Existem situações em que podemos combinar vários itens ou objetos para fazer algo. Por exemplo, com 6 frutas do nosso gosto, podemos fazer uma vitamina escolhendo 2, 3 ou até mesmo 6 delas. Mas como realizar a contagem dessas possibilidades? A combinação é uma maneira de fazer isso. Entenda o que é, conheça a combinação simples e a composta e saiba o que as diferencia do arranjo.
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O que é a combinação
Combinação nada mais é do que um meio de contagem em análise combinatória. Existem duas formas de combinação: a simples e a composta. Cada uma possui seu próprio uso e suas características.
Dentro desse estudo que envolve a análise combinatória, não existe muita teoria. O indicado é resolver bastantes exercícios, para que você entenda o raciocínio por trás deles e a assimilação do conteúdo fique mais fácil. Vamos, então, compreender cada um dos tipos de combinação.
Combinação simples
Vamos retornar ao exemplo das frutas. Suponha que você vá até um lugar onde se vende vitaminas com diferentes frutas. As suas opções são as seguintes: abacate, mamão, banana, maçã, morango e laranja. Porém, dessas 6 escolhas possíveis, você pode combinar dois tipos delas. A tabela a seguir mostra essas possibilidades:
Se você escolher, por exemplo, mamão e laranja, nessa ordem, é o mesmo que escolher laranja e mamão. Isso quer dizer que a ordem em que você escolher as frutas não vai interferir no resultado final. Assim, suas possibilidades de escolha consistirão em um agrupamento não ordenado de duas frutas escolhidas entre as seis possíveis.
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Dizemos, então, que cada uma das possibilidades anteriores é uma combinação simples das seis frutas tomadas duas a duas. Em suma, na combinação simples, a ordem não interfere no resultado. Para se realizar a contagem de todas as possibilidades, é utilizada uma fórmula específica, que será apresentada a seguir. De uma maneira mais formal, a combinação simples pode ser definida como:
Dados n elementos distintos, chama-se combinação desses n elementos tomados p a p (com p ≤ n) qualquer subconjunto formado por p elementos distintos, escolhidos entre os n.
Fórmula da combinação simples
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Para entender essa fórmula, vamos utilizar o exemplo anterior. Nesse caso, temos que p=2, pois é a quantidade de elementos possíveis, do subconjunto de frutas escolhidas, para se fazer a vitamina. Além disso, n=6, pois é o número total de frutas disponíveis. Aplicando esses números na fórmula, teremos o seguinte resultado:
Combinação composta
Essa combinação também é conhecida como sendo combinação com repetição. Em outras palavras, ela é uma combinação em que é possível escolher dois ou mais elementos repetidos do conjunto de possibilidades possíveis. Por exemplo: suponha que você vá até uma sorveteria e deseje comprar um sorvete com quatro sabores, sendo que, na sorveteria, só há 3 sabores disponíveis: chocolate, baunilha e morango. Nesse caso, é possível repetir algum desses sabores.
Fórmula da combinação composta
Existe uma fórmula para calcular o total de possibilidades de uma combinação com repetição. Veja a seguir:
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No caso do exemplo da sorveteria, teremos que n=3 e p=4. Substituindo esses valores na fórmula, iremos obter o seguinte resultado:
Combinação e arranjo
Podemos dizer que existe apenas uma única diferença entre combinação e arranjo. Em um arranjo, a ordem de escolha dos elementos importa e, em combinação, isso não ocorre.
Vídeos sobre combinação
Para que seus estudos fiquem ainda mais completos, serão apresentadas a seguir videoaulas sobre o assunto estudado até aqui. Acompanhe!
Combinação simples
Nesse vídeo, apresenta-se o conceito de combinação simples e, além disso, você confere também a sua fórmula.
Combinação com repetição
A combinação composta também não pode ficar de fora! Por isso, esse vídeo apresenta quais são os conceitos desse tipo de combinação, além de sua fórmula.
Exercícios resolvidos
Para que você se saia muito bem nas provas, essa videoaula traz exercícios resolvidos sobre o conteúdo. Confira!
Para fixar bem o conteúdo, é importante que você revise seus conhecimentos sobre análise combinatória, conjuntos e fatorial. E para continuar seus estudos de matemática, veja também nossa matéria sobre juros simples.
Considerando a proposição P: “Se nesse jogo não há juiz, não há jogada fora da lei”, julgue os itens a, b, c seguintes, acerca da lógica sentencial.
Para analisarmos as afirmações a, b e c, vamos considerar:
P = ~Q → ~R
onde,
Q: Nesse jogo há juiz
R: Há jogada fora da lei
a) A negação da proposição P pode ser expressa por “Se nesse jogo há juiz, então há jogada fora da lei”.
Resolução
Para resolvermos a questão, basta sabermos que a negação de (A → B) é (~B → ~A)
Temos que ~(~Q → ~R) é equivalente a R → Q (Há jogada fora da lei então há juiz)
Resposta: ERRADO
b) A proposição P é equivalente a “Se há jogada fora da lei, então nesse jogo há juiz”.
Resolução
Pela questão anterior, A → B e ~B → ~A são equivalentes.
Resposta: CORRETO
c) A proposição P é equivalente a “Nesse jogo há juiz ou não há jogada fora da lei”.
Resolução
Veja na tabela abaixo que A → B e ~A V B são equivalentes
Resposta: CORRETO
Considerando que, na fruteira da casa de Pedro, haja 10 uvas, 2 maçãs, 3 laranjas, 4 bananas e 1 abacaxi, julgue os próximos itens.
a) Há mais de 1.330 maneiras distintas de Pedro escolher pelo menos uma fruta entre aquelas que estão em sua fruteira.
Resolução
Pedro vai escolher algumas frutas. Ele tem a opção de pegar uma, duas ou várias.
Vamos analisar quantas opções ele tem para cada fruta:
- Uva: Pode pegar de 0 a 10, ou seja, 11 opções.
- Maçã: Pode pegar de 0 a 2, ou seja, 3 opções.
- Laranja: Pode pegar de 0 a 3, ou seja, 4 opções.
- Banana: Pode pegar de 0 a 4, ou seja, 5 opções.
- Abacaxi: Pode pegar 0 ou 1, ou seja, 2 opções.
Total de opções: 11 x 3 x 4 x 5 x 2 = 1320
Basta descontar a possibilidade de Pedro não pegar nenhuma fruta:
1320 – 1 = 1319
Há 1319 maneiras distintas, ou seja, menos de 1330.
Resposta: ERRADO
b) Se, para fazer uma salada de frutas, Pedro deve escolher pelo menos dois tipos de frutas, em qualquer quantidade, então há menos de 1.000 maneiras distintas de Pedro escolher frutas para compor sua salada.
Resolução
Na letra b vimos que ele tem 1319 opções para escolher pelo menos uma.
O que muda quando falamos em ‘pelo menos duas’ é que devemos descartar as opções que ele teria de escolher uma fruta apenas.
Para pegar apenas uva uma ele tem 10 opções. Apenas uma, apenas duas, apenas três, …, ou todas as 10 uvas.
Da mesma forma, duas opções pegando apenas maçãs, 3 para apenas laranjas, 4 para apenas bananas e uma para o abacaxi.
Total:
10 + 2 + 3 + 4 + 1 = 20 opções
Temos:
1319 – 20 = 1299 opções
Há 1299 maneiras distintas, ou seja, mais de 1000.
Resposta: ERRADO
c) Se Pedro desejar comer apenas bananas, haverá quatro maneiras de escolher algumas frutas para comer.
Resolução
Se ele quer apenas bananas, ele poderia pegar uma, duas, três ou quatro, ou seja, ele tem 4 opções.
Resposta: CERTO
Obs: A questão pode ter outra interpretação, repare que ele vai escolher algumas frutas, ou seja, poderíamos eliminar a opção de comer apenas uma banana e ter apenas 3 opções.
d) Se Pedro desejar comer apenas um tipo de fruta, a quantidade de maneiras de escolher frutas para comer será superior a 100.
Resolução
- Se ele comer apenas Uva ele terá 10 opções
- Se ele comer apenas Maçã ele terá 2 opções
- Se ele comer apenas Laranja ele terá 3 opções
- Se ele comer apenas Banana ele terá 4 opções
- Se ele comer apenas Abacaxi ele terá apenas 1 opção
Total de 20 opções, ou seja, inferior a 100.
Resposta: ERRADO
Considerando que dois álbuns de fotos, com x e y páginas, sejam montados com o menor número possível de capítulos — divisão das fotos por eventos — e que cada capítulo, nos dois álbuns, deva ter o mesmo número z de páginas, julgue os itens subsequentes.
a) Se x = 96 e y = 128, então z = 32.
Resolução
A questão pede para dividirmos dois álbuns na menor quantidade possível de capítulos com a mesma quantidade de páginas.
Se a quantidade de capítulos é a menor possível, a quantidade de páginas (z) por capítulo é a maior possível.