Dizemos que a distância entre os pontos A e B é a medida do segmento de reta que liga o ponto A ao ponto B. Dessa forma, a distância entre dois pontos é um comprimento.
Essa medida pode ser obtida de diversas formas. As mais comuns são duas: medir o segmento de reta que liga os pontos distintos A e B utilizando alguma ferramenta que possui esse fim ou utilizar um resultado proveniente da Geometria Analítica.
Os instrumentos mais conhecidos que são utilizados para medir segmentos de reta são: régua, trena e fita métrica.
Já o resultado proveniente da Geometria Analítica depende da localização dos pontos A e B e baseia-se no cálculo do comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo.
Cálculo da distância entre dois pontos
Para calcular a distância entre os pontos A e B, devemos escolher pontos que possuem coordenadas quaisquer A (x1, y1) e B (x2, y2). Essas coordenadas representam a localização dos pontos A e B em um plano. A distância entre esses dois pontos é igual ao comprimento do segmento de reta na cor lilás na imagem a seguir.
Exemplo de pontos A e B, com suas localizações e coordenadas no plano
O cálculo dessa distância é feito por meio da seguinte fórmula:
Fórmula utilizada para calcular a distância entre dois pontos
Para utilizá-la, basta substituir os valores numéricos das coordenadas dos pontos A e B nos locais indicados na fórmula e realizar os cálculos.
Exemplos
1 – Calcule a distância entre os pontos A(1,1) e B(1,4).
Primeiramente, mostraremos por meio do plano cartesiano que dAB = 3. Observe a figura a seguir:
Exemplo de cálculo entre os pontos A(1,1) e B(1,4)
Agora, vamos mostrar que, utilizando a fórmula para o cálculo de distância entre dois pontos, encontraremos que a distância entre A e B (dAB) é igual a 3. Observe:
Cálculos feitos a partir das coordenadas dos pontos A e B resultando na distância entre A e B
Exemplo 2 – Calcule a distância entre os pontos A(– 2, 4) e B(2,2).
Não é necessário fazer qualquer desenho para calcular a distância entre dois pontos, pois basta ter em mãos as coordenadas de dois pontos quaisquer do plano e utilizar a fórmula proposta acima. Observe:
Fala samuel, tudo bem ?
A fórmula da distância entre os pontos é dada por
\(d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\\ 10^2=(6-(-2))^2+(7-y)^2\\ 100=8^2+(7-y)^2\\ 36=(7-y)^2\\ \)
\((7-y)=\pm \sqrt{36}\\ (7-y)=\pm 6\)
\(7-y=6 \\ y=1\) ou \(7-y=-6\\ y=13\)
Espero que tenha entendido
Na Geometria Analítica, o cálculo da distância entre dois pontos permite encontrar a medida do segmento de reta que os une.
Utilize as questões a seguir para testar seus conhecimentos e tire suas dúvidas com as resoluções comentadas.
Questão 1
Qual a distância entre dois pontos que possuem as coordenadas P (–4,4) e Q (3,4)?
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Resposta correta: dPQ = 7.
Observe que as ordenadas (y) dos pontos são iguais, logo, o segmento de reta formado é paralelo ao eixo x. A distância então é dada pelo módulo da diferença entre as abscissas.
dPQ = 7 u.c. (unidades de medida de comprimento).
Questão 2
Determine a distância entre os pontos R (2,4) e T (2,2).
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Resposta correta: dRT = 2.
As abscissas (x) das coordenadas são iguais, sendo assim, o segmento de reta formado está paralelo ao eixo y e a distância é dada pela diferença entre as ordenadas.
dRT = 2 u.c. (unidades de medida de comprimento).
Veja também: Distância entre dois pontos
Questão 3
Sejam D (2,1) e C (5,3) dois pontos no plano cartesiano, qual a distância de DC?
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Resposta correta: dDC =
Sendo
Estando as medidas expressas em metros e, considerando o ponto A como a origem do sistema cartesiano, a distância percorrida pelo móvel é:
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A distância percorrida pelo móvel é, aproximadamente 8,60 m.
Rafael Asth
Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.