Índice
- Altura de um triângulo isósceles
- Altura de um triângulo retângulo
- Aplicação de altura
A altura de um triângulo é aquele segmento que une um vértice do triângulo com seu lado oposto ou sua extensão, sendo perpendicular a ele, ou seja, um ângulo reto (90º) é formado na interseção.
Cada triângulo então tem três alturas, cada uma em relação a cada um de seus lados.
As alturas do triângulo se cruzam no ortocentro, que na figura abaixo seria o ponto O, onde além das alturas estão os segmentos AD, BE e CF.
Os pontos D, E e F são chamados de pés de altura.
Ressalta-se que, tomando a imagem acima como referência, deve-se observar que:
Altura de um triângulo isósceles
Um caso particular é o de um triângulo isósceles (que tem dois lados de igual medida), já que a altura do lado diferente (incongruente) corta aquele lado em seu ponto médio. É assim que vemos na imagem inferior.
Na figura acima, AB é igual a AC e BC, que é o lado diferente, é cortado por sua altura em seu ponto médio (D). Portanto, BD é igual a DC.
No caso de um triângulo retângulo, a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto), é dividida por sua altura em dois segmentos, que chamaremos de aeb, e o comprimento da altura (h) é igual ao quadrado raiz do produto de aeb (ver imagem de referência).
Na imagem acima, AC é a hipotenusa e BD, sua altura.
Aplicação de altura
A altura é uma informação importante para um triângulo, pois multiplicar a altura por sua respectiva base e dividir por dois dá a área do triângulo.
Na equação acima, A é a área do triângulo, b é o comprimento do lado que é a base e h é a altura.
Portanto, se tivermos, por exemplo, um triângulo retângulo cuja hipotenusa é dividida em um segmento de 4 metros e outro segmento de 9 metros. Qual é a área da figura? Devemos lembrar a fórmula apresentada na seção anterior:
Em seguida, substituímos na fórmula para a área:
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A trigonometria, desde o início dos seus estudos, é embasada no triângulo retângulo, por isso é importante estudar tanto as suas características, como os seus elementos e as suas relações.
O que é um triângulo retângulo?
É uma figura geométrica plana, composta por três lados e três ângulos internos. O que diferencia esse triângulo dos demais é que um dos seus ângulos inteiros é sempre igual a 90° (ângulo reto).
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes específicos:
O lado que for oposto ao ângulo reto será chamado de hipotenusa e os outros dois lados serão chamados de cateto.
Elementos do triângulo retângulo
Dado o triângulo retângulo ABC, reto em A, com hipotenusa igual a
a e catetos iguais a b e c:
Se nesse mesmo triângulo retângulo traçarmos uma reta (h) que parte do vértice A e que seja perpendicular ao lado a no ponto H, essa reta será a altura do meu triângulo retângulo e irá dividir o lado
a em dois lados m e n.
Formamos mais dois triângulos retângulos: ABH e AHC.
Relações métricas do triângulo retângulo:
Observando o triângulo retângulo acima, podemos retirar algumas relações feitas com os seus elementos.
1º)
c2 = m . a e b2 = n . a
2º)
b . c = a . h
3º)
h2 = m . n
4º) a quarta relação é baseada na 1º e na 2º, pois se somarmos as duas chegaremos em uma outra relação.
c2 + b2 = m . a + n . a
→ colocando a em evidência.
c2 + b2 = a (m + n)
→ observando no triângulo retângulo percebemos que a medida de a = m + n.
c2 + b2 = a . a
c2 + b2 = a2 → conhecida como Teorema de Pitágoras.
5º) é uma relação dos ângulos internos do triângulo retângulo. A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo retângulo é igual a 180º, no caso do triângulo retângulo que um dos ângulos sempre terá medida igual a 90º os outros dois serão complementares, ou seja, a sua soma será 90º. Matematicamente dizemos que:
med ( ) + med ( ) = 90º.