Determinar as coordenadas do centro da circunferência é a medida do raio:
x² + y² + 6x – 8y = 0
x² + 6x + y² – 8y = 0
x² + 6x → completando o trinômio
x² + 6x + 9 = (x + 3)²
y² – 8y → completando o trinômio
y² – 8y + 16 = (y – 4)²
x² + 6x + y² – 8y = 0
x² + 6x + 9 + y² – 8y + 16 = 9 + 16
(x + 3)² + (y – 4)² = 25
A fórmula geral de uma equação da circunferência é dada por (x – a)² + (y – b)² = r², dessa forma:
Coordenadas do centro: (–3; 4)
Medida do raio: 5
Determinando a distância entre o centro e a reta
Reta r: 2x + y – 1 = 0
Temos que a distância é menor que o raio, pois 1,3 < 5. Dessa forma, a reta é secante à circunferência.
Vamos estabelecer um sistema entre as duas equações:
Reta: 2x – y + 1 = 0
Circunferência: x² + y² – 2x = 0
Resolvendo o sistema pelo método da substituição:
Isolando y na 1ª equação:
2x – y + 1 = 0
– y = –1 – 2x
y = 1 + 2x
Substituindo y na 2ª equação:
x² + (1 + 2x)² – 2x = 0
x² + 1 + 4x + 4x² – 2x = 0
5x² + 2x + 1 = 0
∆ = b² – 4ac
∆ = 2² – 4 * 5 * 1
∆ = 4 – 20
∆ = –16
Quando ∆ < 0, a
equação não possui raízes. Dessa forma o sistema não possuirá soluções. Portanto, a reta é externa à circunferência.
Se a reta é tangente à circunferência, temos que a distância do centro até a reta possui a mesma medida do raio.
Em razão da equação x² + y² = 9, podemos dizer que o centro corresponde a (0; 0) e o raio igual a 3, pois x² + y² = 9 → (x + 0)² + (y + 0)² = 3².
Distância do centro (0; 0) à reta x – y + w = 0, onde a = 1, b = –1 e c = w:
Calculando w de acordo com d = r:
O valor de w é igual a + 3√2 ou –3√2.
AB = medida da corda
CM = distância entre centro e reta
AM = metade da medida da
corda → AB/2.
No triângulo AMC aplicaremos o teorema de Pitágoras, mas para isso precisaremos determinar a distância CM e o raio da circunferência, dado por CA.
Centro da circunferência
x² + y² + 2x + 2y – 3 = 0
x² + 2x + y² + 2y = 3
x² + 2x + 1 + y² + 2y + 1 = 3 + 1 + 1
(x + 1)² + (y + 1)² = 5
Centro (–1, –1) e raio = √5.
Reta: x + y – 1 = 0
A medida da corda AB de acordo com a situação proposta é AB = √2.
Resolver o sistema de equações:
Simplificando a 1ª equação:
Substituindo x na 2ª equação:
x² + y² = 400
x² + (20 – 2x)² = 400
x² + 400 – 80x + 4x² ¬– 400 = 0
5x² – 80x = 0
5x * (x – 16) = 0
5x = 0
x’ = 0
x – 16 = 0
x’’ = 16
Para x = 0, temos:
y = 20 – 2x
y = 20 – 2*0
y = 20
(0; 20)
Para x = 16, temos:
y = 20 – 2x
y = 20 – 2 * 16
y = 20 – 32
y = – 12
(16; –12)
Os pontos de intersecção são (0; 20) e (16; –12).
Determinando a distância entre os pontos:
Resposta item a.
x² + y² – 8x + 10y + k = 0
Encontrar a equação reduzida (completar os trinômios)
x² – 8x + y² + 10y = –k
x² – 8x + 4 + y² + 10y + 25 = – k + 4 + 25
(x – 4)² + (x + 5)² = –k + 41
Temos que o raio será dado por:
–k + 41 = 7²
–k = 49 – 41
–k = 8
k = 8
Resposta: alternativa b.
Prof. Dr. Djalma de Oliveira Bispo Filho – 2019-1 – Analise e Desenvolvimento de Sistemas
Disciplina: Matemática Aplicada a Computação
Prof. Dr. Djalma de Oliveira Bispo Filho
Lista 02 – Aulas 09,10
Tema: Funções, Plano Cartesiano e Equações da Reta.
1) O valor de k para que a equação kx – y – 3k + 6 = 0 represente a reta que passa pelo ponto (5,0) é:
Resolução
Como queremos que a reta passe pelo ponto (5, 0), vamos substituir na equação os
valores de x e y.
kx – y – 3k + 6 = 0
k.5 – 0 – 3k + 6 = 0
5k – 3k + 6 = 0
2k = -6
k = -6/2
k = -3
2) Seja a reta cuja equação é dada por y – 2x -10 = 0, é correto afirmar que essa reta passa por quais dos
dois pontos citados a seguir?
a) A(5 ; 0) e B(-20 ; 35).
b) C(12 ; 21) e D(0 ; 20).
c) E(14 ; -15) e F(-7 ; 7).
d) G(5 ; 30) e H(0,5 ; 4).
e) A(0 ; 10) e B(-13 ; -16).
Resolução
A única forma de achar a resposta correta e testar cada uma das opções, onde
ambos os pontos devem pertencer à reta.
a) A(5 ; 0) e B(-20 ; 35).
Testando o ponto A
y – 2x -10 = 0
0 – 2.5 – 10 = 0
-20 = 0 (Falso)
Conclusão: O ponto A não pertence à reta.
b) C(12 ; 21) e D(0 ; 20).
Testando o ponto C
y – 2x -10 = 0
21 – 2.12 – 10 = 0
21 – 24 – 10 = 0
-13 = 0 (Falso)
Conclusão: O ponto C não pertence à reta.
Testando o ponto E
y – 2x -10 = 0