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Um pouco de história
No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.
Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadrada
de -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 .
Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .
Ex: Ö-16 = Ö16 . Ö-1 = 4.i = 4i
Potências de i :
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2 . i = -i
i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1
i5 = i4 . i = 1.i = i
i6 = i5 . i = i . i = i2 = -1
i7 = i6 . i = -i , etc.
Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo 1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero.
Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim , podemos resumir:
i4n = ir onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4).
Exemplo: Calcule i2001
Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i2001 = i1 = i .
NÚMERO COMPLEXO
Definição: Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo:
z = a + bi , onde i = Ö-1 é a unidade imaginária . Exs: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3)
w = -3 -5i (a = -3 e b = -5)
u = 100i ( a = 0 e b = 100)
NOTAS: a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z .
b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária.
c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3i .
d)se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real . Ex: z = 5 = 5 + 0i .
e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja,
o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos.
f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a,b) .
Exercícios Resolvidos:
1) Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro.
Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter
m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.
2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 .
Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável
(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada). Substituindo na expressão dada, vem:
(1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64.
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a -64.
3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)200 .
Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável
(1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada). Substituindo na expressão dada, vem:
z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100.
Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero.
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Dado um número complexo z = a + bi , chama-se conjugado de z e representa-se por
z = a + bi ®
Ex: z = 3 + 5i ;
Obs : Sabemos que os números complexos podem também ser representados na forma de pares ordenados . Assim é que z = a + bi = (a,b).
Portanto , por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas , pode-se representar graficamente qualquer número complexo z num sistema de coordenadas cartesianas , bastando marcar a parte real a no eixo horizontal e a parte imaginária b no eixo vertical . Neste caso , o eixo horizontal é chamado eixo real e o eixo vertical é chamado eixo imaginário. O plano cartesiano, neste caso , denomina-se plano de Argand-Gauss.
O ponto que representa o número complexo z , denomina-se afixo de z.
DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA BINÔMIA
Regra : Para dividir um número complexo z por outro w ¹ 0 , basta multiplicar numerador e denominador pelo complexo conjugado do denominador .
Ex:
Agora que você estudou a teoria, tente resolver os seguintes exercícios:
1 - Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180
2 - Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 ,
calcule Im(z).w + Im(w).z .
3 - UCMG - O número complexo 2z, tal que 5z +
4 - UCSal - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser:
5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é:
6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é:
7) Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0. Resp: 3
Clique aqui para ver a solução.
8) Calcule [(1+i)80 + (1+i)82] : i96.240
Resp: 1+2i
9) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi , sabendo-se que z+w é um número real e z.w .é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 - 2a.
Resp: 50
10) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x10 + a = 0 , então calcule o valor de a.
Resp: 32i
11) Determine o número complexo z tal que iz + 2 .
12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i , é: a)-3i b)1-i c) 5/2 + (5/2)i d) 5/2 - (3/2)i
e) ½ - (3/2)i
13 -UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se: a) -1+2i b) 1+2i c) 1 - 2i d) 3 - 4i
e) 3 + 4i
14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente: a) 1 e 10 b) 5 e 10 c) 7 e 9 d) 5 e 9
e) 0 e -9
15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) Ö 13
b) Ö 7 c) 13 d) 7
e) 5
16 - FESP/UPE - Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a: a) 16 b) 161 c) 32 d) 32i
e) 32+16i
17 - UCSal - Sabendo que (1+i)22 = 2i, então o valor da expressão
y = (1+i)48 - (1+i)49 é:
a) 1 + i b) -1 + i
c) 224 . i
d) 248 . i
e) -224 . i
GABARITO:
1) -3 - i 2) -3 + 18i 3) 4 + 3i 4) 3/2 5) -2 + 18i 6) i 7) 3 8) 1 + 2i 9) 50 10) 32i
11) -1 - i
12) B 13) D 14) A 15) A 16) A17) E
- Denunciar
57 PV 2 D -0 7- M A 74 Matemática 7 Complexos, Polinômios e Equações Algébricas Capítulo 1 01. Dados z1 = 1 + i; z2 = 2 – i e z3 = 2i, então: a) z1 + z2 = z3 b) 2z1 – z2 = z3 c) z1 · z2 = z3 d) z1 · z2 · z3 = –2 + 6i e) z1 · z3 = z2 02. Resolva em as equações: a) x2 – 2x + 5 = 0 b) a4 – 81 = 0 03. Sabendo que z = 8 + 3i e w = 3 – 5i, julgue os itens a seguir: a) z + w = 11 – 2i c) z · w = 41 – 12i b) 2 (z – w) = 7 + 3i d) z + w = 2i 04. Determine o valor de m, m ∈ , para que o número z = (m – i) (3 + 2i) seja real. 05. O valor de a que torna o produto (3 + 2ai) (2 – i) um número imaginário puro é: a) – 3 d) 0 b) – 2 e) 1 c) – 1 06. Vunesp Se z = (2 + i) · (1 + i) · i, então z, o conjugado de z, será dado por: a) – 3 – i d) – 3 + i b) 1 – 3i e) 3 + i c) 3 – i 07. UFU-MG Sejam os números complexos z1 = 2x – 3i e z2 = 2 + yi, em que x e y são números reais. Se z1 = z2, então o produto x · y é: a) 6 d) – 3 b) 4 e) – 6 c) 3 08. UFRGS-RS O número z = (m – 3) + (m2 – 9) i será um número real não-nulo para: a) m = – 3 d) m = 3 b) m < – 3 ou m > 3 e) m > 0 c) – 3 < m < 3 09. UEL-PR Seja o número complexo z = x + yi, no qual x, y ∈ . Se z · (1 – i) = (1 + i)2, então: a) x = y b) x – y = 2 c) x · y = 1 d) x + y = 0 e) y = 2x 10. Unirio-RJ O número complexo z = a + bi, , com a e b intei- ros, é tal que (a, b) pertence à reta x – 2y + 1 = 0. Dado que z · z = 2, determine z. 11. UFSC Determine o valor de x para que o produto (12 – 2i) [18 + (x – 2)i] seja um número real. 12. UFSM-RS Se (1 + ai) (b – i) = 5 + 5i, como a e b ∈ , então a e b são raízes da equação: a) x2 – x – 6 = 0 b) x2 – 5x – 6 = 0 c) x2 + x – 6 = 0 d) x2 + 5x + 6 = 0 e) x2 – 5x + 6 = 0 13. UECE Se z = x + yi é um número complexo, em que x e y são números reais, define-se o conjugado de z como sendo o número z = x – yi. Considerando os números z1 = 2 + 3i, z2 = 5 + 7i e z3 = 3 – 5i, o resultado de z1 · z2 + z2 · z3 – z1 · z3 é: a) 20 + 66i b) 10 – 66i c) 20 – 55i d) 10 + 55i 14. UFSCar-SP Sejam x, y ∈ e z = x + yi um número complexo. a) Calcule o produto (x + yi) · (1 + i). b) Determine x e y, para que se tenha (x + yi) · (1 + i) = 2. 15. UFRJ A soma de um número complexo z com seu conjugado é igual a 3 vezes a parte imaginária de z, e o produto de z pelo seu conjugado vale 52. Determine z, sabendo que sua parte real é positiva. 58 16. Vunesp Considere os números complexos z1 = (2 + i) e z2 = (x + 2i), em que i é a unidade imaginária e x é um número real. Determine: a) o número complexo z1 · z2 em função de x; b) os valores de x tais que Re (z1 · z2) ≤ Im (z1 · z2), em que Re denota a parte real e Im denota a parte imaginária do número complexo. 17. ITA-SP Se z1 e z2 são números complexos nos quais z1 + z2 e z1 · z2 são números reais, o que se pode concluir sobre z1 e z2? 18. Mackenzie-SP Sendo i2 = – 1, o módulo do número complexo z, a solução da equação 2z + iz = 6 + 9i, é: a b c d e ) ) ) ) ) 17 13 15 11 19 19. UFR-RJ Encontre o conjunto solução da equação (1 + i)x + (1 – i) = 0 em que i é a unidade imaginária. 20. Unimontes-MG Considere x, y ∈ C satisfazendo, simultaneamente, as equações Determine o conjunto-solução do sistema. 21. UFMS Considere as seguintes informações sobre números complexos: • Um número complexo z pode ser escrito sob a forma: z = x + y i, em que x ∈ é a parte real, y ∈ é a parte imaginária e . • O conjugado de um número complexo z = x + yi é indicado e definido por z = x – yi. Sejam z1 e z2 números complexos tais que e z1 + z2 = 5 + 1. Calcule a soma da parte real com a parte imaginária do número complexo 26(z1 – z2). 22. Fuvest-SP Sendo i a unidade imaginária (i2 = – 1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)4 é um número real? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Infinitos 23. Vunesp Seja z = x + yi um número complexo, com x e y números reais e i a unidade imaginária. a) Determine, em função de x e y, a parte real e a parte imaginária de 2z – i + z, com z indicando o conjugado de z. b) Determine z que seja solução da equação 2z – i + z = 0 24. UEL-PR A forma algébrica do número complexo z i i = + − 1 3 2 é: a c d i e ) ) ) ) 3i b) 5 3 7i 3 7i 5 4i 5 1 2 1 5 1 5 7 3 5 − + − + − + + 25. Ulbra-RS O valor da divisão é: a) – 2 + 4i d) b) – 2 – 4i e) c) 26. UFRR Considere . O valor de A3 é: a) i d) 8 (1 – i) b) – i e) c) 27. UFMA Encontre o valor de b, de modo que o quociente seja um número real. 28. Unicentro-PR Qual é o valor de a, real, para que seja um imaginário puro? a) – 2 d) 1 b) – 1 e) 2 c) 0 29. UEMS Os valores reais de x que tornam a parte real do nú- mero complexo negativa são: a) – 1 < x < 1 d) – 2 < x < – 1 b) 1 < x < – 1 e) – 1 < x < 2 c) 2 < x < 1 59 PV 2 D -0 7- M A 74 30. Calcule: i26 – 2i21 + 3i35. 31. PUC-RS Se n é um número natural par e , então i6n vale: a) i d) 1 b) – 1 e) 0 c) – i 32. Fatec-SP Se i é a unidade imaginária, a soma 2 + 4 · i2 + 6 · i4 + ... + 100 · i98 é um número: a) primo. b) divisível por 4. c) múltiplo de 6. d) negativo. e) quadrado perfeito. 33. Fatec-SP O conjugado do número complexo z = (1 – i – 1) – 1 é igual a: a) 1 + i b) 1 – i c) (1/2) (1 – i) d) (1/2) (1 + i) e) i 34. UPF-RS O valor da potência ( )2 2 6− i é: a) um número real positivo. b) um número real negativo. c) um número complexo da forma z = a + bi, com a e b ≠ 0. d) um número imaginário puro. e) um número complexo da forma z = a + bi, com a > 0 e b < 0. 35. UPF-RS A expressão corresponde a: a) 2 – i d) 3 + i b) i e) 2 + i c) – i 36. Calcule: 37. FEI-SP Se a = 1 + 2i, b = 2 – i e (a/b) + (b/c) = 0 então o número complexo c é: a) 2i b) 1 – 2i c) 2 – i d) 1 + 2i e) 3i 38. Mackenzie-SP Se i2 = – 1, então (1 + i) · (1 + i)2 · (1 + i)3 · (1 + i)4 é igual a: a) 2i b) 4i c) 8i d) 16i e) 32i 39. UFV-MG Seja i a unidade imaginária i = −( )1 . O valor da ex- pressão [(1 + i)5] / [(1 – i)3] é: a) 1 b) – 2 c) 2 d) – 2i e) 2i 40. Fuvest-SP Sabendo que α é um número real e que a parte ima- ginária do número complexo (2 + i) / (α + 2i) é zero, então α é: a) – 4 d) 2 b) – 2 e) 4 c) 1 41. UFPR O valor de a que torna real o quociente 3 2 4 3 − − ai i é: a) − 3 2 d) 2 3 b) − 9 8 e) 9 8 c) zero 42. F. M. Santos-SP Seja a um número real tal que o número complexo 2 1 2 − + ai ai é imaginário puro. Portanto: a) a = 1 ou a = – 1 b) a = 2 ou a = – 2 c) a = 0 d) a = e) a = 43. Fuvest-SP Ache os valores reais de x de modo que a parte real do número complexo seja negativa (i é a unidade imaginária). 44. Unitau-SP A expressão i13 + i15 é igual a: a) 0 d) – 2i b) i e) 3i c) – i 60 45. Vunesp Considere o número complexo z = i, onde i é a unidade imaginária. O valor de z4 + z3 + z2 + z + (1/z) é: a) – 1 b) 0 c) 1 d) i e) – i 46. Mackenzie-SP ( ) ( ) 1 1 102 + − i i , i = − 1 , é igual a: a) i b) – i c) 1 d) 1 + i e) – 1 47. Vunesp Para o complexo i, a soma i + i2 + .....+ in, n natural, n > 1, é zero, se e somente se: a) n = 4 b) n é múltiplo de 4. c) n > 4 d) n = 4k, k = 1, 2, ... e) n é par. 48. Vunesp Considere os números complexos w = 4 + 2i e z = 3a + 4ai, onde a é um número real positivo e i indica a unidade imaginária. Se, em centímetros, a altura de um triângulo é |z| e a base é a parte real de z.w, determine a de modo que a área do