e 5 meios) em que a1 5 22 e a7 5 40. Temos: a7 5 a1 1 6r ⇒ 40 5 22 1 6r ⇒ r 5 7, então a P.A. é (–2, 5, 12, 19, 26, 33, 40). 144424443 meios 006a023 C02 FME4.indd 15 13/08/13 13:51 16 PROGRESSÃO ARITMÉTICA Fundamentos de Matemática Elementar | 4 Demonstração por indução finita: I) Para n 5 1, temos: 1 5 1 1 1 2 ( )1 (sentença verdadeira). II) Admitamos a validade da fórmula para n 5 p: 1 1 2 1 3 1 ... 1 p 5 p p( )11 2 e provemos para n 5 p 1 1: 1 1 2 1 3 1 ... 1 p 1 (p 1 1) 5 p p( )11 2 1 (p 1 1) 5 5 1 1 1 5 1 1p p p p p( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 2 Então 1 1 2 1 3 1 ... 1 n 5 n n( )11 2 , ∀n N*. Exemplo: A soma dos 50 termos iniciais da sequência dos inteiros positivos é: 1 1 2 1 3 1 ... 1 50 5 50 50 1 2 ( )1 5 25 51 5 1 275. Utilizando a fórmula do termo geral, podemos calcular a soma Sn dos n termos iniciais da P.A. (a1, a2, ..., an, ...). 12. Teorema 2 Em toda P.A. tem-se: