Geometria de posição exercícios resolvidos pdf

Geometria de Posição e Geometria Espacial Métrica Resumo teórico e exercícios. º olegial / urso Extensivo. utor - Lucas Octavio de Souza (Jeca)

Geometria de Posição e Geometria Espacial Métrica. Relação das aulas. Página ula 01 - onceitos fundamentais de Geometria de Posição... ula 0 - Poliedros convexos... ula 0 - Prismas... ula 04 - Pirâmides... ula 05 - ilindro de revolução... ula 06 - one de revolução... ula 07 - Esferas... ula 08 - Sólidos semelhantes... ula 09 - Exercícios diversos sobre sólidos compostos... 0 17 1 0 8 45 51 56 61 onsiderações gerais. Este estudo de Geometriade Posição e de Geometria Espacial Métrica tem como objetivo complementar o curso que desenvolvo com os alunos de º olegial e de curso pré-vestibular. Nessas aulas, projeto na lousa esta apostila e complemento a teoria exemplificando e demonstrando as fórmulas apresentadas. Não tem a pretensão de ser uma obra acabada e, muito menos, perfeita. utorizo o uso pelos cursinhos comunitários que se interessarem pelo material, desde que mantenham a minha autoria e não tenham lucro financeiro com o material. Peço, entretanto que me comuniquem sobre o uso. Essa comunicação me dará a sensação de estar contribuindo para ajudar alguém. Peço a todos, que perdoem eventuais erros de digitação ou de resolução e que me comuniquem sobre esses erros, para que possa corrigí-los e melhorar este trabalho. Meu e-mail - Um abraço. Jeca (Lucas Octavio de Souza) Jeca 01

Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria de Posição ula 01 onceitos fundamentais da Geometria de Posição. GEOMETRI DE POSIÇÃO. Geometria de Posição é a parte da Geometria que estuda a determinação dos elementos geométricos, bem como as posições relativas e as interseções desses elementos no espaço. a) Ponto -,, P, b) Reta - a, b, r, c) Plano -,,, 1) Elementos da Geometria. c) Determinação de plano. Um plano fica determinado : I - Por três pontos distintos não colineares. II - Por uma reta e um ponto fora dela. ) Determinação dos elementos. P r a) Determinação de ponto. Um ponto fica determinado : I - Pelo cruzamento de duas retas concorrentes. III - Por duas retas paralelas distintas. P r s r II - Pelo cruzamento de uma reta com um plano. s IV - Por duas retas concorrentes. r s r P ) ombinações dos elementos. (dois a dois) b) Determinação de reta. Uma reta fica determinada : I - Por dois pontos distintos. r a) Ponto - ponto. b) Ponto - reta. c) Ponto - plano. d) Reta - reta. e) Reta - plano. f) Plano - plano. II - Por um ponto e uma direção. 4) Posições relativas e interseções dos elementos dois a dois. direção P 4a) Ponto - ponto. s posições relativas que dois pontos podem assumir são : I - Os dois pontos são coincidentes. III - Pelo cruzamento de dois planos. r = ( ou ) II - Os dois pontos são distintos. = O Jeca 0

4b) Ponto - reta. s posições relativas que um ponto e uma reta podem assumir são : I - O ponto está contido na reta. P r P r = P Retas perpendiculares. (caso particular de retas concorrentes) Duas retas concorrentes são ditas perpendiculares se fazem entre si ângulos de 90º. (no plano) II - O ponto está fora da reta. P r P r = O ) Retas reversas (ou não coplanares) Duas retas são ditas reversas ou não coplanares se não existe um plano que as contém. 4c) Ponto - plano. s posições relativas que um ponto e um plano podem assumir são : Retas ortogonais. (caso particular de retas reversas) Duas retas reversas são ditas ortogonais se fazem entre si ângulos de 90º. (no espaço) I - O ponto está contido no plano. P s P P = P r P s r s = O II - O ponto está fora do plano. P 4e) Reta - plano. P P = O s posições relativas que uma reta e um plano podem assumir são : I - reta está contida no plano. 4d) Reta - reta. 1) Retas coplanares. Duas retas são ditas coplanares se existe um plano que as contém. r r = r s posições relativas que duas retas coplanares podem assumir são : I - Duas retas paralelas coincidentes. II - reta é paralela ao plano. r r s r s = r (ou s) r r = O II - Duas retas paralelas distintas. s r r s = O III - reta é secante ou concorrente com o plano. r P é chamado de traço de r em. III - Duas retas concorrentes. P s r r s = P P r = P Jeca 0

Reta perpendicular ao plano. (caso particular de reta secante ao plano) Teorema. Uma reta é perpendicular a um plano se é perpendicular ou ortogonal a duas retas concorrentes do plano. 4f) Plano - plano. s posições relativas que dois planos podem assumir são : I - Dois planos paralelos coincidentes. t s r = (ou ) r Projeções ortogonais ( Sombra ) P s Projeções ortogonais em r. t - Projeção ortogonal de P em r. - Projeção ortogonal de P em s. - Projeção ortogonal de P em t. D D Distância. F E E = F Distância entre duas retas reversas. distância entre duas retas reversas é a medida do segmento que tem extremidades nas duas retas e que é simultaneamente perpendicular a essas retas. r II - Dois planos paralelos distintos. d s r = O Ângulo. Ângulo entre reta e plano. É o ângulo formado entre a reta e a projeção ortogonal da reta sobre o plano. P III - Dois planos secantes (ou concorrentes) P r = r Ângulo entre dois planos. É o ângulo formado por duas retas, uma de cada plano, perpendiculares à intersecção dos dois planos num mesmo ponto. Planos perpendiculares. (caso particular de planos secantes ou concorrentes) Teorema. Dois planos são perpendiculares entre si se um deles contém uma reta perpendicular ao outro. t Jeca 04 Intersecção Onde se lê Determina Existe um Um único oincidentes Distintos Existe e é único Entende-se Existe pelo menos um. Um e somente um. oncorrentes Se cruzam. olineares oplanares Reversos Têm todos os pontos em comum. Têm pelo menos um ponto diferente. Existe uma reta que os contém. Existe um plano que os contém. Não existe um plano que os contém.

Responder V se verdadeira ou F se falsa nas afirmações abaixo. 001) ( ) O ponto não tem dimensão. 00) ( ) Uma reta contém infinitos pontos. 00) ( ) Um plano contém infinitos pontos. 004) ( ) Por um ponto sempre passa uma reta. 005) ( ) Dados dois pontos distintos, existe e é único o plano que os contém. 006) ( ) Três pontos distintos determinam um plano. 007) ( ) Por uma reta passam infinitos planos. 008) ( ) Três pontos alinhados são coplanares. 009) ( ) Três pontos distintos e não colineares determinam um plano. 010) ( ) Todo plano contém infinitas retas. 011) ( ) Dois planos que têm uma única reta comum são secantes. 01) ( ) Um ponto separa uma reta em duas semiretas. 01) ( ) Um ponto pertencente a uma reta separa essa reta em duas semi-retas. 014) ( ) Uma reta divide um plano em dois semiplanos. 015) ( ) Uma reta pertencente a um plano, divide esse plano em dois semi-planos. 016) ( ) Qualquer plano divide o espaço em dois semi-espaços. 017) ( ) Dois semi-planos são sempre coplanares. 018) ( ) Dois semi-planos opostos são sempre coplanares. 019) ( ) Se dois pontos pertencem a semi-planos opostos, então o segmento que os une intercepta a origem dos dois semi-planos. 00) ( ) Existem infinitos semi-planos de mesma origem. 01) ( ) Três pontos distintos não são colineares. 0) ( ) Duas retas que têm um ponto comum são concorrentes. 0) ( ) Duas retas que têm um único ponto comum são concorrentes. 04) ( ) Duas retas distintas que têm um ponto comum são concorrentes. 05) ( ) Uma reta e um ponto determinam um plano. 06) ( ) Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano. 07) ( ) Duas retas distintas determinam um plano. 08) ( ) Duas retas paralelas determinam um plano. 09) ( ) Três retas, duas a duas paralelas distintas, determinam três planos. 00) ( ) Três retas, duas a duas paralelas distintas, determinam um único ou três planos. 01) ( )Três retas, duas a duas concorrentes em pontos distintos, são coplanares. 0) ( ) O espaço contém infinitos pontos, infinitas retas e infinitos planos. 0) ( ) Quatro pontos distintos e não colineares, são vértices de um quadrilátero. 04) ( ) Quatro pontos distintos e não colineares três a três, são vértices de um quadrilátero. 05) ( ) Quatro pontos distintos e não coplanares, três a três determinam quatro planos distintos. 06) ( ) Duas retas paralelas distintas e um ponto fora delas, determinam um único ou três planos. 07) ( ) Duas retas concorrentes e um ponto fora delas determinam três planos. Jeca 05 08) ( ) Se duas retas não têm ponto em comum, então elas são reversas. 09) ( ) Se duas retas não têm ponto em comum, então elas são concorrentes. 040) ( ) Um ponto contido num plano divide esse plano em dois semi-planos. 041) ( ) Uma reta secante a um plano divide essa plano em dois semi-planos. 04) ( ) Se duas retas não são coplanares, então elas são reversas. 04) ( ) Se duas retas são paralelas, então elas não têm ponto em comum. 044) ( ) Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas entre si. 045) ( ) Duas retas ortogonais formam ângulo reto. 046) ( ) Quatro pontos não coplanares são vértices de um quadrilátero reverso. 047) ( ) s retas que contém as diagonais de um quadrilátero reverso são retas reversas. 048) ( ) Se duas retas distintas não são paralelas, então são concorrentes. 049) ( ) Se três retas são paralelas, então existe um plano que as contém. 050) ( ) Uma reta e um plano secantes têm um ponto comum. 051) ( ) Três pontos não colineares são sempre distintos. 05) ( ) Uma reta e um plano paralelo não têm ponto comum. 05) ( ) Uma reta está contida num plano quando eles coincidem. 054) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a uma reta do plano. 055) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a infinitas retas do plano. 056) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a todas as retas do plano. 057) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é reversa a uma reta do plano. 058) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é ortogonal a uma única reta do plano. 059) ( ) Se uma reta e um plano são secantes, então ela é concorrente com infinitas retas desse plano. 060) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então existe no plano uma reta concorrente com ela. 061) ( ) Se duas retas são reversas, então qualquer reta que concorre com uma delas concorre com a outra. 06) ( ) Se duas retas distintas são paralelas, então todo plano que contém uma é paralelo ou contém a outra. 06) ( ) Se duas retas são reversas, então qualquer plano que contém uma intercepta a outra. 064) ( ) Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então são paralelas entre si. 065) ( ) Dado uma reta e um plano quaisquer, existe no plano uma reta paralela à reta dada. 066) ( ) Dadas duas retas distintas quaisquer, existe um plano que contém uma e é paralelo à outra. 067) ( ) Dois planos secantes têm como interseção uma reta. 068) ( ) Se dois planos distintos têm um ponto comum então eles são secantes. 069) ( ) Dois planos que têm uma reta comum são secantes.

070) ( ) Dois planos que têm uma única reta comum são secantes. 071) ( ) Duas retas reversas e uma concorrente com as duas, determinam dois planos. 07) ( ) Dois planos distintos são secantes. 07) ( ) Se dois planos distintos são paralelos entre si, então uma reta de um deles e uma reta do outro são paralelas entre si ou reversas. 074) ( ) Se uma reta é paralela a dois planos secantes, então ela é paralela à interseção desse planos. 075) ( ) Se dois planos distintos são paralelos, então toda reta paralela a um deles é paralela ao outro. 076) ( ) Se dois planos são paralelos a uma reta, entãosão paralelos entre si. 077) ( ) Se dois planos distintos são paralelos a um terceiro, então são paralelos entre si. 078) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano, então é perpendicular a uma reta do plano. 079) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano, então é perpendicular a todas as retas desse plano. 080) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano, então é perpendicular a infinitas retas desse plano. 081) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano, então é perpendicular ou ortogonal a todas as retas do plano. 08) ( ) Uma reta é perpendicular a um plano se é perpendicular a duas retas desse plano. 08) ( ) Uma reta é perpendicular a um plano se é perpendicular a duas retas concorrentes desse plano. 084) ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, então toda reta perpendicular à reta dada é perpendicular ao plano. 085) ( ) Por um ponto dado pode-se conduzir uma única reta perpendicular a um plano dado. 086) ( ) Um reta é perpendicular a um plano se é perpendicular a duas ou mais retas desse plano. 087) ( ) Dois planos perpendiculares a um terceiro, podem ser perpendiculares entre si. 088) ( ) Uma condição necessária para que uma reta seja perpendicular a um plano é que a reta e o plano sejam secantes. 089) ( ) Se duas retas são perpendiculares a um mesmo plano, então elas são paralelas entre si. 090) ( ) Se dois planos são perpendiculares a uma mesma reta, então são paralelos entre si. 091) ( ) Se uma reta é ortogonal a duas retas paralelas distintas, então ela é paralela ao plano que as contém. 09) ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, então toda reta perpendicular à reta dada é paralela ao plano. 09) ( ) Se uma reta e um plano são perpendiculares, então toda reta perpendicular à reta dada é paralela ao plano. 094) ( ) Por um ponto dado, existe um único plano perpendicular a uma reta dada. 095) ( ) Se dois planos são perpendiculares, então eles são secantes entre si. 096) ( ) Se dois planos são secantes, então eles são perpendiculares. 097) ( ) Uma reta e um plano secantes têm um ponto comum. 098) ( ) Se uma reta é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao plano. 099) ( ) Dadas duas retas reversas, existe um plano que contém uma e é perpendicular à outra. 100) ( ) Dadas duas retas reversas, existe um plano que contém as duas retas. 101) ( ) Dadas duas retas reversas, existe um plano que contém uma e é paralelo à outra. 10) ( ) s intersecções de dois planos paralelos com um terceiro plano, são retas paralelas. 10) ( ) Se um plano contém duas retas concorrentes e ambas paralelas a um outro plano, então esses planos são paralelos entre si. 104) ( ) projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é um ponto. 105) ( ) projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta. 106) ( ) projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é um ponto ou uma reta. 107) ( ) projeção ortogonal de um segmento sobre um plano é um ponto ou um segmento menor que ele. 108) ( ) projeção ortogonal de um quadrilátero plano sobre um plano é um quadrilátero. 109) ( ) projeção ortogonal de um quadrado plano sobre um plano pode ser um triângulo. 110) ( ) projeção ortogonal de um plano sobre outro plano é um plano ou uma reta. 001 V 00 V 00 V 004 V 005 F 006 F 007 V 008 V 009 V 010 V 011 V 01 F 01 V 014 F 015 V 016 V 017 F 018 V 019 V 00 V 01 F 0 F 0 V 04 V 05 F 06 V 07 F 08 F 09 F 00 V 01 V 0 V 0 F 04 V 05 V 06 V 07 F 08 F 09 F 040 F GRITO 041 F 04 V 04 F 044 V 045 V 046 V 047 V 048 F 049 F 050 V 051 V 05 V 05 F 054 V 055 V 056 F 057 V 058 F 059 V 060 F 061 F 06 V 06 F 064 F 065 F 066 F 067 V 068 V 069 F 070 V 071 V 07 F 07 V 074 V 075 F 076 F 077 V 078 V 079 F 080 V 081 V 08 F 08 V 084 F 085 V 086 F 087 V 088 V 089 V 090 V 091 F 09 F 09 F 094 V 095 V 096 F 097 V 098 F 099 F 100 F 101 V 10 V 10 V 104 V 105 F 106 V 107 F 108 F 109 F 110 V Jeca 06

Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) 01) (FUVEST) Uma formiga resolveu andar de um vértice a outro do prisma reto de bases triangulares e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela partiu do vértice G, percorreu toda a aresta perpendicular à base, para em seguida caminhar toda a diagonal da face DG e, finalmente completou seu passeio percorrendo a aresta reversa a G. formiga chegou ao vértice : a) b) c) d) D e) E D E G Geometria de Posição ula 01 Exercícios complementares. (Geometria de Posição) 0) (FP-SP) O galpão da figura a seguir está no prumo e a cumeeira está "bem no meio" da parede. t s 4 m v cumeeira u 4 m m r Das retas assinaladas, podemos afirmar que: a) t e u são reversas. b) s e u são reversas. c) t e u são concorrentes. d) s e r são concorrentes. e) t e u são perpendiculares. 0) (Unifesp-SP) Dois segmentos dizem-se reversos quando não são coplanares. Nesse caso, o número de pares de arestas reversas num tetraedro, como o da figura, é: a) 6 b) c) d) 1 e) 0 D 04) (Vunesp-SP) Na figura a seguir o segmento é perpendicular ao plano, D e estão contidos nesse plano e D é perpendicular a. Se = cm, = 4 cm e D = cm, ache a distância de a D. D 05) (Unimontes-MG) "hama-se projeção ortogonal de uma figura sobre um plano o conjunto de todas as projeções ortogonais dos pontos da figura sobre esse plano." Na figura abaixo, determine a medida da projeção ortogonal do segmento sobre o plano. t e são planos secantes e t t e t = 10 cm 60º T T Jeca 07 06) (Fatec-SP) Na figura exposta tem-se: o plano definido pelas retas c e d, perpendiculares entre si; a reta b, perpendicular a em, com c, o ponto, intersecção de c e d. Se X é um ponto de b, X, então a reta s, definida por X e : a) é paralela à reta c. b) é paralela à reta b c) está contida no plano. d) é perpendicular à reta d. e) é perpendicular à reta b. b d c

07) (FP-SP) figura abaixo mostra uma porta entreaberta e o canto de uma sala: x 08) (Fuvest-SP) São dados um plano, uma reta r contida em e uma reta s perpendicular a r, mas não a. Demonstre que a projeção ortogonal de s sobre é perpendicular a r. r t z s y s retas r e s; s e t; x e r têm, respectivamente, as posições relativas: a) paralelas, paralelas e perpendiculares. b) paralelas, perpendiculares e reversas. c) paralelas, perpendiculares e perpendiculares. d) reversas, paralelas e perpendiculares. e) perpendiculares, reversas e paralelas. 09) (Vunesp-SP) Sobre a perpendicularidade não se pode afirmar: a) Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então é perpendicular a esse plano. b) Existem 4 retas passando por um ponto, tais que sejam perpendiculares duas a duas. c) Se uma reta é perpendicular a um plano, existem infinitas retas desse plano perpendiculares a ela. d) Retas distintas perpendiculares ao mesmo plano são paralelas. e) Dados uma reta e um ponto distintos, podemos passar um e apenas um plano perpendicular à reta e passando pelo ponto. 10) (Fatec-SP) O ponto pertence à reta r, contida no plano. reta s, perpendicular a, o intercepta no ponto. O ponto pertence a s e dista 5 cm de. Se a projeção ortogonal de em r mede 5 cm e o ponto dista 6 cm de r, então a distância de a, em centímetros, é igual a: a) 9 5 b) 9 c) 7 d) 4 e) 5 11) (Fuvest-SP) O segmento é um diâmetro de uma circunferência e, um ponto dela, distinto de e de. reta V, V =, é perpendicular ao plano da circunferência. O número de faces do tetraedro V que são triângulos retângulos é: a) 0 b) 1 c) d) e) 4 1) (Fuvest-SP) São dados 5 pontos não-coplanares,,, D, E. Sabe-se que D é um retângulo, E perpendicular a e E perpendicular a D. Pode-se concluir que são perpendiculares as retas: a) E e E b) E e c) E e d) E e e) e E Jeca 08

1) (Fuvest-SP) São dados um plano, um ponto P do mesmo e uma reta r oblíqua a que o fura num ponto distinto de P. Mostre que existe uma única reta por P, contida em, e ortogonal a r. 14) (IT-SP) Qual das afirmações abaixo é verdadeira? a) Três pontos, distintos dois a dois, determinam um plano. b) Um ponto e uma reta determinam um plano. c) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, tal ponto é único. d) Se uma reta é paralela a um plano e não está contida neste plano, então ela é paralea a qualquer reta desse plano. e) Se é o plano determinado por duas retas concorrentes r e s, então toda reta m desse plano, que é paralela à r, não será paralela à reta s. 15) (Uminontes-MG) Sejam r, s e t três retas no espaço. nalise as seguintes afirmações: ( ) Se r e s são paralelas, então existe um plano que as contém. ( ) Se a intersecção de r e s é o conjunto vazio, então r é paralela a s. ( ) Se r, s e t são duas a duas paralelas, então existe um plano que as contém. ( ) Se r s = O e r não é paralela a s, então r e s são reversas. U onsiderando V para sentença verdadeira e F para sentença falsa, a sequência correta que classifica essas afirmações é: a) V, V, V, V. b) F, V, V, F. c) V, F, F, V. d) V, V, F, F. 16) (PU-SP) Qual das afirmações abaixo é verdadeira? a) Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são concorrentes. b) Duas retas não coplanares são reversas. c) Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio, então elas são paralelas. d) Se três retas são paralelas, existe um plano que as contém. e) Se três retas distintas são duas a duas concorrentes, então elas determinam um e um só plano. 17) (Mackenzie-SP) ssinale a única proposição verdadeira. a) Uma reta é perpendicular a um plano, quando ela é perpendicular a todas as retas do plano. b) Dois planos distintos perpendiculares a um terceiro são paralelos entre si. c) projeção ortogonal de uma reta num plano é sempre uma reta. d) Um plano paralelo a duas retas de um plano é paralelo ao plano. e) Duas retas perpendiculares, respectivamente, a três planos paralelos, são paralelas. 18) (FEI-SP) ssinale a proposição falsa. a) Por uma reta perpendicular a um plano passa pelo menos um plano perpendicular a. b) projeção ortogonal sobre um plano de um segmento oblíquo a é menor do que o segmento. c) Uma reta ortogonal a duas retas concorrentes de um plano é perpendicular ao plano. d) Um plano perpendicular à dois planos concorrentes é perpendicular à intersecção deles. e) No espaço, duas retas perpendiculares a uma terceira reta são paralelas. Jeca 09

19) figura ao lado representa um cubo de vértices,,, D, E, F, G e H. om base nessa figura e utilizando os vértices como pontos, as arestas como retas suportes das retas (entende-se: é uma reta mas não contém nenhuma aresta) e as faces como planos, responda as solicitações abaixo. Observação - Na correção, as respostas das solicitações serão consideradas certas ou erradas (não existe meio certa), levandose em consideração o rigor matemático dos termos próprios da Geometria de Posição. D H G a) ite uma reta que seja paralela distinta com a reta. E F b) ite uma reta que seja perpendicular à reta DH. l) Determine todas as arestas do cubo que são ortogonais à reta EF. c) ite uma reta que seja ortogonal com a reta EH. d) ite uma reta que seja concorrente com a reta D. e) ite um plano que seja paralelo distinto com o plano E. f) ite um plano que seja perpendicular ao plano EHG. g) ite um plano que seja secante ou concorrente com o plano D. h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG e EH? i) O que é e qual é a intersecção entre a reta DH e o plano F? m) Determine todas as arestas do cubo que são concorrentes com a reta DH. n) Determine todas as arestas do cubo que são paralelas ao plano G. o) Determine todas as arestas do cubo que são paralelas ao plano DH. p) Determine todas as faces do cubo que são paralelas à aresta G. q) Determine todas as faces do cubo que são perpendiculares à face EF. r) Determine todos os vértices do cubo que não estão contidos no plano FGH. j) O que é e qual é a intersecção entre o plano EF e o plano FGH? s) Determine todas as arestas do cubo que são paralelas distintas à aresta. k) Determine todas as arestas do cubo que são perpendiculares à reta. t) Determine todos os vértices do cubo que não estão contidos no plano EGD. Jeca 10

0) figura ao lado é um paralelepípedo retorretangular de dimensões E = 6 cm, D = 8 cm e = 10 cm. Os pontos R, S, T e U são os centros das faces DHE, DHG, GF e EFGH, respectivamente. Sendo,,, D, E, F, G e H os vértices desse paralelepípedo, determinar o que se pede em cada questão a seguir : a) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas distintas à aresta D? E R D H U S F T G b) Qual a posição relativa entre as retas HG e F? Resp. m) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas ao plano G? Resp c) O que é e qual é a intersecção entre os planos D e EFH? Resp. n) Quais faces do paralelepípedo são paralelas ao plano DH? Resp. d) Qual a distância entre o ponto T e o plano GH? Resp. e) Quais arestas do paralepepípedo são perpendiculares à aresta EF? Resp. f) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à aresta D? Resp. g) Quais faces do paralelepípedo são perpendiculares ao plano EH? Resp. h) Qual a distância entre o ponto F e o plano? Resp. i) O que é e qual é a intersecção entre os planos GH e FH? Resp. j) Qual a posição relativa entre as retas e HF? Resp. l) Qual a distância entre os pontos S e R? Resp. o) Qual a tangente do ângulo formado entre os planos F e FH? Resp. p) O que é e qual é a intersecção entre as retas FH e EG? Resp. q) Quais vértices do paralelepípedo distam 10 cm do vértice E? Resp r) Quais faces do paralelepípedo contêm o vértice D? Resp. s) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à reta F? Resp. t) O que é e qual é a intersecção entre os planos HG e DEF? Resp. u) Qual a medida da soma dos comprimentos de todas as arestas do paralelepípedo? Resp. Jeca 11

1) figura 01 ao lado representa um prisma hexagonal regular de vértices,,, D, E, F, G, H, I, J, L e M visto em perspectiva, e a figura 0 a sua base vista por cima. om base nessas figuras e utilizando os vértices como pontos, as retas suportes das arestas como retas e as faces como planos, responda as solicitações abaixo. penas usar como respostas as retas que contenham uma aresta. Por exemplo: E é uma reta mas não contém nenhuma aresta. figura 01 H I G J M L Observação - Na correção, as respostas das solicitações serão consideradas certas ou erradas (não existe meio certa), levandose em consideração o rigor matemático dos termos próprios da Geometria de Posição. D F F E a) ite uma reta que seja paralela distinta com a reta. figura 0 E b) ite uma reta que seja perpendicular à reta DJ. D c) ite uma reta que seja ortogonal com a reta DE. d) ite uma reta que seja concorrente com a reta F. e) ite um plano que seja paralelo distinto com o plano GM. f) ite um plano que seja perpendicular ao plano JLE. g) ite um plano que seja secante ou concorrente com o plano H. h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG e GM? i) O que é e qual é a intersecção entre a reta D e o plano HI? j) O que é e qual é a intersecção entre o plano EF e o plano DJ? k) Determine todas as retas do prisma que são perpendiculares à reta G. l) Determine todas as retas do prisma que são ortogonais à reta EF. m) Determine todas as retas do prisma que são concorrentes com a reta D. n) Determine todas as retas do prisma que são paralelas ao plano E. o) Determine todas as retas do prisma que são paralelas ao plano H. p) Determine todas as faces do prisma que são paralelas à reta DJ. q) Determine todas as faces do prisma que são perpendiculares à face EF. r) Determine todos os vértices do prisma que não estão contidos no plano JLD. s) Determine todas as retas do prisma que são perpendiculares à reta. t) Determine todas as retas do prisma contidas no plano GM. Jeca 1

) s questões abaixo referem-se ao paralelepípedo retorretangular DEFGH ao lado, cujas dimensões são: = 9 cm, = 1 cm e E = 6 cm. D E H F G a) Qual é a distância, em cm, entre o ponto E e o plano G? a) 6 b) 1 c) 9 d) 8 e) 10 b) Qual é a distância, em cm, entre a reta e a reta GH? a) 7 5 b) 5 7 c) 5 6 d) 6 5 e) 7 6 c) Qual é a distância, em cm, entre as retas e FH? a) 9 b) 6 c) 8 d) 1 e) 10 d) Qual é a distância, em cm, entre o ponto G e a reta FH? a) 6/5 b) 4/5 c) 18/5 d) 7/5 e) 1/5 e) Qual é a distância, em cm, entre o ponto H e o ponto? a) 7 b) 47 c) 57 d) 61 e) 5 f) Qual é a distância, em cm, entre a reta FG e a reta D? a) 109 b) 117 c) 1 d) 11 e) 17 g) Qual é a tangente do ângulo formado entre a reta H e a face EFGH? a) /5 b) / c) / d) /4 e) 4/ h) Qual é a tangente do ângulo formado entre os planos G e H? a) / b) 5/ c) / d) /4 e) 4/ Jeca 1

) s peças 1 e são maciças e se fossem divididas, juntas formariam 8 cubos idênticos. Mantendo-se a peça 1 na mesma posição e juntando-se as peças 1 e, forma-se um sólido composto na forma de um cubo maior. Utilizando os esboços abaixo, represente através de um desenho a visão que você teria olhando frontalmente as faces,,, D e E do cubo composto. face D face E face face face peça 1 peça esboços face face face face face D face E 4) s peças 1 e são maciças e se fossem divididas, juntas formariam 8 cubos idênticos. Mantendo-se a peça 1 na mesma posição e juntando-se as peças 1 e, forma-se um sólido composto na forma de um cubo maior. Utilizando os esboços abaixo, represente através de um desenho a visão que você teria olhando frontalmente as faces,,, D e E do cubo composto. face D face E face face face peça 1 peça esboços face face face face face D face E 5) figura 1 mostra um cubo, que se fosse dividido em 7 cubos menores e idênticos, formariam a figura, com as suas respectivas faces,, e D. figura mostra uma parte retirada do cubo original. Mantendo-se a base do cubo na mesma posição, desenhe nos esboços abaixo como você visualiza as faces,, e D após a retirada do corpo da figura. D figura 1 figura figura esboços face face face face D Jeca 14

J K R F J P F 6) Um cubo é composto pelas faces J, R, P, L, K e F. figura 1 abaixo, mostra o cubo, a figura mostra a planificação do cubo com as suas respectivas faces e a figura mostra dois observadores, e, olhando frontalmente, e sempre da mesma posição, uma das faces do cubo. Em cada caso abaixo, desenhe a forma que cada observador visualiza a face observada. J F R figura 1 figura F K R L Observador J R Observador figura Observador Observador J R (exemplo) P L figura 1 a) Observador Observador P L F figura 1 b) L Observador Observador K J figura 1 c) R Observador Observador K P figura 1 d) Observador Observador J figura 1 e) Observador Observador F L figura 1 Jeca 15

K Respostas da ula 01 s respostas das afirmações Verdadeiras ou Falsas das páginas 05 e 06 estão na página 06. Respostas da ula 01 - Exercícios complementares. 01) e 0) a 0) b 04) D = 9 cm 05) 5 cm 06) d 07) b 08) Demonstração r r é perpendicular a s (do enunciado). ' é perpendicular a porque é a projeção ortogonal. reta r é perpendicular ou ortogonal a duas retas concorrentes do plano '. Portanto a reta r é perpendicular ao plano '. Se a reta ' está contida no plano ', então a reta r é perpendicular à reta '. (QD) 09) b 10) b 11) e 1) d 1) Demonstração Sejam e dois pontos da reta r e ' e ' suas projeções ortogonais sobre o plano. reta de ortogonal a r é a única reta de que passa por P e é perpendicular à reta ''. Portanto é única. (QD) 14) e 15) c 16) b 17) e 18) e 19) a) D, HG ou EF b) D, D, EH ou GH c), F, D ou G d) D, DH, E ou e) DH f) ED, HD, G ou E g) ED, HD, G ou E h) o ponto H i) não existe intersecção j) a reta EF k), F, D e G l), G, D e DH m) D, D, EH e GH n) D, DH, HE e E o) E e G p) E e DH q) D, G, EFG e EH r),, e D s) D, GH e EF t),,, H e F 0) a), FG e EH b) retas reversas e ortogonais c) não existe intersecção d) 4 cm e) E, EH, F e GF f) E, EH, F e GF g) D, DHG, HEF e E h) 6 cm s ' ' P Respostas da aula 01. ' r Jeca 16 0) i) a reta DH j) retas reversas l) 41 cm m) D, DH, HE e E n) F o) 4/5 p) o ponto U q) F r) D, DH e DH s) e HG t) a reta RT u) 96 cm 1) a) DE, JL ou HG b) JI, JL, D ou DE c) I, H, G ou MF d),, G, MF, FE ou DE e) DJ f) JLM ou DEF g) GHI,, I, DI, FM ou FEM h) o ponto G i) o ponto j) a reta D k) GH, GM, e F l) JD, I, H e G m) DE, EF, JD, I, e n) HI, IJ, JL, LM, MG e GH o) JD, LE, MF e G p) H, HG, GM e MLF q) GH, MGF, LME, JLD, IJ e HI r) M, G, H, I, F,, e s) H e G t) GM, MF, G e F ) a) c b) d c) b d) a e) d f) b g) a h) c ) 4) 5) 6) a) b) c) d) e) face face face face D face E face face face face D face E face face face face D Obs. J F F Obs. R P J P L R Favor comunicar eventuais erros deste trabalho através do e-mail Obrigado.

Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria Espacial Métrica ula 0 Poliedros convexos. I - Elementos dos poliedros. Poliedro - É a região do espaço limitada por quatro ou mais polígonos planos. ângulo poliédrico aresta face Face do poliedro - É qualquer polígono plano que limita o poliedro. resta do poliedro - É o segmento obtido da intersecção de duas faces. Vértice do poliedro - É o ponto obtido da intersecção de três ou mais arestas. Ângulo poliédrico - É a região do espaço constituída por um vértice e três ou mais arestas. Poliedro convexo - Um poliedro é dito convexo se, dados dois pontos quaisquer do poliedro, o segmento que os une está inteiramente contido nele. vértice poliedro convexo poliedro não convexo lassificação dos poliedros. 4 faces - tetraedro 5 faces - pentaedro 6 faces - hexaedro 7 faces - heptaedro 8 faces - octaedro 9 faces - eneaedro 10 faces - decaedro 11 faces - undecaedro 1 faces - dodecaedro 1 faces - tridecaedro 14 faces - quadridecaedro 15 faces - pentadecaedro 16 faces - hexadecaedro 17 faces - heptadecaedro 18 faces - octodecaedro 19 faces - eneadecaedro 0 faces - icosaedro lassificação dos ângulos poliédricos. arestas - ângulo triédrico 4 arestas - ângulo tetraédrico 5 arestas - ângulo pentaédrico 6 arestas - ângulo hexaédrico etc Poliedros de Platão. Um poliedro é dito de Platão se: - é convexo e fechado; - tem todas as faces do mesmo tipo; - tem todos os vértices do mesmo tipo. Relação de Euler. Todo poliedro convexo e fechado satisfaz a relação: V - + F = Soma das medidas dos ângulos internos de todas as faces do poliedro convexo. S = 60 (V - ) álculo do número de arestas de um poliedro convexo. a) través das faces. b) través dos vértices. = n. F m. V = - número de arestas do poliedro. n - número de lados de cada face. F - número de faces do mesmo tipo. m - número de arestas de cada vértice poliédrico. V - número de vértices poliédricos do mesmo tipo. V - nº de vértices - nº de arestas F - nº de faces S - soma dos ângulos V - nº de vértices Poliedro regular. Um poliedro é dito regular se tem todas as faces formadas por polígonos regulares e congruentes. Existem apenas 5 poliedros regulares Existem apenas 5 poliedros de Platão. Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro é de Platão não é de Platão Jeca 17 Tetraedro regular Hexaedro regular Octaedro regular Dodecaedro regular Icosaedro regular 4 5 nº de lados de cada face - Todo poliedro regular é de Platão mas nem todo poliedro de Platão é regular. - Todo poliedro regular pode ser inscrito e circunscrito numa esfera.

01) Determine o número de vértices de um poliedro convexo fechado que tem 1 face pentagonal, 5 faces triangulares e 5 faces quadrangulares. 0) Determine o número de faces de um poliedro convexo fechado que tem 6 vértices triédricos e 14 vértices tetraédricos. Observação - figura foi colocada no exercício para que o aluno possa comprovar a veracidade dos cálculos. 0) Determine o número de vértices de um poliedro convexo e fechado que tem 1 face hexagonal, 4 faces triangulares e faces quadrangulares. Observação - figura foi colocada no exercício para que o aluno possa comprovar a veracidade dos cálculos. 04) Determine o número de faces de um poliedro convexo e fechado que tem 7 vértices tetraédricos e vértices heptaédricos. 05) (UFJF-MG) figura a seguir representa a planificação de um poliedro convexo. O número de vértices desse poliedro é: a) 1 b) 14 c) 16 d) 0 e) 06) (UFTM-MG) Um poliedro comvexo, com arestas e 14 vértices, possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sendo q o número de faces quadrangulares e t o número de faces triangulares, então os valores de q e t são, respectivamente, a) q = 6 e t = 14 b) q = 16 e t = 4 c) q = 4 e t = 14 d) q = 14 e t = 4 e) q = 4 e t = 16 Jeca 18

Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria Espacial Métrica ula 0 Exercícios complementares. (Poliedros convexos) 07) Preencha a tabela ao lado, sabendo que: n - nº de lados de cada face do poliedro regular; F - nº de faces do poliedro regular; - nº de arestas do poliedro regular; m - nº de arestas de cada vértice poliédrico do poliedro; V - nº de vértices poliédricos do poliedroregular; S - soma das medidas dos ângulos internos das faces do poliedro regular. Tetraedro regular Hexaedro regular Octaedro regular Dodecaedro regular Icosaedro regular n F m V S 08) Quantas faces tem um poliedro convexo fechado que tem vértices pentaédricos, 10 vértices tetraédricos e 10 vértices triédricos? a) 5 b) 18 c) 16 d) 4 e) 0 09) Um poliedro convexo tem o mesmo número de faces triangulares e quadrangulares. Qual o número de vértices desse poliedro, sabendo-se que tem 1 arestas e apenas esses dois tipos de face? a) 9 b) 15 c) 11 d) 1 e) 1 10) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo fechado que tem 0 faces e 0 arestas? a) 560º b) 160º c) 800º d) 600º e) 560º 11) Um poliedro convexo fechado tem 1 face decagonal, 10 faces triangulares e 6 faces pentagonais. Qual é o número de vértices desse poliedro? a) 4 b) 0 c) 18 d) 16 e) 5 Jeca 19

1) Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e hexagonais. Determine o nº de faces quadrangulares, sabendo-se que esse poliedro tem 4 arestas e 1 vértices, e que o nº de faces quadrangulares é igual ao nº de faces triangulares. 1) Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e hexagonais. Determine o nº de faces hexagonais, sabendo-se que esse poliedro tem 5 arestas e 14 vértices, e que o nº de faces quadrangulares é o dobro do nº de faces triangulares. 14) (MK) Um poliedro convexo e fechado tem 15 faces. De dois de seus vértices partem 5 arestas, de quatro outros partem quatro arestas, e dos restantes partem arestas. Determine o nº de arestas do poliedro. 15) Um poliedro convexo e fechado que tem somente faces quadrangulares e pentagonais, tem 15 arestas. Quantas faces tem de cada tipo se a soma das medidas dos ângulos internos das suas faces é 880º? Jeca 0

Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria Espacial Métrica ula 0 Prismas. I - Volume de um sólido. m m m m m m 1 m m m V =.. 1 = 6 m V =.. = 1 m V =.. = 18 m Importante - Quando um sólido mantém a mesma secção transversal, o volume desse sólido é calculado como sendo o produto entre a área da base e a altura. (Note que a área da base é a mesma que a da secção transversal) V =. h base II - Prismas. aracterísticas dos prismas. - Todo prisma tem duas bases paralelas, congruentes e alinhadas entre si. - Todas as arestas laterais do prisma são paralelas e congruentes entre si. - s faces laterais do prisma são formadas por paralelogramos. - altura de um prisma é a distância entre os planos que contêm as suas bases. - Denomina-se um prisma em função do polígono da sua base. Tipos de prisma. - Prisma oblíquo: as arestas laterais não são perpendiculares aos planos das base. - Prisma reto: as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. - Prisma regular: é o prisma reta cujas bases são polígonos regulares e congruentes. ase ase ase ase ase h h h h h Prisma oblíquo Prisma reto Prisma quadrangular regular Prisma hexagonal regular Prisma triangular regular Prisma genérico ase aresta da base face lateral aresta lateral Área da base Fórmulas dos prismas = depende da base b Área lateral = faces laterais Área total T = +. b Volume V =. h b Jeca 1

III - Prismas particulares. a) Paralelepípedo retorretangular. b) ubo (hexaedro regular). D a a d D b c Área da base do cubo - = a b a d a Área total do paralelepípedo - = ab + ac + bc T Volume do paralelepípedo - V =. h b Área lateral do cubo - = 4. a l Área total do cubo - = 6. a T Diagonal do paralelepípedo - D = a + b + c Volume do cubo - V = a Diagonal de uma face do cubo - d = a Diagonal do cubo - D = a Exercícios. 01) Dado um cubo de aretas 7 cm, determine: a) a área da base do cubo; b) a área lateral do cubo; c) a área total do cubo; d) o volume do cubo; e) a diagonal de uma face do cubo; f) a diagonal do cubo. 0) Dado um paralelepípedo retorretangular, de dimensões 6 cm, 9 cm e 1 cm, determine: a) a área total do paralelepípedo; b) o volume do paralelepípedo; c) a diagonal do paralelepípedo; d) a soma das medidas de todas as arestas do paralelepípedo. Jeca

0) Dado um prisma triangular regular de aresta da base 10 cm e altura 15 cm, determine: a) a área da base do prisma; b) a área lateral do prisma; c) a área total do prisma; d) o volume do prisma. 04) Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base 4 cm e altura 7 cm, determine: a) a área da base do prisma; b) a área lateral do prisma; c) a área total do prisma; d) o volume do prisma. 05) Dado um prisma octogonal regular de aresta da base k e altura k, determine: a) a área da base do prisma; b) a área lateral do prisma; c) o volume do prisma. 06) Determine a altura de um prisma triangular regu- lar sabendo que a sua área lateral é 165 dm e a sua área total é 5( + 5 / ) dm. Jeca

Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) 07) figura abaixo representa um único sólido formado por dois cubos sobrepostos: o menor tem aresta 4 cm e o maior tem aresta 8 cm. Determine: a) o volume total do sólido; Geometria Espacial Métrica ula 0 Exercícios complementares. (Prismas) 08) O cubo abaixo tem aresta 6 cm e três furos de secção quadrada de lado cm que o atravessam totalmente. Determine o volume do sólido resultante. b) a área total do sólido; c) a distância entre os vértices e. 09) figura abaixo representa um sólido obtido de um paralelepípedo retorretangular de dimensões 9 m, 9 m e 8 m, de onde foram retirados dois outros paralelepípedos de dimensões m, m e 8 m. Determine a área total e o volume do sólido resultante. m m m 8 m 10) Uma caixa d água tem a forma de um cubo, a sua base inferior é perfeitamente horizontal e as suas arestas medem internamente 5,0 m. Estando a caixa inicialmente com água até a altura de 1 m, num determinado instante, é aberto um registro que permite uma entrada constante de 00 litros de água por minuto. Sabendo-se que 1 metro cúbico equivale a 1000 litros e que nesse período não existe saída de água, qual a altura de água na caixa seis horas após o registro ter sido aberto? a),4 m b),88 m c) 4,1 m d) 4,4 m e) 4,08 m m m m Jeca 4

11) Nas figuras abaixo, os prismas são regulares,têm aresta da base 4 cm e altura 1 cm. Determine: I) II) III) a) o nome do sólido. a) o nome do sólido. a) o nome do sólido. b) a área da base do prisma ( b). b) a área da base do prisma ( b). b) a área da base do prisma ( b). c) a área de cada face lateral ( 1F). c) a área de cada face lateral ( 1F). c) a área de cada face lateral ( 1F). d) a área lateral do prisma ( l ) d) a área lateral do prisma ( l ) d) a área lateral do prisma ( l ) e) a área total do prisma ( T). e) a área total do prisma ( T). e) a área total do prisma ( T). f) o volume do prisma (V). f) o volume do prisma (V). f) o volume do prisma (V). Jeca 5

1) Todas as arestas do sólido representado na figura abaixo medem 4 cm. s faces DE e FGHIJ são paralelas entre si e perpendiculares ao quadrado DIH da base e as arestas, ED, JI e GH são perpendiculares à face DIH. Determine a área total e o volume do sólido. F 1) Sabendo-se que o volume de um prisma hexagonal regular que tem as 18 arestas congruentes é 768 cm, determinar a altura desse prisma. G J H E I D 14) Sabendo-se que as dimensões de um paralelepí- pedo de área total 5 cm são k cm, k cm e k cm, determine o seu volume. 15) De cada canto de uma folha retangular de cartolina de 40 cm x 60 cm recorta-se um quadrado de lado 1 cm. om a área restante faz-se uma caixa sem tampa. Determine o volume dessa caixa. 16) Na figura ao lado, a área do quadrilátero DEF é 64 cm. Sendo DEFGH um cubo, determinar a área total desse cubo. H G E F 17) Uma formiga encontra-se no vértice de um cubo maciço e deseja caminhar até o vértice, diagonalmente oposto ao vértice, percorrendo o menor trajeto possível. Sabendo-se que o cubo tem aresta K, determine a distância percorrida pela formiga. D Jeca 6

18) figura abaixo representa um sólido obtido de um cubo de aresta 9 cm, onde, em cada um de seus vértices, foi retirado um cubinho de aresta cm. Determinar a área total e o volume do sólido resultante. cm 19) área total de um prisma triangular regular de aresta da base 6 cm é (180 + 18 ) cm. Determine: a) a área da base do prisma; b) a área lateral do prisma; c) a altura do prisma; d) o volume do prisma. 0) (UFV-MG) figura abaixo exibe a secção transversal de uma piscina de 0 m de comprimento por 10 m de largura, com profundidade variando uniformemente de 1 m a m. 1 m 0 m m 1) (UEL-PR) Um engenheiro deseja projetar um bloco vazado cujo orifício sirva para encaixar um pilar. O bloco, por motivos estruturais, deve ter a forma de um cubo de lado igual a 80 cm, e o orifício deve ter a forma de um prisma reto de base quadrada e altura igual a 80 cm, conforme as figuras seguintes. É exigido que o volume do bloco seja igual ao volume do orifício. 80 cm a) Determine o volume de água necessário para encher a piscina até a borda. Sugestão - alcule a área da secção transversal da piscina ilustrada pela figura. b) Qual é a distância mínima que uma pessoa de 1,70 m deve caminhar, saindo do ponto mais raso da piscina, para que fique totalmente submersa? Sugestão - Use semelhança de triângulos. loco vazado 80 cm Vista aérea É correto afirmar que o valor L do lado da base quadrada do prisma reto corresponde a a) 0 cm b) 40 cm c) 50 cm d) 60 cm e) 80 cm L L 80 cm Jeca 7

) (UFOP-MG) Na figura abaixo, temos represen- tado um cubo de volume 4 / m e um prisma cujas bases são os quadriláteros EHM e FGN. Sabendo que M e N são os pontos médios dos segmentos D e, respectivamente, determine o volume des- se prisma (em m ) G F ) Um prisma triangular regular tem altura e aresta da base que medem, respectivamente, 7P e K. om base nesses dados, responda: Qual é o volume desse prisma em função de P e de K? a) 14.K.P b) 1.K.P c) 7.P.K H E d) 14.k.P e) 8.P.K N D M 4) (UFG-GO) figura abaixo, representa um prisma reto, cuja base D é um trapézio isósceles, sendo que as suas arestas medem = 10, D = 6, D = 4 e E = 10. E H G F 5) Um prisma hexagonal regular tem altura e aresta da base que medem, respectivamente, K e 4P. om base nesses dados, responda: Qual é o volume desse prisma em função de P e de K? a) 7.P.K b) 7.P.K c) 6.P.K D d) 7.K.P e) 6.K.P O plano determinado pelos pontos, H e G secciona o prisma determinando um quadrilátero. área desse quadrilátero é: a) 8 9 b) 10 9 c) 16 9 d) 9 e) 64 9 Jeca 8

Respostas das aulas 0 e 0 Respostas da ula 0 01) V = 11 vértices 0) F = 19 faces 0) V = 8 vértices 04) F = 14 faces 05) a 06) e 07) Tetraedro regular Hexaedro regular Octaedro regular Dodecaedro regular Icosaedro regular 08) e 09) c 10) d 11) b 1) 6 faces quadrangulares 1) 1 face hexagonal 14) = 1 arestas 15) faces pentagonais e 5 faces quadrangulares Respostas da aula 0 01) a) 49 cm b) 196 cm c) 94 cm d) 4 cm e) 7 cm f) 7 cm 0) a) 468 cm b) 648 cm c) 61 = 9 cm d) 108 cm 0) a) 5 cm b) 450 cm c) 50(9 + ) cm d) 75 cm 04) a) 4 cm b) 168 cm c) 4(7 + ) cm d) 168 cm 05) a) k ( + ) b) 8k c) 4k ( + ) 06) h = 11 dm 07) a) 576 cm b) 448 cm c) 4 17 cm 08) 160 cm 09) 510 cm e 504 cm 10) b 11) I) a) prisma triangular regular b) 4 cm c) 48 cm d) 144 cm e) 8(18 + ) cm f) 48 cm II) a) prisma quadrangular regular b) 16 cm c) 48 cm d) 19 cm e) 4 cm f) 19 cm n F m V S 4 4 6 8 6 1 1 4 4 8 6 5 1 0 0 0 5 0 1 70º 160º 1440º 6480º 600º 11) III) a) prisma hexagonal regular b) 4 cm c) 48 cm d) 88 cm e) 4(1 + ) cm f) 88 cm 1) (11 + 8 ) cm 16(4 + ) cm 1) h = 8 cm 14) 84 cm 15) 691 cm 16) 84 cm 17) k 5 uc 18) 486 cm 51 cm 19) a) 9 cm b) 180 cm c) 10 cm d) 90 cm 0) a) 400 m b) 7 m 1) b ) 1 m ) c 4) c 5) b Favor comunicar eventuais erros deste trabalho através do e-mail Obrigado. Jeca 9 15

Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria Espacial Métrica ula 04 Pirâmides. I - Pirâmides. Dado um polígono plano e um ponto V, V não pertencente ao plano do polígono, denomina-se pirâmide o sólido limitado por esse polígono e todos os planos determinados pelos lados desse polígono e pelo ponto V. Denomina-se uma pirâmide em função do polígono da sua base. (Exemplo: pirâmide hexagonal regular) II - Tipos de pirâmide. h ase h Pirâmide oblíqua Pirâmide reta Pirâmide oblíqua: as suas arestas laterais não são congruentes entre si. Pirâmide reta: as suas arestas laterais são congruentes entre si. Pirâmide regular: é a pirâmide reta cuja base é um polígono regular. Pirâmide regular Fórmulas das pirâmides Área da base = depende da base b Área lateral = faces laterais Área total T = + b 1 Volume V = b. h III - Elementos da pirâmide regular. vértice da pirâmide centro da base h m m = h + a m - apótema da pirâmide. a - apótema da base. h - altura da pirâmide aresta lateral pótema da base (a): é a distância entre o centro do polígono regular da base e o ponto médio de qualquer aresta da base. (Define-se apótema apenas para polígonos regulares) a pótema da pirâmide (m): é a distância entre o vértice da pirâmide e o ponto médio de qualquer aresta da base. aresta da base ponto médio da aresta da base ltura da pirâmide (h): é a distância entre o vértice da pirâmide e o plano da base. Jeca 0

IV - Pirâmides particulares. a) Tetraedro trirretangular. b) Tetraedro regular. IO h É a pirâmide triangular regular que tem: - todas as faces formadas por triângulos equiláteros congruentes. - todas as arestas congruentes. k k uriosidade: o volume da pirâmide é 1 / do volume do prisma de mesma base e mesma altura. F F F F D D D D E E E E É fácil perceber que as pirâmides DEF e F têm o mesmo volume. Precisamos provar que as pirâmides DEF e FE também têm o mesmo volume. Seja h a distância entre o vértice F e o plano ED. Para calcularmos o volume da pirâmide DEF, podemos considerar como base o triângulo DE e como altura h. Para o volume da pirâmide FE, podemos considerar como base o triângulo E e como altura o mesmo h. Mas os triângulos DE e E têm a mesma área. Se duas pirâmides Têm mesma área da base e mesma altura, então têm o mesmo volume. s pirâmides DEF, F e FE têm o mesmo volume. Portanto cada pirâmide tem 1 / do volume do prisma, que é o volume total. Exercícios. 01) Dada uma pirâmide quadrangular regular de aresta da base 10 cm e altura 1 cm, determine: a) o apótema da base (a); b) o apótema da pirâmide (m); c) a área da base; d) a área lateral; e) a área total; f) o volume da pirâmide. Jeca 1