A partir do gráfico das equações das retas, podemos determinar o tipo de solução de um sistema de duas equações. Saiba como!
Publicado em 08/12/2020 - 17:22
A solução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas, quando existe e é única, é um par ordenado (x, y) que satisfaz às duas equações, simultaneamente.
Em algumas situações, a solução do sistema pode não ser única e infinitos pares ordenados satisfazem às duas equações. Já em outros casos, pode ser que não exista nenhum par ordenado que seja solução.
Dessa forma, o sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas pode ser classificado em três diferentes tipos em relação à quantidade de soluções.
- Sistema possível determinado: possui uma única solução;
- Sistema possível indeterminado: possui infinitas soluções;
- Sistema impossível: não possui solução.
Essas três situações possíveis podem ser verificadas através do gráfico com as duas retas correspondentes às equações do sistema.
Solução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas através do gráfico
Para determinar a solução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas através da representação gráfica, devemos construir, no plano cartesiano, as duras retas correspondentes às equações do sistema.
Caso 1) Sistema possível determinado
Se as retas são concorrentes, isto é, se cruzam em um único ponto, então, esse ponto satisfaz às duas retas ao mesmo tempo. Portanto, o sistema é possível determinado e a solução é dada pelas coordenadas do ponto onde as retas se cruzam.
Exemplo:
As retas correspondentes às equações são Reta 1: y = -2x + 1 e Reta 2: y = x – 5. Para construir o gráfico das retas, basta atribuir valores para x e encontrar o valor de y associado. Ligando-se todos os pontos, obtém-se o gráfico.
Veja que as retas são concorrentes e que o ponto (2, -3) pertence as duas retas. Logo, a solução do sistema é o par ordenado (x, y) = (2, -3).
Caso 2) Sistema possível indeterminado
Se as retas são coincidentes, então, qualquer ponto de uma reta também é um ponto da outra reta. Portanto, o sistema é possível indeterminado e as coordenadas de qualquer ponto que pertença a essas retas, é solução do sistema.
Exemplo:
Veja que as retas são coincidentes e que pontos como (1,1) e (4,2) pertencem às duas retas. Logo, o sistema possui infinitas soluções.
Caso 3) Sistema impossível
Se as retas são paralelas, ou seja, nunca se cruzam, então, não há nenhum ponto em comum entre essas retas. Portanto, o sistema é impossível, não admite nenhuma solução.
Exemplo:
Veja que as retas são paralelas e que não há nenhum ponto em comum entre elas. Logo, o sistema não possui solução.
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Um sistema de equações é um conjunto de equações que apresentam mais de uma variável. Sua resolução se dá por meio da resolução do sistema inteiro, e não individualmente tal qual uma equação comum. Ou seja, o problema é só é resolvido caso seja encontrado valores para as incógnitas que satisfaçam todas as equações presentes no sistema.
Sistema de equação do primeiro grau
O sistema de equações do primeiro grau nada mais é do que um sistema de equações composto por equações de primeiro grau. Ou seja, para gerar um sistema de equações de primeiro grau é necessário que suas incógnitas tenham expoente igual a 1 (nunca maior que 1), e que não haja produto entre incógnitas.
As letras geralmente usadas para incógnitas são o x e o y.
Exemplos:
Os sistemas de equações do primeiro grau podem ser classificados de acordo com o número de soluções do sistema:
SPD: sistema possível e determinado, 1 única solução;
SPI: sistema possível e indeterminado, infinitas soluções;
SI: sistema impossível, nenhuma solução.
SPD: sistema possível e determinado
Chamamos de sistema possível e determinado (ou apenas sistema determinado) o sistema que possuir apenas uma solução. Como o próprio nome sugere, é um sistema possível de se resolver e é determinado, ou seja, conseguimos determinar a sua solução e ela é única. Se existir duas incógnitas no sistema, existirá apenas um valor para cada incógnita que satisfará a solução.
Exemplos:
: neste caso, a única solução possível é o par ordenado , dado que
: neste outro, a única solução possível é o par ordenado
SPI: sistema possível e indeterminado
Chamamos de sistema possível e indeterminado (ou apenas sistema indeterminado) o sistema que possui infinitas soluções. Como o próprio nome sugere, o sistema é possível de se resolver e é indeterminado, ou seja, não podemos determinar uma única solução, mas sim infinitas. Se tivermos um sistema SPI de duas equações com duas incógnitas, por exemplo, teremos um número infinito de pares ordenados que tornem o sistema verdadeiro. Assim, não é possível determinar qual par ordenado em específico é a solução, mas sim um conjunto deles.
Exemplo:
Da equação de cima, e isolando x, temos:
Substituindo x na equação de baixo, temos:
Dessa forma, se 0.y=0 e não importa quais valores atribuamos ao y, já que ao multiplicarmos por 0, o resultado será necessariamente 0. Sendo assim, é um sistema possível, porém indeterminado, visto que não há um único par ordenado que o satisfaça, mas sim um conjunto deles.
SI: sistema impossível
O sistema impossível, como o próprio nome sugere, é um sistema impossível de ser resolvido (não há solução). Para um sistema SI de duas equações e duas incógnitas, por exemplo, não há nenhum par ordenado existente que satisfaça as condições do sistema, sendo este, então, matematicamente impossível de se resolver.
Exemplos:
Tomando a primeira equação e isolando o x, temos:
Substituindo x na segunda equação:
Neste caso, é evidente que o valor de y é necessariamente impossível, visto que 0 ≠ 2. Sendo assim, não há nenhuma solução possível para o sistema.
Tomando a primeira equação e substituindo x, temos:
Substituindo x na equação de baixo, temos:
Neste outro, também é notável que se trata de um sistema impossível, visto que 0 ≠ -1. Assim, não há solução possível para o sistema.
Condição suficiente para que o sistema não seja SPD
Uma condição suficiente para que um sistema não seja SPD (ou seja, será SPI ou SI) é o número de equações ser menor do que o número de incógnitas.
Exemplo:
será SPI ou SI, pois tem 2 equações com 3 incógnitas.
Métodos de resolução
Os sistemas de equações do primeiro grau podem ser resolvidos de maneiras diferentes e usando três diferentes métodos, cada um podendo ser usado quando melhor se encaixar, sendo eles:
Eliminação por substituição;
Eliminação por comparação;
Eliminação por redução ao mesmo coeficiente.
Os valores que satisfazem o sistema são chamados de listas ordenadas, e dependendo do número de incógnitas recebem um nome particular: pares ordenados (duas incógnitas), triplas ordenadas (três incógnitas), etc.
Eliminação por substituição
Para este método, nós escolhemos uma equação e isolamos uma de suas incógnitas, de modo a achar seu valor em relação à outra. Depois, substituímos este valor encontrado na outra equação, de modo com que a segunda equação fique com apenas uma incógnita e seja de fácil resolução. Com o valor de uma incógnita, o último passo é substituir esse valor encontrado na primeira equação, sobrando apenas uma incógnita, que só então poderá ser discernida para formar a lista ordenada.
Exemplo:
Neste sistema, nós temos duas equações, sendo elas e . Isolaremos o na primeira equação.
Temos então o valor de em relação à , que é . Aplicaremos este valor à segunda equação do sistema, de modo a deixar apenas uma incógnita.
Desse modo, temos o valor de y, que é 3. O que nos resta é aplicar este valor na primeira equação, para descobrirmos o valor de x.
.
Desse modo, o par ordenado que satisfaz o sistema é .
Eliminação por comparação
Neste método, diferentemente do anterior, nós isolamos a mesma incógnita em ambas as equações, para depois compará-las (igualar as equações). Após a obtenção do valor da incógnita escolhida, é só aplicar em qualquer uma das equações, que ficará com apenas uma incógnita e que será também de fácil resolução.
Exemplo:
Neste caso, isolaremos o em ambas as equações.
.
Compararemos (igualaremos) então os valores do obtidos pelas equações:
Com o valor de y já definido, basta aplicar em qualquer uma das equações para então definirmos x.
Definido o valor de , temos o par ordenado que satisfaz o sistema: .
Eliminação por redução ao mesmo coeficiente
Também conhecido como eliminação por adição, esse método consiste em somar as duas equações de modo a eliminar uma incógnita, mas só pode ser feito se os coeficientes de uma das incógnitas forem opostos (mesmo módulo e sinal contrário). Caso os sinais não forem opostos, uma equação pode ser multiplicada por (–1) de modo que se troque o sinal para a aplicação do método. Assim, com apenas uma incógnita, o sistema pode ser resolvido.
Exemplo 1:
Somaremos ambas as equações do sistema e teremos:
Sabendo o valor de , aplicamos a qualquer uma das equações e obteremos o valor de y. Escolhendo a segunda equação, temos:
Assim, conseguimos ambos os valores que satisfazem o sistema e temos o par ordenado .
Exemplo 2:
Com esse sistema, não podemos somar diretamente as equações, mas temos de multiplicá-las por algum valor para que a soma elimine uma das incógnitas:
Agora somando as equações, temos:
Substituindo esse y na primeira equação, temos:
Portanto, a solução desse sistema: .