Divisão de fração com raiz quadrada exercicios

A raiz quadrada de um número é a operação inversa da potenciação de números com expoente igual a 2. Assim, temos que:

√9 = 3, pois 3² = 9
√36 = 6, pois 6² = 36

Da mesma forma que calculamos a raiz quadrada de um número natural positivo, podemos determinar a raiz de um número fracionário. Para isso, basta calcularmos a raiz do numerador e do denominador. Alguns resultados são obtidos com a fatoração dos números, os quais são agrupados como potência de expoente igual a 2. Observe:
144 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 81 = 3 * 3 * 3 * 3 196 = 2 * 2 * 7 * 7 400 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 * 5
36 = 2 * 2 * 3 * 3 225 = 3 * 3 * 5 * 5
64 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2
25 = 5 * 5 As fatorações auxiliam na decomposição de um número, o que facilita o cálculo da raiz quadrada na obtenção de resultados satisfatórios.

Publicado por Marcos Noé Pedro da Silva

Racionalização de denominadores é uma técnica para tornar frações com denominadores irracionais em racionais.

As frações cujo denominador é uma raiz, podem ser transformadas em uma fração com denominador que não seja uma raiz, sem alterar o seu resultado.

Utilizamos a técnica de racionalização de denominadores para facilitar o cálculo, pois trabalhar com números irracionais é um pouco complicado. Além disso, números irracionais apresentam pouca precisão no resultado.

Multiplicaremos o numerador e denominador pelo mesmo número com a finalidade de eliminar a raiz do denominador. Esse processo transformará uma fração com denominador irracional em uma fração equivalente.

Racionalizando denominadores de uma fração

Para racionalizar denominadores precisamos eliminar o denominador irracional, faremos isso conhecendo alguns métodos do mais simples para os mais complexos.

Racionalizar uma fração com raiz quadrada no denominador é o caso mais simples.

Exemplo:

Considere a seguinte fração:

Para racionalizar frações com denominadores que são raízes quadradas, devemos multiplicar toda a fração pela mesma raiz quadrada do denominador. Assim:

Nesse caso, dizemos que √2 é o fator racionalizante da fração.

Conforme a propriedade de radiciação, eliminamos a raiz quadrada multiplicando a raiz por ela mesma, pois √2 . √2 = 2.

Exemplo:

Considere a seguinte fração:

Da mesma forma, racionalizá-la é multiplicar toda a fração por √10, assim:

Bom, como você já viu, caro leitor, racionalizar frações com raiz quadrada é extremamente simples. Vamos agora ver quando a fração não possui um denominador com uma raiz quadrada.

Para as frações cujos denominadores não são raízes quadradas, isto é, quando o índice não é 2, temos que seguir a seguinte regra:

Quando multiplicarmos uma fração com denominador:

Devemos multiplicar o numerador e denominador da fração por:

pois,

Exemplo:

Considere a seguinte fração:

Onde:

Nessa passo é importante saber as propriedades de radiciação.

Quando temos uma fração um denominador com uma soma ou subtração, o fator racionalizante é o seguinte:

• √a – √b o fator racionalizante é √a + √b;
• √a + √b o fator racionalizante é √a – √b;
• √a + b o fator racionalizante é √a – b;
• √a – b o fator racionalizante é √a + b;
• a + √b o fator racionalizante é a – √b;
• a – √b o fator racionalizante é a + √b;

Ou seja, quando temos uma soma ou subtração no denominador, o fator racionalizante é o mesmo denominador com a operação inversa. Se for uma soma trocamos o sinal para a subtração e vice-versa.

Exemplo:

Considere a seguinte fração:

Racionalizar o denominador dessa fração é multiplicar o numerador e denominador por √3 – 2, assim:

Se tivermos uma fração cujo denominador é uma soma ou subtração, sendo um dos dois uma raiz cúbica, devemos multiplicar o numerador e denominador obedecendo o seguinte:

• Se for uma soma: a² – ab + b²;
• Se for uma subtração: a² + ab + b².

Exemplo:

Considere a fração a seguir:

Vamos racionalizá-la seguindo as regras acima, assim:

Veja como multiplicamos o denominador fazendo a distributiva:

Lembrando que 8 = 2³.

Lembrete:

• a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²);
• a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²).