Qual a probabilidade de lançar duas moedas idênticas obterem se duas faces iguais nesse lançamento?

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1. Problema Colocam se ao acaso 6 botões em um tabuleiro 6× 6, não sendo permitido haver dois botões em uma mesma casa. Qual a probabilidade de não haver dois botões nem na mesma linha nem na mesma coluna? (a) 0.5000 (b) 0.0500 (c) 0.1667 (d) 0.3333 (e) 0.0004 Solução Há 36 casas no tabuleiro. O número de maneiras de selecionarmos as casas para colocar o botão é ( 36 6 ) . Como cada linha e cada coluna conterá exatamente um botão, existem 6 maneiras de escolher a casa que será utilizada na primeira linha, 5 maneiras de escolher a segunda linha e assim por diante; desse modo temos 6! maneiras de distribuir os botões sem que hajam dois na mesma linha ou na mesma coluna. Segue que a probabilidade desejada é 6!( 36 6 ) = 4e− 04. (a) Falso (b) Falso (c) Falso (d) Falso (e) Verdadeiro 2. Problema Considere o lançamento de duas moedas idênticas, mas desequilibradas. Para cada moeda, a probabilidade de ocorrer cara é 45% maior do que a probabilidade de obter coroa. Qual é a probabilidade de obter 2 caras dado que se obteve pelo menos 1 cara? (a) 0.500 (b) 0.420 (c) 0.216 (d) 0.592 (e) 0.333 Solução Seja “A” o evento saiu cara e “O” saiu coroa. Em um lançamento, a probabilidade de obter cara P(A) ou coroa P(O) é igual a 1. Como a probabilidade de obter cara é 45% maior do que a probabilidade de obter coroa, temos que P (O) + (1 + 0.45)P (O) = 1 Portanto, P (O) = 0.4082 e P (A) = 0.5918. E as probabilidades em dois lançamentos são dadas por: P (AA) = 0.5918× 0.5918 = 0.3503 P (AO) = 0.5918× 0.4082 = 0.2416 P (OA) = 0.2416 P (OO) = 0.4082× 0.4082 = 0.1666 Logo, a probabilidade desejada é P (AA|AA ∪AO ∪OA) = P (AA) P (AA ∪AO ∪OA) = 0.3503 0.8334 = 0.42. 1 (a) Falso (b) Verdadeiro (c) Falso (d) Falso (e) Falso 3. Problema O dono de um posto recomenda aos três frentistas que eles lavem os para-brisas de todos os véıculos atendidos. Sabe-se que João, Marcelo e Raul atendem, respectivamente, 35%, 25% e 40% dos véıculos. Eles esquecem de lavar o para-brisas com probabilidade 0.3, 0.2 e 0.25, respectivamente. Se um motorista abastece nesse posto, qual a probabilidade de que o para-brisas do seu véıculo não seja lavado? (a) 0.250 (b) 0.015 (c) 0.255 (d) 0.750 (e) 0.085 Solução Sejam os eventos J=João realiza o atendimento M=Marcelo realiza o atendimento R=Raul realiza o atendimento N=o para-brisas não é lavado Pelo enunciado tem-se P (J) = 0.35, P (M) = 0.25, P (R) = 0.4, P (N |J) = 0.3, P (N |M) = 0.2 e P (N |R) = 0.25. Logo, pelo Teorema da Probabilidade Total tem-se que P (N) = P (J)P (N |J) +P (M)P (N |M) +P (R)P (N |R) = 0.35× 0.3 + 0.25× 0.2 + 0.4× 0.25 = 0.255 (a) Falso (b) Falso (c) Verdadeiro (d) Falso (e) Falso 4. Problema Suponha que 11% dos imóveis de uma certa cidade são rurais e 89% são urbanos. Suponha ainda que 77% dos imóveis rurais não realizam a coleta seletiva, enquanto que na área urbana esse valor é de 49%. Qual é a probabilidade de um imóvel que não realiza a coleta seletiva ser da área rural? (a) 0.521 (b) 0.436 (c) 0.085 (d) 0.837 (e) 0.163 2 Solução Defina os eventos R = “O imóvel é rural.” U = “O imóvel é urbano.” NC = “O imóvel não realiza a coleta seletiva.” Pelo Teorema de Bayes, a probabilidade desejada é dada por P (R|NC) = P (NC|R)× P (R) P (NC|R)× P (R) + P (NC|U)× P (U) = 0.77× 0.11 0.77× 0.11 + 0.49× 0.89 = 0.163. (a) Falso (b) Falso (c) Falso (d) Falso (e) Verdadeiro 5. Problema Suponha que 36% dos chutes a gol de um determinado jogador são convertidos a gol. Se em um determinado jogo de futebol esse jogador teve 15 chutes a gol, qual a probabilidade de ter convertido mais de 1 gol? (a) 0.999 (b) 0.998 (c) 0.012 (d) 0.988 (e) 0.990 Solução SejaX a variável aleatória número de chutes a gol do jogador. Então, X ∼ Binomial(15, 0.36) e a probabilidade desejada é dada por 1−P (X = 0)−P (X = 1) = 1− ( 15 0 ) 0.360(1−0.36)15−0− ( 15 1 ) 0.361(1−0.36)15−1 = 0.9883. (a) Falso (b) Falso (c) Falso (d) Verdadeiro (e) Falso 6. Problema Suponha que para cada cliente que solicita o cancelamento do seu cartão, a companhia responsável efetivamente realize o cancelamento do cartão do cliente com probabilidade 0.02. Qual a probabilidade de que sejam necessários exatamente 4 pedidos para que o primeiro cancelamento seja realizado? 3 (a) 0.0100 (b) 0.0188 (c) 0.0417 (d) 0.0160 (e) 0.0829 Solução Como o experimento é repetido até que ocorra um sucesso, estamos diante de uma dis- tribuição geométrica de parâmetro 0.02. Desse modo, representando por X a variável aleatória relativa ao o número de pedidos necessários para que o primeiro cancelamento seja realizado, a probabilidade desejada é dada por P (X = 4) = 0.983 × 0.02 = 0.0188. (a) Falso (b) Verdadeiro (c) Falso (d) Falso (e) Falso 7. Problema Para inspecionar um lote de 13 peças, o funcionário de uma empresa sorteia uma amostra de 8 peças ao acaso. Caso nenhuma peça defeituosa seja encontrada na amostra o lote é aceito; caso contrário é devolvido ao fornecedor. Suponha que 1 das 13 peças sejam defeituosas. Se a escolha for realizada sem reposição qual a probabilidade de aceitação do lote? (a) 0.006 (b) 0.077 (c) 0.527 (d) 0.071 (e) 0.385 Solução Seja X a variável relativa ao número de peças defeituosas. A probabilidade de aceitação do lote é dada por P (X = 0) = ( 12 8 )( 1 0 )( 13 8 ) = 0.385. (a) Falso (b) Falso (c) Falso (d) Falso (e) Verdadeiro 8. Problema Considere que a chegada de aviões em um aeroporto se dá segundo um modelo Poisson. Atualmente, a taxa de chegada é de 0,5 avião por minuto, em média, e o aeroporto também possui capacidade para atender 0,5 avião por minuto. A previsão para os próximos 10 anos é que o tráfego aéreo irá aumentar em 4 vezes e a capacidade de atendimento será ampliada em 2 vezes. Caso essas previsões se confirmem, qual a probabilidade de haver aviões sem atendimento imediato daqui a 10 anos em um dado minuto? 4 (a) 0.594 (b) 0.865 (c) 0.080 (d) 0.406 (e) 0.393 Solução Sejam X e Y variáveis aleatórias representando a quantidade de aviões que pousam em um dado minuto no aeroporto, atualmente e em 10 anos, respectivamente. Então, X ∼ Poisson(0.5) e Y ∼ Poisson(2). Considerando que a capacidade do aeroporto para daqui há 10 anos será de atender 1 aviões por minuto, a probabilidade de haver aviões sem atendimento imediato é dada pela proba- bilidade de chegar mais do que 1 aviões em um dado minuto, ou seja, P (Y > 1) = 1− P (Y ≤ 1) = 1− P (Y = 0)− P (Y = 1)− ...− P (Y = 1) = 0.594. (a) Verdadeiro (b) Falso (c) Falso (d) Falso (e) Falso 9. Problema A chance de uma aposta simples (onde escolhe-se 6 números) ganhar a Mega Sena é de uma em 50063860. A Mega Sena da Virada de 2017 arrecadou o equivalente a 254556391 apostas simples. Nesse contexto, considerando que os números em cada aposta tenham sido escolhidos de maneira aleatória e independente (todos da Distribuição Uniforme discreta de 1 a 60), qual era a probabilidade de que exatamente 5 apostadores ganhassem o prêmio máximo? (a) 0.419 (b) 0.175 (c) 0.297 (d) 0.581 (e) 0.825 Solução O número de vencedores tem distribuição binomial com parâmetros 254556391 e 150063860 , ou seja, X ∼ Bin(254556391, 150063860 ). Utilizando a aproximação de Poisson para a Binomial, tem-se, aproximadamente, que X ∼ Poisson(np = 5.085). Portanto, a probabilidade de observarmos exatamente X = 5, é dada por P (X = 5|X ∼ Bin(254556391, 150063860 )) ≈ P (X = 5|X ∼ Poisson(5.085)) = 17.5%. (a) Falso (b) Verdadeiro (c) Falso (d) Falso (e) Falso 5 10. Problema Seja X uma variável aleatória cont́ınua cuja função densidade de probabilidade (fdp) é dada por fX(x) =  0, se x < 0; cx2, se 0 ≤ x ≤ 1; 3 4 , se 1 < x ≤ 2; 0, se x > 2. Qual o valor de E(X)? (a) 27/32 (b) 1 (c) 18 (d) 3/4 (e) 21/16 Solução Para que uma função seja densidade de probabilidade de uma variável aleatória,

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Qual é a probabilidade de obtermos resultados iguais no lançamento de 2 moedas *?

Qual a probabilidade de ao lançar duas moedas simultaneamente obter duas caras?

Qual a probabilidade de se obter duas caras?

Qual o número total de possibilidades no lançamento de duas moedas?