| O que � um problema matem�tico? |
1.- O valor dos problemas na Matem�tica
A Matem�tica � a �nica ci�ncia onde pouco valor se d� à erudi��o. O valor de um matem�tico � avaliado n�o pelo que ele sabe mas por sua capacidade de resolver problemas. E n�o � para menos: a Matem�tica vive de problemas.
Infelizmente, a ret�rica da Resolu��o de Problemas virou um dos modismos do Sistema Escolar nos �ltimos anos. O resultado � o de se esperar: os oportunistas de plant�o e os ing�nuos despreparados conseguiram deturpar de tal modo o assunto que hoje podemos encontrar as atividades mais rid�culas rotuladas como resolu��o de problemas matem�ticos. Assim, que � necess�rio ouvirmos quem tem o real direito de falar sobre o assunto: os matem�ticos produtores, os cientistas e t�cnicos usu�rios de matem�tica.
2.- Mas, e o que � um problema matem�tico?
Um problema matem�tico � toda situa��o requerendo a descoberta de informa��es matem�ticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolv�-lo, e/ou a inven��o de uma demonstra��o de um resultado matem�tico dado. O fundamental � que o resolvedor tenha de inventar estrat�gias e criar id�ias; ou seja: pode at� ocorrer que o resolvedor conhe�a o objetivo a chegar, mas s� estar� enfrentando um problema se ele ainda n�o tem os meios para atingir tal objetivo.
Resnick apontou v�rias caracter�sticas dos problemas que, bastante modificadas, resumimos assim:
- sem algoritmiza��o:
o caminho da resolu��o � desconhecido, ao menos em boa parte - complexos
precisam de v�rios pontos de vista - exigentes
a solu��o s� � atingida ap�s intenso trabalho mental; embora o caminho possa ser curto, ele tende a ser dif�cil - exigem lucid�z e paci�ncia
para na aparente desordem vermos as regularidades, os padr�es que permitir�o a constru��o do caminho at� a solu��o - nebulosos
pode ocorrer que nem todas as informa��es necess�rias estejam aparentes; por outro lado, pode ocorrer que existam conflitos entre as condi��es estabelecidas pelo problema - n�o h� resposta �nica
al�m de normalmente ocorrer de existirem v�rias maneiras de se resolver um dado problema, pode ocorrer de n�o existir uma melhor solu��o e at� de n�o existir solu��o; ao contr�rio do que a Escola ensina: resolver um problema n�o � o mesmo que achar "a" resposta
3.- A diferen�a entre problema e exerc�cio
O exerc�cio � uma atividade de adestramento no uso de alguma habilidade / conhecimento matem�tico j� conhecido pelo resolvedor, como a aplica��o de um algor�tmo CONHECIDO, de uma f�rmula CONHECIDA, etc. O exerc�cio envolve mera aplica��o e o problema necessariamente envolve inven��o ou/e cria��o significativa.
Exemplificando:
Tomemos como "resolvedor" um aluno de final do primeiro grau ( � importante apontar a pessoa, pois o que pode ser um problema para uma pessoa, pode n�o o ser para outra ):
- exerc�cio:
resolver a equa��o x 2 - 3x + 1 = 0 ( sup�e-se que tal aluno conhe�a a f�rmula de Bhaskara ) - problema:
provar a f�rmula de Bhaskara ( sup�e-se que tal aluno nunca tenha visto tal demonstra��o, mas conhe�a a f�rmula ) - problema: ( mais dif�cil )
descobrir, provando, uma f�rmula para resolver toda e qualquer equa��o alg�brica do segundo grau ( sup�e-se que tal aluno n�o conhe�a a f�rmula de Bhaskara ) - problema: ( mais dif�cil )
descobrir uma f�rmula diferente da de Bhaskara e capaz de resolver toda e qualquer equa��o alg�brica do segundo grau
4.- O que � um bom problema?
Torna-se cada vez mais comum vermos nos livros-texto elementares a inclus�o de desafios matem�ticos dirigidos ao leitor. Tipicamente n�o correspondem diretamente ao material em ensino e, assim, muitos pensam que tratam-se de problemas. Contudo, o mais adequado seria classific�-los como charadas ou quebra-cabe�as, do tipo que apareciam no rodap� dos antigos almanaques, e que visam mais o entretenimento. Um bom problema matem�tico além de representar um desafio, tanto ao poder dos matem�ticos como ao poder da disciplina por eles criada, também "mexe" com a Matem�tica: faz com que a melhor entendamos, fertiliza-a e permite que possamos resolver outros problemas. Um bom problema de matem�tica � muito mais do que uma charada.
Um �timo exemplo � o chamado Problema de Fermat:
Sendo n = 3, 4, 5, ...,
mostrar que NAO HA' nenhuma trinca de inteiros positivos x, y e z verificando a equa��o:
x n + y n = z n
enunciado mais simples � dif�cil achar, contudo esse problema precisou de quase 400 anos de esfor�os at� ser resolvido por A. Wilkes em 1995. Sua grandeza n�o est� na dificuldade e tamb�m n�o est� na utilidade desse resultado ( que � praticamente inexistente ); ela est� no fato que as tentativas de resolv�-lo produziram id�ias e problemas que fertilizam in�meros campos: Teoria dos N�meros, Geometria Alg�brica, etc.
TESTE SEU ENTENDIMENTO DESTE TEXTO:
TESTE
Duas atividades matem�ticas muito diferentes s�o a inven��o de algoritmos e a aplica��o de algoritmos. Pede-se:
- classific�-las como problema ou exerc�cio
- achar exemplos dessas atividades no texto acima
TESTE
George Polya � autor dos mais famosos livros sobre resolu��o de problemas matem�ticos, entre eles o How to Solve It. O texto abaixo � uma ligeira modifica��o de uma frase de Polya; pede-se uma palavra que se encaixe adequadamente no vazio assinalado com um ......... :
se a tarefa desperta sua curiosidade, e e' um desafio para sua ........... e se V. a realiza por seus pr�prios meios ent�o V. pode dizer que sentiu o prazer de resolver um problema
TESTE
A partir do que foi colocado neste texto, explique a raz�o de ocorrer que o que seja um problema para uma pessoa possa n�o ser para outra.
vers�o: 14-mar-2 001
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© 2 001 por J.F. Porto da Silveira ( )
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