Se um carro trafega com velocidade constante de 70 km/h por uma estrada retilínea, depois de duas horas ele terá percorrido uma trajetória de 140 km. Entretanto, se a velocidade do veículo for variável ao longo do tempo, os cálculos se tornam mais complexos e seguem a função horária da posição.
As equações horárias do movimento uniformemente variado (MUV) são necessárias para encontrar a aceleração, velocidade e posição dos corpos. Além disso, são importantes para entender a importância dos freios e dos aceleradores nos automóveis.
Compreenda esse assunto com os exemplos abaixo e veja como as fórmulas podem ser aplicadas em situações cotidianas ou em provas de vestibulares. Vamos lá?
Função horária da posição no MUV
Para entender a função horária da posição no MUV, em primeira instância, é necessário notar que o movimento uniformemente variado é aquele em que os corpos alteram sua velocidade por meio de uma aceleração constante. Entenda melhor nos tópicos a seguir.
Aceleração
Simbolizada com “a”, a aceleração diz respeito à quantidade de velocidade adicionada ao movimento em um determinado intervalo de tempo, conforme a fórmula a = ΔV/Δt. No sistema internacional de unidades (SI), sua unidade padrão é m/s2.
Por ser uma grandeza vetorial, a direção e o sentido devem ser considerados:
- quando o vetor aceleração está no mesmo sentido que o vetor velocidade, a tendência é que a velocidade aumente — isso é o que chamamos de movimento acelerado; e
- se o sentido da aceleração for contrário ao sentido da velocidade, o corpo têm sua velocidade diminuída e tende a parar seu deslocamento — contexto denominado de movimento retardado.
Posição no espaço
Essa grandeza é medida conforme a trajetória definida— a distância do marco 0 é o referencial adotado. Ela é representada pela letra S0 (posição inicial) ou S’ (posição final).
Além do mais, por meio de fórmulas é possível encontrar o valor S(t) que indica a posição do objeto no tempo t do deslocamento.
Tempo
Como prenuncia o nome, diz respeito ao tempo de deslocamento do corpo. O tempo inicial do movimento é marcado por “t0”, e o tempo final é simbolizado por “t’”.
Além disso, pode-se referir a um instante qualquer da trajetória com a letra t.
Velocidade
É a distância percorrida pelo corpo em uma unidade de tempo. No movimento uniformemente variado, ela ao longo da trajetória. Por isso, existe uma velocidade inicial (V0) e uma velocidade final (V’).
+ Veja também: Velocidade Relativa — conceitos e fórmulas
Fórmula da função horária da posição
A função horária da posição relaciona a posição do corpo no espaço com o tempo de deslocamento. Com isso, permitem encontrar diversas informações sobre a trajetória do corpo. Veja a fórmula.
S = S0 + V0.t + a.t2/2
Perceba que a equação fornecida anteriormente possui uma grandeza elevada à segunda potência, o que caracteriza uma função do segundo grau. Por isso, o gráfico que a representa é uma parábola.
Conforme os princípios matemáticos, quando o valor de a é positivo, a concavidade da parábola é para cima. Quando esse valor é negativo, o gráfico é côncavo para baixo.
Com essa equação, é possível prever:
- a posição do móvel em um determinado instante da trajetória,
- a velocidade do corpo no início do movimento,
- o tempo de deslocamento até uma posição determinada,
- a aceleração do objeto.
Veja um exemplo com essa questão sobre função horária da posição que apareceu no vestibular da Universidade do Estado do Rio Grande do Norte (UERN), em 2013:
Seja o gráfico da velocidade em função do tempo de um corpo em movimento retilíneo uniformemente variado representado abaixo.
Considerando a posição inicial desse movimento igual a 46 m, então a posição do corpo no instante t = 8 s é
a) 54 mb) 62 mc) 66 m
d) 74 m
Considera-se que a fórmula da aceleração é a = ΔV/Δt. Conforme o gráfico, em um intervalo de 5s, a velocidade decaiu de 10m/s para 0 m/s, então;
a = ΔV/Δt
a = V – V0 / t – t0a = 0 – 10 / 5 – 0a = – 10 /5
a = -2 m/s2
Agora, nota-se que o S0 = 46 m e t=8s, como pede o enunciado. Com essa informação em mãos, pode-se aplicar a fórmula da função horária da posição para o MRU:
S = S0 + V0.t + a.t2/2
S = 46 + 10.8 + (-2).82/2
S = 46 + 80 – 82S = 126 – 64
S = 62 m, como diz a alternativa B.
Função horária da posição no movimento uniforme
Quando um corpo admite uma velocidade constante na trajetória, admite-se que ele é um movimento retilíneo uniforme MRU. Para calcular a função horária da posição nesse caso, basta admitir bons referenciais e aplicar as fórmulas do MRU.
Se Vm = ΔS/Δt, em que ΔS = S – S0 e Δs = t -t0, então:
Vm = (S – S0) / (t -t0)
Vm. (t -t0) = (S – S0)
Como, em geral t0 = 0 e a velocidade média Vm do movimento uniforme é igual a toda a velocidade V da trajetória admite-se que:
V.t – 0 = S – S0
V.t + S0 = S
S = S0 + V.t é a função horária da posição no movimento retilíneo uniforme.
Por exemplo, um automóvel parte de Ribeirão Preto no quilômetro 150 km da estrada A, com velocidade de 80 km/h, no sentido em que a quilometragem cresce na trajetória. Em qual quilômetro da estrada A ele se encontrará daqui 2 horas e meia?
Nota-se que:
S0 = 150 kmS = ?V = 80 km/h
t = 2,5 h
Assim:
S = S0 + V.tS = 150 + 80.2,5S = 150 + 200
S = 350 km o automóvel se encontra no quilômetro 350 km da estrada A.
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Física Frente II CAPÍTULO 1 MOVIMENTO UNIFORME Cinemática Movimento Uniforme Fique bem atento neste capítulo aos aspectos iniciais da Cinemática, que são fundamentais para a correta compreensão de toda a matéria. Pode parecer estranho, mas apenas com a fórmula podem ser propostos os mais difíceis exercícios da Cinemática! MRU 1. Introdução Neste módulo nos dedicaremos ao estudo dos movimentos dos corpos na natureza. Na realidade, cinemática é a ciência que estuda o movimento dos corpos sem relacioná-los com suas causas. Assim, estaremos lidando basicamente com conceitos matemáticos associados a algumas definições básicas. Definições Seja um automóvel em movimento, com velocidade constante, percorrendo a estrada entre Rio de Janeiro e São Paulo. Supondo que ele saiu de São Paulo e em uma hora se encontra passando por São José dos Campos. Para representar tal situação, desenhemos a figura abaixo: São Paulo (S = km) Figura 1 Trajetória do carro. SJ Campos (S = 1 km) Rio de Janeiro (S = 4 km) Note que, na figura, o carro (e suas dimensões) não foi representado e foi simplesmente substituído por um ponto. Isto ocorreu por que as dimensões do carro (alguns metros) não irrelevantes quando comparadas com a dimensão da estrada. Desta forma, definimos o carro como sendo um ponto material. O conceito de ponto material facilita o estudo do movimento dos corpos já que não precisamos nos preocupar se é estamos estudando o movimento de uma bicicleta ou de uma carreta. Em ambos os casos o chamaremos de móvel. A trajetória é o conjunto de pontos pelos quais o corpo passou enquanto realizava o movimento. Neste caso, a trajetória do móvel, ao chegar ao Rio de Janeiro, será a linha desenhada na figura. Quando um carro anda sobre areia macia, deixa marcas de suas rodas, desenhado sua trajetória. A posição um móvel na sua trajetória é indicada pela letra S e é sempre tomada em relação a algum referencial (no qual S = ). Neste caso a referência foi onde o móvel iniciou seu movimento (S ). Quando estava em São José dos Campos, sua posição era S = 1 km pois estava a 1 km de distância do ponto de referência (S, ou seja, São Paulo). Este ponto de referência pode ser chamado de marco zero. Velocidade Escalar Média A velocidade escalar média desenvolvida por um automóvel percorrendo uma trajetória por um determinado intervalo de tempo t é definida como sendo a razão entre a variação da posição durante este intervalo de tempo pelo próprio intervalo de tempo. Ou seja, (eq. 1) em que, S S é a variação da posição; t S t t é a variação do tempo. Note que durante este intervalo de tempo, a velocidade mostrada pelo velocímetro do automóvel (velocidade instantânea) não precisa ser constante e igual ao resultado da conta acima. Relembremos que velocidade é uma grandeza vetorial, porém neste capítulo estaremos considerando velocidade como sendo o módulo do vetor velocidade. A unidade da velocidade no Sistema Internacional (S.I.) é m/s. Outra unidade muito utilizada na prática é km/h. Veja que: 1km/h = 1m/36s = 1/3,6 m/s Logo, temos que: 1 m/s = 3,6 km/h Movimento Uniforme (MU) Um móvel descreve movimento uniforme quando sua velocidade não varia durante o movimento. Seja um homem caminhado por uma calçada por uma trajetória representada na figura a seguir: 344 Química CASD Vestibulares
velocidade instantânea e não da velocidade escalar média. 4 m 6 m 8 m 1 m Figura 2 Homem caminhando com velocidade uniforme. Se a cada segundo sua posição aumenta 2 m significa que sua velocidade é constante e vale 2 m/s. No mesmo exemplo o movimento do homem pode ser classificado como progressivo pois a sua posição aumenta a medida que o tempo passa (V > ). Caso contrário (isto é, V < ) o movimento seria classificado como retrógrado. 2) A distância entre Brasília e Uberlândia é de 4 km, e entre Uberlândia e São José dos Campos é de 7 km. Certa vez, Tardelli estava viajando entre Brasília e São José dos Campos. Sabendo que Tardelli percorreu o trecho Brasília Uberlândia com uma velocidade média de 8 km/h, ficou parado em Uberlândia durante 2 horas para visitar uns amigos e depois percorreu o trecho Uberlândia - São José dos Campos em 8 horas. Qual a velocidade média desenvolvida por Tardelli durante todo o percurso? Função Horária do M.U. Definimos função horária como sendo a função que nos dá a posição de um corpo para cada instante de tempo. Isto é, dado t ela nos informa S. No caso do movimento uniforme temos: S S t t V logo, sendo t quando S = S, S S Vt S S ou seja, (eq. 2) A equação 2 representa a função horária do Movimento Uniforme (MU). EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Considere o exemplo da figura 1. Se, para percorrer o trecho entre São Paulo e S.J.Campos o carro levou 1 hora (em todas as situações), responda: a) Qual a sua velocidade média durante o percurso, sendo que o automóvel manteve velocidade constante? b) Qual a sua velocidade média sendo que durante o percurso o automóvel esteve parado por 1 minutos em um posto de abastecimento? c) Qual sua velocidade média se o motorista reduzir drasticamente a velocidade nas curvas? a) Para o cálculo de a velocidade escalar média, temos: b) =1km/h =1km/h c) =1km/h Obs.: No cálculo da velocidade escalar média só precisamos conhecer o espaço percorrido (que não é necessariamente o deslocado) e o tempo gasto. Casualidades como vimos neste exemplo consistem em variações da Para o espaço percorrido, temos: Δs = 4 + 7 Δs = 11km Para o intervalo de tempo: - No trecho Brasília-Uberaba: CASD Vestibulares Cinemática 345 8 = 4/Δt Δt = 5h Logo o tempo total gasto é:δt=5 + 2 +8 =15h Então: =11/15Km/h =73,33 Km/h 3) Um caminhão de frete saiu da esplendorosa cidade mineira de Juiz de Fora e deverá entregar sua carga em Belo Horizonte num intervalo de tempo máximo de 4 horas. Se a distância entre as duas cidades é de 3 km e o caminhão já percorreu a primeira metade do caminho com a velocidade média de 5 km/h, qual deverá ser a velocidade média da segunda metade do caminho para que o caminhão consiga entregar a carga sem atraso? Você acha que o motorista conseguirá cumprir o prazo de entrega? Sabemos que = Δs/Δt, então: 5 = 15/Δt Δt = 3h Daí, sabemos que o caminhão precisa percorrer a outra metade do caminho (15Km) em no máximo 1h.Ou seja, sua velocidade escalar média mínima é de 15Km/h (o que é improvável de se conseguir na prática). 4) Sejam as seguintes funções horárias dos móveis A e B, no SI: S A = 1 5t S B = -4 + 7t Responda: a) Qual a velocidade e posição inicial do móvel A?
b) Qual a velocidade e posição inicial do móvel B? c) Classifique os movimentos de cada móvel. Solução Comparando as funções dadas com S S, temos: a) V A = -5m/s S A = 1m Vermelho 2 1 4 Então: b) V B = 7m/s S B = -4m c) Móvel A: Movimento uniforme retrógrado (pois v<). Móvel B: Movimento uniforme progressivo (pois v>). Obs.: Não se assuste com os sinais negativos da posição e da velocidade. O sinal da velocidade indica em que sentido está o movimento (para cima ou para baixo, da esquerda pra direita ou da direita para a esquerda etc). O sinal da posição indica se o móvel está antes ou depois do marco zero (tido como referência). 5) Um caminhão azul e um vermelho estão na mesma estrada. O azul parte da posição S A = 5 km com velocidade V A = - 3 km/h e o vermelho parte de S V = 2 km com V v = 2 km/h. a) Escreva as funções horárias dos móveis. b) Quando os caminhões irão se encontrar? c) Em qual posição ocorre o encontro? d) Desenhe os gráficos dos movimentos(sx t) e (V x t). a) Dos valores dados, temos: S S S A = 5 3t S S S v = 2 + 2t b) e c) No instante da colisão os móveis (considerados corpos pontuais) estarão numa mesma posição, ou seja: S A = S v Então, substituindo as expressões encontradas no item a, temos: 5 3t = 2 + 2t t = -,3s O sinal negativo nos indica que o encontro deve ter ocorrido antes do instante inicial, mantidas as condições de movimento dos corpos, o que não se pode garantir. Só se consideram os eventos com t> t. Os móveis não vão se encontrar. d) As funções encontradas no item a) são representadas graficamente por retas, uma vez que são funções do primeiro grau. Para a desenhar o gráfico das retas bastam dois pontos quaisquer. Tempo (h) Posição(Km) Azul 5 1-25 Tempo (h) Posição(Km) 6) Um trem de 2m de comprimento entra em um túnel de 1 km de extensão. Sendo que o trem está a uma velocidade de 12m/s, quanto tempo o trem levará para que o trem atravesse completamente o túnel? Observa-se na ilustração que Δs=12m Então: = Δs/Δt 12=12/ Δt Ou seja: Δt = 1s 7) Um atirador dispara contra um alvo. Após 3,2 s ele ouve o barulho do projétil se chocando contra o alvo. Sabendo que o projétil sai com velocidade de 3m/s e que a velocidade do som no ar é de 34m/s, qual a distância entre o alvo e o atirador? Deve-se ter em mente que 3,2s compreende o tempo em que o projétil gasta até o alvo (t p ), e o tempo que o som gasta do alvo até o atirador (t s ).Ou seja: Para o projétil: =Δs/Δt Ou seja: t p =x/3 Para o som: =Δs/Δt 3=x/t p 34=x/t s 346 Cinemática CASD Vestibulares
Ou seja: t s =x/34 Mas t total = t p + t s = 3,2s, daí: x/3 + x/34 = 3,2 forma S Então escrevendo as funções horárias na S : S A = 3 + 15t e S B =2t Impondo:S A = S B Logo: x=51m Então:3 + 15t =2t t=6s 8) Duas localidades A e B estão separadas pela distância d. Simultaneamente passam por essas localidades os móveis P e Q, com velocidades V p e V Q, respectivamente. P passa por A e se dirige a B e Q passa por B e se dirige a A. Determine o instante de encontro dos móveis. Podemos resolver este problema facilmente, orientado a trajetória, montando as funções horárias da posição (na forma S S ) e impondo: S P = S Q Entretanto, facilita a resolução de alguns problemas (inclusive este) se pensarmos em termos de movimento relativo, ou seja, como um corpo se move em relação ao outro. Móveis com velocidades de sentido contrário (vel. relativa de aproximação ou afastamento): V Rab = V a + V b. Móveis com velocidades de mesmo sentido (vel. Relativa de aproximação ou afastamento): V Rab = V a - V b. Supondo V a > V b. Pensando assim e sabendo que os móveis estão em sentidos contrários, temos: V rel = V Q + V P E como: V= Δs/Δt V rel = d/δt assim: V Q + V P = d/δt Δt= d/(v Q + V P ) Sendo V Q e V P valores em módulo. Para determinarmos a posição do encontro, basta montar a função horária da posição de um dos móveis e fazer t= d/(v Q + V P ) 9) Dois automóveis A e B passam por um ponto P da estrada.suas velocidades escalares são constantes e valem 15m/s e 2m/s respectivamente.o automóvel B passa por P 2s depois da passagem de A. Determine a posição e o instante que B encontra A. Pelo fato de os móveis não partirem simultaneamente, não é aconselhável usarmos o conceito de movimento relativo. Vamos definir, então t=, o instante em que B passa pelo ponto P. Mas nesse instante, A já tem 2s de movimento, ou seja, já percorreu: V= Δs/Δt 15= Δs/2 Δs=3m Escolhendo uma das funções horárias encontradas, temos: S A =S B =12m EXERCÍCIO DESAFIO Dois trens P e Q percorrem trajetórias retilíneas e paralelas.o trem P possui 3m de comprimento e 3 Km/h de velocidade e o trem Q, 5m e 1 Km/h (movimentos uniformes).determine: a) O intervalo de tempo da ultrapassagem; b) A distância percorrida por P durante a ultrapassagem. Considere as 2 possibilidades:os trens se movendo no mesmo sentido e em sentidos contrários. TAREFA MÍNIMA A Tarefa Mínima para esta lição é: Estudar os Exercícios resolvidos Resolver os seguintes Exercícios de Fixação: P.2; P.6; P.1; P.11; P.24; P.25; T.15; T.2; T.24. RESUMO Velocidade escalar média: É a razão do espaço percorrido pelo intervalo de tempo gasto: Daí, tem-se: S S t t S S V Nela não é importante a forma da trajetória. Velocidade escalar instantânea: É a velocidade momentânea do móvel (pense naquela que é mostrada no velocímetro) IMPORTANTE: Se, e somente se, uniforme, então: V inst = =Δs/Δt Classificação do movimento: V> movimento progressivo V< movimento retrógrado SERIE DE EXERCÍCIOS o movimento é P.1 Um móvel percorre uma distância de 12 m em 4 min. Qual sua velocidade escalar média? CASD Vestibulares Cinemática 347
P.2 Uma partícula percorre 3 m com velocidade escalar média de 36 km/h. Em quanto tempo faz este percurso? P.3 Um carro viaja de São Paulo a Campinas, distantes de 9 km, parando durante 3 min num posto à beira da estrada, para refeição e abastecimento. De São Paulo até o posto gasta 1 h 3 min, fazendo o percurso do posto a Campinas em mais 3 min. Calcule a velocidade escalar média do carro na viagem em questão. P.4 (Fuvest-SP) Um ônibus sai de São Paulo às 8 h e chega a Jaboticabal, que dista 35 km da capital, às 11 h 3 min. No trecho de Jundiaí a Campinas, de aproximadamente 45 km, a sua velocidade foi constante e igual a 9 km/h. A) Qual a velocidade média, em km/h no trajeto São Paulo-Jaboticabal? B) Em quanto tempo o ônibus cumpre o trecho Jundiaí- Campinas? P.5 (UFAC) Um carro com uma velocidade de 8 km/h passa pelo km 24 de uma rodovia às 7 h 3 min. A que horas este carro chegará à próxima cidade, sabendo-se que a mesma está situada no km 3 dessa rodovia? P.6 (PUC Campinas) Numa corrida de carros, suponha que o vencedor gastou 1h 3 min para completar o circuito, desenvolvendo uma velocidade média de 24 km/h, enquanto que um outro carro, o segundo colocado, desenvolveu a velocidade média de 236 km/h. Se a pista tem 3 km, quantas voltas o carro vencedor chegou à frente do segundo colocado? P.7 (F.E.Santos-SP) Você num automóvel faz um determinado percurso em 2 h, desenvolvendo uma velocidade escalar média de 75 km/h. Se fizesse o mesmo percurso a uma velocidade escalar média de 1 km/h, quanto tempo ganharia? P.8 (UFPE) Quatro cidades A, B, C e D estão dispostas tal que as distâncias rodoviárias entre A e B, B e C, e C e D são, respectivamente, AB = 6 km, BC = 1 km e CD = 9 km. Se um automóvel vai de A até B a uma velocidade de 6 km/h, da cidade B até a C a uma velocidade média de 5 km/h e de C até D a uma velocidade média de 45 km/h, determine a velocidade média deste automóvel em km/h, para o percurso de A até D. P.9 Um percurso de 31 km deve ser feito por um ônibus em 5 h. O primeiro trecho de 1 km é percorrido com velocidade média de 5 km/h e o segundo trecho de 9 km com velocidade média de 6 km/h. Que velocidade média deve ter o ônibus no trecho restante, para que a viagem se efetue no tempo previsto? P.1 A velocidade escalar média de um móvel até a metade de seu percurso é 9 km/h e na outra metade restante é 6 km/h. Determine a velocidade escalar média no percurso total. P.11 Um trem de comprimento 2 m gasta 2 s para atravessar um túnel de comprimento 4 m. Determine a velocidade escalar média do trem. P.12 (Fuvest-SP) Uma composição ferroviária (19 vagões e uma locomotiva) desloca-se a 2 m/s. Sendo o comprimento de cada elemento da composição 1 m, qual é o tempo que o trem gasta para ultrapassar: A) um sinaleiro? B) Uma ponte de 1 m de comprimento? P.13 (UFRJ) Durante uma viagem entre duas cidades, um passageiro decide calcular a velocidade escalar média do ônibus. Primeiramente, verifica que os marcos indicativos de quilometragem na estrada estão dispostos de 2, em 2, km. O ônibus passa por três marcos consecutivos e o passageiro observa que o tempo gasto pelo ônibus entre o primeiro marco e o terceiro é de 3 min. Calcule a velocidade escalar média do ônibus neste trecho da viagem, km/h. P.14 (Fuvest-SP) Um avião vai de São Paulo a Recife em 1 h 4 min. A distância entre essas cidades é aproximadamente 3 km. (Dado: velocidade do som no ar: 34 m/s) A) Qual a velocidade média do avião? B) O avião é supersônico? P.15 (Cesgranrio) Uma patrulha rodoviária mede o tempo que cada veículo leva para percorrer um trecho de 4 m da estrada. Um automóvel percorre a primeira metade do trecho com velocidade de 14 km/h. Sendo de 8 km/h a velocidade limite permitida, qual deve ser a maior velocidade média do carro na segunda metade do trecho para evitar ser multado? P.16 (Fuvest-SP) Diante de uma agência do INPS há uma fila de aproximadamente 1 m de comprimento, ao longo do qual se distribuem de maneira uniforme 2 pessoas. Aberta a porta, as pessoas entram, durante 3 s, com uma velocidade média de 1 m/s. Avalie: A) o número de pessoas que entram na agência; B) o comprimento da fila que restou do lado de fora. P.17 (Unicamp-SP) Brasileiro sofre! Numa tarde de sexta-feira, a fila única de clientes de um banco tem comprimento médio de 5 m. Em média, a distância entre as pessoas na fila é de 1, m. Os clientes são atendidos por três caixas. Cada caixa leva cerca de 3, min para atender um cliente. pergunta-se: A) Qual a velocidade (média) dos clientes ao longo da fila? B) Quanto tempo um cliente gasta na fila? C) Se um dos caixas se retirar por 3 min, de quantos metros a fila aumenta? P.18 Um móvel realiza um movimento uniforme num determinado referencial. Seus espaços variam com o tempo segundo os dados da tabela: t (s) 1 2 3 4 5 s m) 16 12 8 4-4 A) Determine o espaço inicial s e a velocidade escalar v do movimento. B) O movimento é progressivo ou retrógrado? C) Qual a função horária do movimento? P.19 Um móvel descreve um movimento em sentido constante num determinado referencial, percorrendo distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. Seus espaços variam com o tempo segundo os dados da tabela: 348 Cinemática CASD Vestibulares
t (s) 1 3 5 7 9 11 13 s (m) 15 25 35 45 55 65 75 A) Qual a velocidade escalar média no intervalo de tempo entre 1 e 3 s? B) Qual a velocidade escalar média no intervalo de tempo entre 5 e 13 s? C) O movimento em questão é uniforme? Por quê? D) O movimento é progressivo ou retrógrado no intervalo de tempo observado? Por quê? P.2 É dado o movimento s = 1 + 8t, onde s é medido em metros e t em segundos. Determine: A) o espaço inicial e a velocidade escalar; B) o espaço quando t = 2 s; C) o instante em que o móvel se encontra a 5 m da origem dos espaços; D) se o movimento é progressivo ou retrógrado. P.21 É dado movimento s = 6 12t, onde s é medido em quilômetros e t em horas. Determine: A) o espaço inicial e a velocidade escalar; B) o espaço quando t = 3 h C) o instante em que o móvel passa pela origem dos espaços; D) se o movimento é progressivo ou retrógrado. P.22 Os móveis A, B, C e D possuem movimentos uniformes. Escreva suas funções horárias e determine seus espaços no instante t = 2 s. Espaço Inicial Velocidade (Valor Absoluto) Movimento A 35 m 12 m/s Progressivo B 3 m 9 m/s Retrógrado C 29 cm 13 cm/s Retrógrado D 43 m 21 m/s Progressivo P.23 Dois móveis percorrem a mesma trajetória e seus espaços estão medidos a partir do marco escolhido na trajetória. Suas funções horárias são: S A = 3 8t e S B = 1 + 2t onde t é o tempo em horas e S A e S B são os espaços em quilômetros. Determine o instante e a posição do encontro. P.24 Dois móveis P 1 e P 2, caminham na mesma trajetória e, no instante em que se dispara o cronômetro (t = ), suas posições são indicadas na figura: 15 45 P 1 P 2 s (m) Os sentidos de seus movimentos estão indicados na figura e suas velocidades são respectivamente iguais a 2 m/s e 1 m/s (em valor absoluto). Determine o instante e a posição de encontro do móveis. P.25 Duas cidades A e B estão separadas pela distancia de 3 km, medidos ao longo da estrada que as liga. No mesmo instante, um móvel P passa por A, dirigindo-se a B, e um móvel Q passa por B, dirigindose A. Seus movimentos são uniformes e suas velocidades (em valor absoluto) são iguais a 8 km/h (P) e 7 km/h (Q). Determine: A) o instante do encontro; B) a posição de encontro. P.26 Dois carros A e B realizam movimentos retilíneos uniformes. A velocidade escalar de A é 15 m/s. Determine a velocidade escalar de B, sabendo que eles colidem no cruzamento C. P.27 (Vunesp) Uma caixa de papelão vazia, transporta na carroceria de um caminhão que trafega a 9 km/h num trecho reto de uma estrada, é atravessada por uma bala perdida. A largura da caixa é de 2, m, e a distância entre as retas perpendiculares às duas laterais perfuradas da caixa e que passam, respectivamente, pelos orifícios de entrada e de saída da bala (ambos na mesma altura), é de,2 m. Supondo que a direção do disparo é perpendicular as laterais perfuradas da caixa e ao deslocamento do caminhão e que o atirador estava parado na estrada, determine a velocidade da bala, suposta constante. P.28 Duas pessoas partem simultaneamente de um mesmo ponto, seguindo trajetórias perpendiculares entre si, com velocidade escalares constantes de 1,2 m/s e,9 m/s, respectivamente. Determine a distância que as separa após 1 s. P.29 (F.Getúlio Vargas-SP) De duas cidadezinhas, ligadas por uma estrada reta de 1 km de comprimento, partem simultaneamente, uma em direção a outra, duas carroças, puxadas cada uma por um cavalo e andando à velocidade de 5 km/h. No instante de partida, uma mosca, que estava pousada na testa do primeiro cavalo, parte voando em linha reta, com a velocidade de 15 Km/h e vai pousar na testa do segundo cavalo. Após um intervalo de tempo desprezível, parte novamente e volta, com a mesma velocidade de antes, em direção ao primeiro cavalo até pousar em sua testa. E assim prossegue nesse vaivém, até que os dois cavalos se encontram e a mosca morre esmagada entre as duas testas. Quantos quilômetros percorreu a mosca? P.3 Durante uma tempestade um indivíduo vê um relâmpago e ouve o som do trovão 4 s depois. Determine a distância que separa o indivíduo do local do relâmpago, dada a velocidade do som no ar constante e igual a 34 m/s. P.31 Um atirador aponta sua arma para um alvo, situado a 255 m de distância, e dispara um projétil. O impacto do projétil no alvo é ouvido pelo atirador 1,6 s após o disparo. Sendo 34 m/s a velocidade de CASD Vestibulares Cinemática 349
propagação do som no ar, determine a velocidade do projétil, suposta constante. P.32 Durante um nevoeiro, um navegador recebe dois sinais expedidos simultaneamente por um posto na costa, um deles através do ar e outro através da água. Entre as recepções dos dois sons, decorre o intervalo de tempo Δt = 4s. Nas condições de experiência, a velocidade do som tem as grandezas 3 m/s no ar e 15 m/s na água. Determine a distância x entre o barco e o posto emissor dos sinais, conforme os dados acima. P.33 (Fuvest-SP) Um filme comum é formado por uma série de fotografias individuais que são projetadas à razão de 24 imagens (ou quadros) por segundo, o que nos dá a sensação de movimento contínuo. Este fenômeno é devido ao fato de que nossos olhos retêm a imagem por um intervalo de tempo um pouco superior a 1 de segundo. esta retenção é chamada 2 persistência da retina. A) Numa projeção de filme com duração de 3 s, quantos quadros são projetados? B) Uma pessoa, desejando filmar o desabrochar de uma flor cuja duração é de aproximadamente 6, h, pretende apresentar este fenômeno num filme de 1 min de duração. Quantas fotografias individuais do desabrochar da flor devem ser tiradas? P.34 Um indivíduo filma o movimento de uma borboleta à razão de 64 fotografias por segundo, durante 5 s. Depois de revelado, o filme é projetado à razão de 16 fotografias por segundo. Quanto tempo leva a projeção? O movimento da borboleta será visto, na projeção, mais lento ou mais rápido do que ocorreu na realidade? P.35 Dois trens P e Q caminham em trajetórias paralelas com movimentos uniformes de velocidade iguais a 4 km/h e 6 km/h, e seus comprimentos são 2 m e 3 m, respectivamente. Determine o intervalo de tempo da ultrapassagem de um trem pelo outro, admitindo-se os seus movimentos: A) no mesmo sentido; B) em sentidos opostos. P.36 (UECE) Dois trens de comprimento 6 m e 9 m correm em trilhos paralelos e em sentidos opostos. O trem menor move-se com o dobro da velocidade do maior, para um referencial fixo na Terra. uma pessoa no trem menor observa que o trem maior gasta 2 s para passar por sua janela. Determine a velocidade, em m/s, do trem menor. P.37 Um trem sai da estação de uma cidade com velocidade escalar constante de 4 km/h, 2 min depois sai da mesma estação um segundo trem, com velocidade escalar constante de 6 km/h. Quanto tempo, após sua partida, o segundo trem demora para alcançar o primeiro? P.38 (Esalq-Piracicaba-SP) Dois navios, N 1 e N 2, partem de um mesmo ponto e se deslocam sobre uma mesma reta com velocidades 35 km/h e 25 km/h. A comunicação entre os dois navios é possível, pelo rádio, enquanto a distância entre eles não ultrapassar 6 km. Determine o tempo durante o qual os dois navios podem se comunicar, admitindo que: A) os dois navios partem ao mesmo tempo e movemse no mesmo sentido; B) o navio mais lento parte duas horas antes do outro e movem-se no mesmo sentido; C) os dois navios partem ao mesmo tempo e movemse em sentidos opostos. T.1 (F.M. Santos-SP) Considere um ponto na superfície da Terra. Podemos afirmar que: a) o ponto descreve uma trajetória circular. b) o ponto está em repouso. c) o ponto descreve uma trajetória elíptica. d) o ponto descreve uma trajetória parabólica. e) a trajetória descrita depende do referencial adotado. T.2 (UCBA) Um vagão está em movimento retilíneo com velocidade escalar constante em relação ao solo. Um objeto se desprende do teto desse vagão. A trajetória de queda desse objeto, vista por um passageiro que está sentado nesse vagão, pode ser representada pelo esquema: T.3 Uma pessoa de automóvel, numa estrada reta e horizontal e com velocidade constante em relação ao solo, deixa cair um objeto pela janela do mesmo. Despreze a ação do ar. Podemos afirmar que a trajetória descrita pelo objeto é: a) um segmento de reta horizontal, em relação a um observador parado na estrada. b) um segmento de reta vertical, em relação a um observador parado na estrada. c) um arco de parábola, em relação à pessoa que viaja no automóvel. d) um arco de parábola, em relação a um observador parado na estrada. e) independente do referencial adotado. T.4 (F.Carlos Chagas) A velocidade escalar de um carro é de 9 km/h. Essa velocidade equivale a: a) 2 m/s b) 25 m/s c) 36 m/s d) 12 m/s e) 18 m/s T.5 (U.E.Londrina-PR) Um automóvel mantém uma velocidade escalar constante de 72, km/h. Em 1 h 1 min ele percorre, em quilômetros, uma distância de: a) 79,2 b) 8, c) 82,4 d) 84, e) 9, T.6 (F.Getúlio Vargas-SP) Uma pessoa caminha numa pista de Cooper de 3 m de comprimento, com 35 Cinemática CASD Vestibulares
velocidade média de 1,5 m/s. Quantas voltas ela completará em 4 min? a) 5 voltas b) 7,5 voltas c) 12 voltas d) 15 voltas e) 2 voltas T.7 (F.Carlos Chagas) A distância, por estrada de rodagem, entre Cuiabá e Salvador é de 34,8 km. Um ônibus demora 2 dias e 4 h desde a saída de Cuiabá e a chegada a Salvador, incluindo 1 h de paradas para refeições, abastecimento etc. A velocidade escalar média desse ônibus durante os 2 dias e 4 h da viagem é, em km/h, igual a: a) 35,3 b) 4,2 c) 5,5 d) 65,4 e) 8,9 T.8 (U.Mackenzie-SP) Um automóvel que trafega ao longo de uma rodovia passa pelo marco de estrada 115 km às 19 h 15 min e pelo marco 263,5 km às 2 h 54 min. A velocidade escalar média desse automóvel, nesse intervalo de tempo, é: a) 148,5 m/s b) 16,8 m/s c) 29, 7 m/s d) 25, m/s e) 9, m/s T.9 (Ulbra-RS) Um veículo percorre, inicialmente, 4 km de uma estrada em,5 h. A seguir mais 6 km, em 1h 3 min. A velocidade média do veículo, durante todo o percurso, em km/h é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 T.1 Um automóvel percorre a distância entre são Paulo e São José dos Campos (9 km) com velocidade média de 6 km/h, a distância entre são José dos Campos e Cruzeiro (1 km) com a velocidade média de 1 km/h e entre Cruzeiro e Rio de Janeiro (21) com velocidade média de 6 km/h. A velocidade média do automóvel entre São Paulo e Rio de Janeiro é aproximadamente igual a: a) 55 km/h b) 6,1 km/h c) 66,7 km/h d) 75 km/h T.11 (PUC-MG) Um automóvel viaja a 2 km/h durante o primeiro minuto e a 3 km/h nos dois minutos seguintes. Sua velocidade escalar média durante os três minutos, em km/h, é: a) 2 b) 3 c) 31 d) 25 e) 27 T.12 (Unimep-SP) Um ciclista deve percorrer 35 km em 1 h. O ciclista observa que gastou 4 min para percorrer 2 km. Qual deverá ser a sua velocidade média para percorrer a distância restante dentro do tempo previsto? a) 45 km/h b) 7 km/h c) 6 km/h d) 3 km/h e) 25 km/h T.13 (UFPA) Certa pessoa viaja em um automóvel cujo velocímetro não funcionava. Desejando saber qual a velocidade escalar média do automóvel e sabendo que os postes da rede elétrica dispostos à margem de entrada distam 6 m um do outro, a pessoa começou a marcar o tempo no instante em que passou em frente de um certo poste (chamemos de 1 poste), e constatou que transcorreram 45,6 s até o instante em que passou diante do 2 poste. Assim constatou que no intervalo de tempo durante o qual ele se deslocou do 1 ao 2 poste a velocidade escalar média do automóvel era, em km/h, de: a) 25 b) 69 c) 9 d) 95 e) 98 T.14 (Unisinos-RS) Na prova dos 1 m pelo Mundial de Atletismo, disputada em Tóquio (Japão), no dia 25.8.91, o americano Carl Lewis estabeleceu o novo recorde mundial com 9,86 s. Nessa prova, o brasileiro Robson Caetano completou os 1 m em 1,12 s, conforme Zero Hora de 26.8.91. A distância entre os dois atletas citados, quando o vencedor cruzou a linha de chegada, foi, em centímetros, aproximadamente de a) 2,57 b) 2,64 c) 25,7 d) 257 e) 264 T.15 Um móvel percorre uma estrada retilínea AB, onde M é o ponto médio, sempre no mesmo sentido. A velocidade média no trecho AM é de 1 km/h e no trecho MB é de 15 km/h. A velocidade média entre os pontos A e B vale: a) 1 km/h b) 11 km/h c) 12 km/h d) 13 km/h e) 15 km/h T.16 (Osec-SP) Um trem de carga de 24 m de comprimento, que tem a velocidade constante de 72 km/h, gasta,5 min para atravessar completamente um túnel. O comprimento do túnel é de: a) 2 m b) 25 m c) 3 m d) 36 m e) 485 m T.17 (UFMG) Uma escola de samba, ao se movimentar numa rua reta e muito extensa, mantém um comprimento constante de 2 km. Se ela gasta 9 min para passar completamente por uma arquibancada de 1 km de comprimento, sua velocidade média deve ser: a) 2 km/h b) 1 km/h c) 2 km/h d) 2 km/h 3 3 e) 3 km/h T.18 Se a velocidade escalar de um móvel é positiva. a) o movimento é progressivo. b) o movimento é retrógrado. c) o movimento é necessariamente uniforme. d) o movimento é necessariamente variado. e) nenhuma das afirmações anteriores é correta. T.19 Num movimento retrógrado: a) os espaços crescem algebricamente com o tempo. b) os espaços decrescem algebricamente com o tempo. c) a velocidade escalar média é nula. d) nenhuma das afirmativas anteriores é correta. T.2 Num movimento uniforme a velocidade escalar é constante com o tempo. Isso significa que a) as distâncias percorridas são proporcionais aos intervalos de tempo correspondentes. b) as distâncias percorridas não dependem dos intervalos de tempo gastos. c) as distâncias percorridas são proporcionais aos quadrados dos intervalos de tempo correspondentes. d) nenhuma das afirmações anteriores é correta. T.21 O espaço de um ponto em movimento uniforme varia no tempo conforme a tabela: s (m) 25 21 17 13 9 5 t (s) 1 2 3 4 5 A função horária deste movimento é: a) s = 4 25t d) s = -4 + 25t b) s = 25 + 4t e) s = -25 4t c) s = 25 4t T.22 (PUC-RS) Dois móveis, A e B, percorrem uma trajetória retilínea conforme as equações horárias S A = 3 + 2t e S B = 9 1t, sendo a posição s em CASD Vestibulares Cinemática 351
metros e o tempo t em segundo. No instante t = s, a distância entre os móveis, em metros, era: a) 3 b) 5 c) 6 d) 8 e) 12 T.23 - (PUC-RS) Dois móveis, A e B, percorrem uma trajetória retilínea conforme as equações horárias S A = 3 + 2t e S B = 9 1t, sendo a posição s em metros e o tempo t em segundo. No instante de encontro dos dois móveis, em segundos, foi: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 T.24 (ITE-PR) Dois móveis partem simultaneamente de dois pontos, A e B, e deslocam-se em movimento uniforme sobre a mesma reta, de A para B, com velocidades escalares de 2 m/s e 15 m/s. Se o encontro ocorre 5 s após a partida, podemos afirmar que a distância inicial entre os mesmos era de: a) 25 m b) 5 m c) 75 m d) 9 m T.25 (UFMG) Duas esferas se movem em linha reta e com velocidades constantes ao longo de uma régua centimetrada. Na figura estão indicadas as velocidades das esferas e as posições que ocupavam num certo instante As esferas irão colidir na posição correspondente a: a) 15 cm b) 17 cm c) 18 cm d) 2 cm e) 22 cm T.26 (Osec-SP) A distância entre dois automóveis é de 225 km. Se eles andam um ao lado do outro com velocidade de valores absolutos 6 km/h e 9 km/h, respectivamente se encontrarão no fim de: a) 1 h b) 1 h 15 min c) 1 h 3 min d) 1 h 5 min e) 2 h 3 min GABARITO P.1 5 m/s P.2 3 s P.3 36 km/h P.4 A) 1 km/h B),5 h P.5 8 h 15 min P.6,2 volta P.7,5 h P.8 5 km/h P.9 8 km/h P.1 72 km/h P.11 3 m/s P.12 A) 1 s B) 15 s P.13 8 km/h P.14 A) 18 km/h B) Sim. Como a velocidade escalar média do avião é maior do que a do som, concluímos que em algum intervalo de tempo ele deve ter sido supersônico. P.15 56 km/h P.16 A) 6 pessoas B) 7m P.17 A) 1 m/min B) 5 min C) 1 m P.18 A) 16 m; -4 m/s B) retrógrado C) s = 16 4t (m,s) P.19 A) 5 m/s B) 5 m/s C) Sim, pois o móvel percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais D) Progressivo, pois os espaços crescem com o decorrer do tempo. P.2 A) 1 m e 8 m/s B) 26 m C) 5 s D) progressivo P.21 A) 6 km e 12 km/h B) 24 km C) 5 h D) retrógrado P.22 S A = 35 + 12t (m,s); 59 m S B = 3 9t (m,s); -15 m S C = 29 13t (cm,s); 3 cm S D = 43 + 21t (m,s); 85m P.23,2 h; 14 km P.24 1 s; 35 m P.25 A) 2 h B) a 16 km de A P.26 2 m/s P.27 25 m/s P.28 15 m P.29 15 km P.3 136 m P.31 3 m/s P.32 15 m P.33 A) 72 B) 144 P.34 2 s; mais lento P.35 A),25 h B),5 h P.36 3 m/s P.37 4 min P. 38 A) 6 h B) 65 h C) 1 h T.1 e T.2 c T.3 d T.4 b T.5 d T.6 c T.7 d T.8 d T.9 d T.1 c T.11 e T.12 a T.13 c T.14 d T.15 c T.16 d T.17 d T.18 a T.19 b T.2 a T.21 c T.22 c T.23 b T.24 a T.25 d T.26 c T.27 e T.28 b T.29 b T.3 e T.31 b T.32 b T.33 e Ter sido aluna do CASDVest foi uma das melhores coisas que aconteceu na minha vida e hoje eu posso dizer sem dúvidas que eu admiro muito todas as pessoas que fazem parte da equipe do curso, que doam-se diariamente para nos mostrar que sim, é possível um aluno de escola pública ser aprovado nos mais concorridos vestibulares do país. Cada palavra de incentivo e cada gesto de motivação que recebi ao longo desses dois anos, foram suficientes para me mostrar que o CASDVest é diferente dos outros cursinhos, nós somos uma família sim! Os professores extremamente dedicados, são muito mais do que educadores, são amigos que estão sempre dispostos a ajudar no que for necessário e alguns em especial nos incentivam de maneira surpreendente a não desistir jamais. Não tenho palavras para agradecer tudo o que o CASDVest fez e tem feito por mim até hoje. Espero que cada aluno que entrar no extensivo daqui pra frente, sinta-se privilegiado por fazer parte dessa família que em conjunto trabalha para tornar real o sonho de cursar uma universidade pública. Valeu CASDVest!" Sarah Bruna Machado Araujo Aluna do CASD aprovada em 29 352 Cinemática CASD Vestibulares