O ponto médio de um segmento ab é m(2 3).

O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles divide o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de um segmento de reta serão demonstrados com base na ilustração a seguir:

O segmento de reta AB possui um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM, yM). Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes e possuem três ângulos iguais. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação entre os segmentos que formam os triângulos. Veja:

AM = AN
AB    AP

Podemos concluir que AB = 2 * (AM), considerando que M é o ponto médio do segmento AB.

 AM = AN
2AM   AP

AN = 1
AP    2

AP = 2AN

xP – xA = 2*(xM – xA)
xB – xA = 2*(xM – xA)
xB – xA = 2xM – 2xA
2xM = xB – xA + 2xA
2xM = xA + xB
xM = (xA + xB)/2

Por meio de um método análogo, conseguimos demonstrar que yM = (yA + yB )/2.

Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão matemática para determinar as coordenadas do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano:

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Percebemos que o cálculo da abscissa xM é a média aritmética entre as abscissas dos pontos A e B. Assim, o cálculo da ordenada yM é a média aritmética entre as ordenadas dos pontos A e B.

Exemplos

→ Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse segmento.

XA = 4
yA = 6
xB = 8
yB = 10

xM = (xA + xB) / 2
xM = (4 + 8) / 2
xM = 12/2
xM = 6

yM = (yA + yB) / 2
yM = (6 + 10) / 2
yM = 16 / 2
yM = 8

As coordenadas do ponto médio do segmento AB são xM (6, 8).

→ Dados os pontos P(5,1) e Q(–2,–9), determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ.

XM = [5 + (–2)] / 2
xM = (5 – 2) / 2
xM = 3/2

yM = [1 + (–9)] / 2
yM = (1 – 9) / 2
yM = –8/2
yM = –4

Portanto, M(3/2, –4) é o ponto médio do segmento PQ.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Estes exercícios sobre ponto médio de um segmento de reta testarão seus conhecimentos sobre localização de pontos no plano. Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva

Dado um segmento de reta AB cujas extremidades estão nas coordenadas A = (1, 3) e B = (– 5, – 6), quais são as coordenadas do seu ponto médio?

a) M = (– 1,5; – 2)

b) M = (– 2; – 1,5)

c) M = (2; 1,5)

d) M = (1,5; 2)

e) M = (2,5; – 1)

Dadas as coordenadas do ponto médio M = (2, 5), quais são as coordenadas da extremidade A do segmento de reta que o contém, sabendo que a outra extremidade está no ponto B = (5, 5)?

a) M = (– 1, 5)

b) M = (– 1, 1)

c) M = (1, 5)

d) M = (1, – 5)

e) M = (5, – 1)

Um segmento de reta tem uma de suas extremidades no ponto A = (a, 2a) e seu ponto médio no ponto M = (6a, 3a). Quais são as coordenadas da outra extremidade desse segmento de reta em função de a?

a) (11, 4)

b) (4, 11)

c) (11a, 4a)

d) (4a, 11a,)

e) (a, a)

Os segmentos de reta AB e CD cruzam-se em seus pontos médios. Sabendo que esses segmentos determinam um paralelepípedo e que A = (– 3, – 1), B = (4, 2) e C = (– 1, 2), quais são as coordenadas do ponto D?

a) D = (1, – 2)

b) D = (– 1, 2)

c) D = (0,5; 0,5)

d) D = (2, – 2)

e) D = (2, – 1)

respostas

As coordenadas do ponto médio de um segmento de reta são M = (x, y), em que x e y são:

x = xA + xB
       2

y = yA + yB
      2

Substituindo as coordenadas dos pontos dados, teremos para x:

x = 1 + (– 5)
      2

x = 1 – 5
      2

x = – 4
      2

x = – 2

Para y:

y = 3 + (– 6)
     2

y = 3 – 6
      2

y = – 3
      2

y = – 1,5

Então, o ponto médio M = (– 2; – 1,5)

Gabarito: Letra B.

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Utilize a fórmula para encontrar as coordenadas do ponto médio de um segmento de reta:

x = xA + xB
      2

y = yA + yB
      2

X e y são as coordenadas do ponto médio. Substitua as coordenadas do ponto médio e do ponto B nas expressões acima e calcule as coordenadas do ponto A.

x = xA + xB
     2

2 = xA + 5
      2

2·2 = xA + 5

4 – 5 = xA

xA = – 1

y = yA + yB
     2

5 = yA + 5
      2

5·2 = yA + 5

5·2 – 5 = yA

10 – 5 = yA

yA = 5

Então, as coordenadas do ponto médio são M = (– 1, 5).

Gabarito: Letra A.

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Usando a fórmula para o cálculo do ponto médio do segmento de reta, dada pelas expressões a seguir, calcule o valor de cada coordenada da outra extremidade do segmento, que será representada aqui pelo ponto B.

x = xA + xB
      2

6a = a + xB
      2

2·6a = a + xB

12a = a + xB

12a – a = xB

11a = xB

xB = 11a

y = yA + yB
      2

3a = 2a + yB
       2

2·3a = 2a + yB

6a = 2a + yB

6a – 2a = yB

4a = yB

yB = 4a

As coordenadas da outra extremidade do segmento de reta são: B = (11a, 4a).

Gabarito: Letra C.

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Para descobrir as coordenadas do ponto D, é necessário descobrir antes as coordenadas do ponto médio dos segmentos para depois usar a mesma estratégia do exercício anterior: descobrir a extremidade de um segmento usando a outra extremidade e o seu ponto médio. Para tanto, usaremos a fórmula para ponto médio de um segmento de reta duas vezes. Observe:

1 – Encontrar o ponto médio dos segmentos usando o segmento de extremidades conhecidas:

x = xA + xB
      2

x = – 3 + 4
      2

x = 1
      2

x = 0,5

y = yA + yB
     2

y = – 1 + 2
       2

y = 1
      2

y = 0,5

O ponto médio dos segmentos é M = (0,5; 0,5).

2 – Descobrir as coordenadas de D usando o ponto médio descoberto:

x = xC + xD
      2

0,5 = – 1 + xD
        2

2·0,5 = – 1 + xD

1 = – 1 + xD

1 + 1 = xD

xD = 2

y = yC + yD
      2

0,5 = 2 + yD
       2

2·0,5 = 2 + xD

1 = 2 + xD

1 – 2 = xD

– 1 = xD

xD = – 1

Logo, as coordenadas do ponto D são:

D = (2, – 1)

Gabarito: Letra E.

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